Расчет критической скорости флюида, протекающего в однослойной углеродной нанотрубке в полимерной матрице

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 4, 2019PNRPU MECHANICS BULLETIN

Углеродные нанотрубки применяются в различных областях промышленности. Механические свойства этих трубок являются исключительными. Исследования по углеродным нанотрубкам проводятся с момента их открытия в 1991 году.

Ряд статей посвящен динамической устойчивости нанотрубок с текущим флюидом. В [5] показано влияние массы движущегося флюида на собственные частоты и критическую скорость одностенной углеродной нанотрубки. В [1] эти колебания изучаются в случае, когда нанотрубка лежит на упругом основании Винклера.

При исследовании собственных колебаний и устойчивости труб с протекающим флюидом часто применяется дифференциально-квадратичный метод. В [3] с использованием дифференциально-квадратичного метода решены разные задачи и показана его эффективность. В [4] приведены различные схемы дифференциально-квадратичного метода при исследовании колебаний балок для разных граничных условий.

В [2] представлена техника решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. В [9] анализируется влияние плотности транспортируемой жидкости, длины трубы и размеров ее поперечного сечения на критическую скорость потока жидкости в двухслойной нанотрубке. В [10] исследуется динамика труб с флюидом на основаниях Винклера и Пастернака. Труды с [11] по [30] посвящены исследованиям колебаний различных нанотрубок с протекающим флюидом.

В [6] исследована консольная труба с протекающим флюидом. Применен обобщенный дифференциальноквадратичный метод и проведены параметрические исследования устойчивости трубы. В настоящей работе дифференциально-квадратичный метод применяется для определения критической скорости протекающего флюида в однослойной углеродной нанотрубке, лежащей на упругом основании Пастернака. Рассмотрены различные параметры этого упругого основания.

• 1.    Методология

Однослойная углеродная нанотрубка исследуется на динамическую устойчивость с использованием континуальной модели балки Эйлера. Эта модель (рассмотренная в [8]) чрезвычайно проста и надежна в исследованиях такого типа. Эксперименты в области устойчивости углеродных нанотрубок демонстрируют эффективность модели Эйлера [7].

Дифференциальное уравнение, описывающее поперечные колебания нанотрубки с длиной L, изгибной жесткостью EI, по которой течет флюид со скоро стью V, имеет следующий вид:

циентами значений функции n ( E_y ) в каждой точке оси трубы после дискретизации.

... d⁴ w  /    ,_Л2   , \д² w

^EIТТ + ( m f^V - ^kr ) -2 ⁺ дx    ^х          ' дx

, о .д² w        , vw , ,      .

+ 2 mV--+ mf + mn —- + kww = 0, f  дxдt  v / pt дt2    w

d n n ( E ) d E ⁿ

m

= Е Р jn ME j ) , i = 1,..., m ,       ⁽⁷⁾

j =1

где m - количество точек, которые разделяют нанот-

где m и m_p - масса флюида на единицу длины трубы и масса трубы на единицу длины соответственно; x -осевая координата вдоль оси трубы; t - время; w ( x , t ) -поперечные перемещения оси трубы; k и k являются параметрами упругого основания Пастернака, моделирующего полимерную матрицу.

Для нанотрубки с шарнирными опорами на обоих концах применяются следующие граничные условия:

рубку на участки; e⁽. ⁿ ) - коэффициенты для n -й произ

водной в i -й точке оси трубы.

В настоящей статье ось трубы дискретизируется с использованием схемы Чебышева-Гаусса-Лобато, согласно которой

,     1  , с, = — 1 - cos i 2

i - 1

m - 1

,

i = 1,..., m .          (8)

Коэффициенты рассчитываются с помощью интер-

w ( 0, t ) = w ( L , t ) = 0;

поляционных функций Лагранжа [6]:

д ² w ( x , t )

д ² w ( x , t )

д x x

x =0

д x x

x = L

= 0.

. d)₌         L ⁽¹⁾ ( E i )

' j = ( E i -E j ) L ^{( 1 )} ( E j ) ’

i , j = 1,..., m , i ^ j ,

Решение дифференциального уравнения (1) ищется следующим образом:

w ( x , t ) = W ( x ) e ^ю t ,                 (3)

где ю - комплексная круговая частота системы.

