Противостояние

Рассматриваем две системы X и Y , две системы взглядов на одну и ту же проблему, например, преподавателя и студента на оценку знания разделов курса с бальной оцифровкой по одной и той же шкале. Очевидно, системы оценки будут различаться. Каждый из них имеет свой взгляд на проблему и выбирает свою стратегию поведения. Обозначим X систему оценки взгляда студента, а оценку преподавателя - Y . Примем взгляды преподавателя за эталон. Пусть данные оцифрованные бальные оценки имеют вид

X= [5 3 2 0 0 0 0 0; 0 0 0 3 2 1 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 2 5;2 2 3 5 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0 3 7;

Видим, что системы описываются в одном и том же факторном пространстве ℝ8 и являются двумерными массивами, но матрицы не являются квадратными. На практике возможна ситуация, когда состояние каждой системы описывается в своём пространстве факторов многомерными массивами как, например, в работе [1].

На высшем агрегатном уровне любая оценка бинарного сопоставления систем X и Y имеет две стороны: внешнюю количественную объёмную скалярную величину   u(X,   Y),   и внутреннюю качественную дифференциальную векторную v(X, Y) [2]. Пусть объёмная характеристика строится по отношению возможностей работы. Поскольку пространство и время разделяются условно объёмную характеристику определим как мощность u (работа в условную единицу времени), количественная бальная оценка необходимого багажа знаний студента. Мощность будет количественной скалярной характеристикой наблюдаемой системы. Оценке мощности в соответствие можно поставить такую физическую характеристику как яркость света [3, стр.70].

Будем полагать, что системы взглядов субъектов X и Y в пространстве ^^тхп согласованны. Тогда для норм матриц оцифровки курса, подчинённых соответствующим нормам их элементов, справедливо свойство субмультипликативности

im < ||х|||и|-

При введении обозначений

D(X) = ||X||2, D(Y) = ||Y||2,  

mx, Y)i = ^wW+Tiw2^

приходим к основному метрическому тождеству

D(X)D(Y) = u2(X, Y) + |r(X,Y)|2, которое после деления на множитель D(X) принимает вид

D(X) = Ey2(X) + IV(X), где выражение EY(X) интерпретируется как математическое ожидание свойств системы Y в состоянии системы X, а VY(X) – показатель дисперсии этих ожиданий. Здесь u(X, Y) положительная симметричная билинейная форма, порождаемая функционалом D(X). Так как система Y принята в качестве эталона, то можно найти шанс обнаружить свойства эталона в состоянии системы X

Chance_Y(X') =

Ey²(X)

Vy(.X) .

В данном случае построение внутреннего произведения опирается на определение нормы матрицы, которая имеет различные представления [4]. Если матрицы одного и того же порядка, т.е. X, Y Е ^тхп, то анализ их бинарного соответствия можно проводить на паре (X • Y, X Л Y) в композиционной алгебре с делением над полем действительных чисел [5]. Однако более простым и информативным будет анализ, построенный на усреднённом представлении о состоянии системы с поэлементным сопоставлением.

Полагая, что системы строят свои оценки по своему среднему состоянию (не экстремальному, уравновешенному), вычислим их средние характеристики. Это будут векторы x = mean(X), y = mean(Y)

x =

1.7000  1.7000  1.1000  1.7000  1.0000  0.7000  0.8000

y =

2.1429  1.7143  1.4286  2.7143  3.7143  2.2857  1.5714

Нормируем эти векторы х               у

^ХХ  sqrt(x*x'y    ^^у  sqrt(y*y')'

Nx =

0.4301  0.4301  0.2783  0.4301  0.2530  0.1771  0.2024

Ny =

0.3311  0.2649  0.2208  0.4194  0.5740  0.3532  0.2428

1.9000

1.8571

0.4807

0.2870

Тогда мощность любого объекта z агрегатного свойства системы X будет равна

системы XU Y по отношению

Z^k            i

PjZ^J,    pj =x0 =

J=i

xJ

^О(х)

Zk

J=1 pJ =1

Свою мощность система X оценивает величиной

Zm        m~*^my^-!

Ex (xt) = )    )

i=i          z—ii=iZ_i

i

J=i

PjxJ.

Мощность противоположной системы – величиной

Zm у—il

1=14—IJ

pjy^J.

Применяя алгоритм for k = 1:size(X,1)

EXx(k,1) = X(k,:)*Nx';

end for k = 1:size(X,1)

EXy(k,1) = X(k,:)*Ny';

end for k = 1:size(Y,1)

EYx(k,1) = Y(k,:)*Nx';

end for k = 1:size(Y,1)

EYy(k,1) = Y(k,:)*Ny';

end uEX = [EXx EXy], uEY =[EYx EYy]

находим оценки мощности системы X и системы Y uEX =

3.9978  2.8919

1.9736  2.7594

2.8086  1.9206

4.7062  3.9515

4.4026  3.0023

6.7051  4.7242

2.7579  3.8853

3.5676  2.5608

4.2002  6.6006

4.4026  3.0023

uEY =

4.7062  3.3776

7.5148  9.6912

6.2750  4.6138

7.6919  9.5808

5.3135  7.7485

3.5676  2.5608

5.3894  7.7264

Находим оценки каждой системы суммарной мощности

SuEX = sum(uEX),    SuEY = sum(uEY)

SuEX =

39.5221  35.2988

SuEY =

40.4583 45.2990

Видим, что по мощности системы Y превосходит мощность системы X как, по своей оценке, так и в оценках противоположной системы, но каждая система оценивает себя выше соперника.