После подставления выражения (3) в (1) и преобразования получается дифференциальное уравнение

в(i"=CE в(,"• i• j = 1...,m•(10)

j=1, j * i f                   в(n-1) л

в(п)= n в(n-1)в(*>- -iLij-----, j      (       j   Ei-EjJ j = 1,...,m; i * j; n = 2,..,(m -1),

d ⁴ W      2      d ² W

EI    4 +(mfV - kr )    2 + d x4d x2

m

в ⁽ , ^{n )} =- ^ P ( n ) ,   i , j = 1,..., m ; n = 2,..., ( m - 1 ) .  (12)

j =1, j * i

+ 2 mV го^-^- + ( m, + m ) m ²W + kW = 0.    (4)

dxp

В формуле (9) первая производная интерполяционных полиномов Лагранжа в каждой точке с орди-

натой Ek вычисляется по формуле

Для удобства введены следующие безразмерные параметры:

xW    m f    2

E = —; n = —; u = VL, —; Q = ю L L    L        EI

m f + m p EI

mf        t     EI p=-------;T=7?J-------; kw my + mp    L 4mf + mp

kwLL k_r = krLL. (5)

EI rEI

Уравнение (4), записанное в безразмерной форме,

принимает следующий вид:

m

L ^{( 1 )} ( E k ) = H ( E k -E i ) , k = 1,..., m . (13) l =1, l * k

Показано, что применение интерполяционных полиномов Лагранжа при дискретизации в схемах Чебы-шева–Гаусса–Лобато обеспечивает конвергенцию решаемой задачи. Увеличение количества точек приводит к уменьшению ошибки в решении [6].

Применением формул (7), (8), (9), (10), (11), (12) и (13) уравнение (6) представляется следующей системой алгебраических уравнений в точках i = 3.4..... ( m -2 ) оси трубы:

^4 + ( u² - k r ) di n + 2^ u Q d n + ( q ² + k w ) n = 0. (6) d E            d E             d E

Уравнение (6) можно преобразовать в систему алгебраических уравнений дифференциально-квадратичным методом, использованным в [4], [6]. Согласно этому методу значения производных функции n ( E ) представляются в виде суммы умноженных с коэффи-

mm

Е Р ^( E j ) + ( u ² - К ) E P ^(e j ) + j =1                                    j =1

m

+ 2Q u >Е Р j °n ( E j ) + ( Q ² + k w ) n ( E i ) = 0.   ⁽¹⁴⁾

j =1

Граничные условия (2) записываются следующим образом: mm

n ( E 1 ) = n ( E m ) = 0; E ^pL ²⁾n ( E j ) = E ^p m 2M^E j ) = ⁰ • ⁽¹⁵⁾ j =1                      j =1

Уравнение (14), записанное в матричной форме, дает следующую форму:

( B ^{( 4 )} + ( и ² - k_r ) B ^{( 2 )} + 2Q и4вB ^{( 1 )} ) 5 +

+

В (16)

в<4) = р<4) ■ s<2) = р<2) ■   S19 =В

'j     Pzj ;   °ij     Pzj ;   °ij     Pij ,(Р)

i = 3,4,...,(m -2), j = 1,...,m

являются матрицами размерностью (m - 4) x m. Векторы

8 = {n(^i),..., П(^ m )}^Г,                ⁽¹⁸⁾

5 d = {^3 ) ,-, П^ m-2 )f .           ⁽¹⁹⁾

в<4) = Bdb	Р341) Р44* ...		в <4)         в<4) Р3 2         в3 <m-1) в <4)         в<4) в4 2        в4 <m-1) ...                ...	Р <4) в3 m р <4) в4 m ...		(26)
	в <4) в< m-3) 1		р<4)         р<4) <m-3) 2    ^<m-3)<m-1)	Р<4)з ^ < m-3	)m
	В <4) в< m-2) 1		в <4)         в<4) Р<m-2) 2    Р<m-2) <m-1)	р<4)   , Р<m-2) m
		Р <4) в33	в <4)                в<4) в34      ...     в3 <	-2)
в<4) Bdd	=	р <4) в4 3	в <4)                в<4) Р44     ...     в4 <	-2)		(27)
		В <4) в< m-2)	р <4)                в<4) Р<m-2) 4    ...   Р<m-2) <m-2)
5b =	{ П<^1 ) П<^2 ) n(^(m-1))n(^m			)}r		(28)

Четыре граничных условия записываются в матричной форме:

Kb 5 = 0,                    (20)

где матрица K имеет размерность (4 x m) и следую-

щий вид:

1      0      0    ...0

в(2)    в(2)    р<2)

„ _ Р11    Р12    Р13    ...

b =  0      0      0    ...1

в(2)    р<2)     р<2)

Р m 1  Р m 2 Р m 3  '" Р mm

⁵d ={n(^3 M^4 ) ... П^( m-3)M^( m-2))} •    ⁽²⁹⁾

Учитывается, что

5 ь =- Kbb,¹Kbd 5 d.                  (30)

В результате получается система с <m - 4) уравнениями и <m - 4) неизвестными:

Уравнения (16) и (20) могут быть записаны в системе m алгебраических уравнений с m неизвестными:

Kb

B⁽⁴⁾+ (и²- k) B⁽²⁾+ 2Qи$B⁽¹⁾

После преобразований следующий вид:

bb      bd

В⁽⁴⁾B^

Bdb   Bdd

Здесь

5 +

уравнение (22) принимает

(^и 2 ^-k_r)

в⁽²⁾

Bdb

X

5 ь

5 d

Kbb =

+<q²

+ ^kw )

(2) ^Bdd

+ 2Q и 4в

0 5 b

I 5 d

.

В⁽¹⁾

Bdb

Bdd

X

₽(?

pm²1

0 ed)

в⁽²⁾

P m 2

P1 (m-1)

b<2!     ,

p m< m-1)

в⁽²⁾

P1 m

p⁽²⁾

mm

Kbd =

Pl?

в⁽²⁾

P m 3

В⁽²⁾ P14

В⁽²⁾

P m 4

...

В <²⁾

•••    ^e1 < m-2)

...

b<²⁾

"' Pm<m-2)

( R(4) _ /?(4) j^-1 । Л,2 /?(²) _ /?(²) j^-1 X । < ^Bdd BdbKbbKbd )⁵d⁺<^{и k}_r )< Bdd ^Bdb KbbKbd )⁵d⁺

+2Qu Jp (B'h-B⁽1) K-1 K_M K+(^2 + kvV 5_d= 0. (31) dd db bb bd d w d

Чтобы уравнение (31) имело ненулевое решение, определитель перед вектором 5_d должен быть нулевым. Этот определитель является функцией неизвестной критической скорости u и неизвестной круговой частоты Q = ReQ + z'ImQ. В случае когда ReQ< 0, система устойчива. Если Re Q> 0, система теряет свою стабильность. Если Re Q = 0, система находится в состоянии безразличного равновесия.

Следующая вычислительная процедура используется для определения критической скорости: задается конкретное значение u , и из условия, что определитель перед вектором 5_d в уравнении (31) равен нулю, определяется круговая частота Q, на основе которой система оценивается как стабильная.

2. Численные исследования

Для иллюстрации предложенного метода исследована устойчивость однослойной углеродной нанотрубки с внешним радиусом поперечного сечения R = 55 нм и толщиной h = 10 нм. Длина трубки L = 2000нм. Трубка имеет шарнирное опирание. Исследованы случаи жидкостей с плотностями в диапазоне р = [700; 1600] кг/м³. Определена критическая скорость флюида V для параметров упругого основания Пастернака k^ = 100кПа;

k = 100Нм/м и К, = 100кПа; k_r = 200Нм/м. Полученные результаты представлены на рисунке. Параметры k и k соответствуют механическим характеристикам полимерной матрицы, в которую вставлена иследованная нанотрубка.

Исследования показали, что при m > 14 представленные результаты для разных значений m довольно похожи. Наблюдаемые отклонения < 4 %.

Выводы

Из графика на рисунке видно, что снижение жесткости k упругого основания оказывает стабилизирующее воздействие на систему. В пределах исследуемого интервала в более высокие критические скорости флюида получены для упругого основания с меньшей жесткостью k . В обоих исследованных упругих осно- ваниях видно снижение критической скорости при увеличении массового отношения в .