Качественное расхождение систем можно оценить показателем вероятности их сходства p = (Nx • Ny)2, p = (Nx*Ny)^2

p = 0.7977, который отвечает показателю вращательной симметрии в угловом измерении кватернионного представления оценки бинарного сходства рассматриваемых состояний

6 = arccos(^p) = 0.4665 (рад) = 26.73 (град.)

Системы практически качественно подобны, поэтому шанс обнаружить, например, знания студентом соответствующего курса преподавателем удовлетворителен (1 :4):

p

Chancey (X) = —^— = 3.94.

1    — p

Агрегированное качество каждого объекта в оценках самой системы и противоположной найдём, если каждый вектор соответствующего объекта нормировать и умножить на соответствующий вектор средних.

for k = 1:size(X,1)

NXX(k,:) = (X(k,:)/sqrt(X(k,:)*X(k,:)'))*Nx';

end for k = 1:size(X,1)

NXY(k,:) = (X(k,:)/sqrt(X(k,:)*X(k,:)'))*Ny';

end qNX = [EXx EXy NXX NXY] qNX =

Находим математические ожидания оценки системы X преподавателем и студентом

EX =[EXx EXy], sumEX = sum(EX), Tab1 = [EX; sumEX]

NX = [NXX NXY], meanNX = mean(NX), Tab2 = [NX; meanNX]

Tab = [Tab1 Tab2]

Результаты расчётов оценки системой Y элементов системы X по мощности и качеству приведены в табл. 1. Таблица 1.

По мощности объекты могут разбиты на классы. Разобьём их на три класса. Для этого дисперсионный интервал мощности разделим на три равных интервала.

Определим интервал вариации мощности и найдём его треть длины a = min(EXy), b = max(EXy), d = (b – a)/3; a1 = a+d, a2 = a1 + d a = 1.92, b = 6.60, a1 = 3.48, a2 = 5.04

Найдём интервалы расслоения объектов по мощности disp([' [a, a1) = [' num2str(a) ',  ' num2str(a1) ')'])

disp([' [a1, a2) = [' num2str(a1) ',  ' num2str(a2) ')'])

disp([' [a2, b) = [' num2str(a2) ',  ' num2str(b) ']'])

[a, a1) = [1.9206,  3.4806)

[a1, a2) = [3.4806,  5.0406)

[a2, b) = [5.0406,  6.6006]

Получим оценку преподавателем знаний студента по их объёмным характеристикам как групповое разбиение G1 = {1, 2, 3, 5, 8, 10}, G2 = {4, 6, 7}, G3 = {9} с упорядочиванием G1 < G2 < G3. Таким образом, студент в достаточном объёме не владеет большинством тем. На среднем уровне постиг объёмы разделов 4, 6, и 7. И в полном объёме проработал тему 9.

Для разбиения системы X по качественным кластерам нормируем её объекты for k = 1 : size(X,1)

NormX(k,:) = X(k,:)/sqrt(X(k,:)*X(k,:)');

end присоединяем к полученной матрице снизу строку, равную нормированному среднему системы Y

NormXNy = [NormX Ny]

и строим корреляционную и вариационную матрицы for k = 1:size(NormXNy,1)

for l = 1:size(NormXNy,1)

corNXy(k,l) = NormXNy(k,:) *NormXNy(l,:)';

end end corNXy, varNXy = sqrt(1 – corNXy.^2)

Корреляционная матрица показывает близость качественного сходства знаний тем студентом в оценке преподавателя. Если воспользоваться алгоритмом L = .6

F = corNXy;

[ g ] = ClassF( F, L)

for i=1:size(F,1)

for j=2:size(F,1)

if F(i,j) > L

S(i,j) = 1;

S(j,i) = 1;

else

S(i,j) = 0;

S(j,i) = 0;

end end

S(i,i) = 1;

end g = symrcm(S);

R=S(g,g);

subplot(1,2,1), spy(S);

subplot(1,2,2),spy(R)

построенным на методе Даймейджа-Мендельсона, то на уровне шестидесятипроцентной корреляции объекты системы X по качеству – глубине проработки материала курса, расслаиваются на три класса K1 = {8, 1 6}, K2 = {4, 2, 9, 7}, K3 = {10, 3, 5}, рис. 1.

0           5           10

nz = 39

0           5           10

nz = 39

Рис. 1 Расслоение объектов системы X по качеству системы Y.

Количественные показатели – показатели мощности, являются линейно квантованными (отметим, что внутри приведённых выше групп порядок не устанавливается), качественные же классы квантуются циклически. Из таб. 1 находим их следование по глубине проработки материала курса:

К3Ж1> К2.

Наименее проработанным материалом будет пересечение кластеров G1 и K3. Наиболее проработанным материалом будет пересечение кластеров G3 и K2: G1∩K3 = {1, 2, 6, 10}∩{10, 3, 5} = {10}, G3∩k2 = {7, 8}∩{4, 2, 9, 7} = {7}.

В заключение отметим, что работа написана в Notebook MATLAB и алгоритм решения можно использовать для решения аналогичных и более ёмких задач.