Расчет плоских рам из неупругих составных элементов

Исследуются неупругие плоские рамы, включающие в себя составные элементы, имеющие переменное поперечное сечение и переменную жесткость связей на сдвиг по длине элементов. Опорные узлы рам под нагрузкой получают нелинейные поступательные и угловые смещения.

В работе используются основные положения общей теории упругих составных стержней, разработанной А. Р. Ржаницыным [2]. Для материала ветвей и связей между ветвями устанавливается произвольная зависимость между деформациями и напряжениями. Применяется гипотеза о нелинейно-упругом материале. Раскрытие статической неопределимости рамной системы осуществляется методом деформаций с учетом влияния продольных сил, возникающих в элементах при деформировании рам под действием нагрузки.

Для определения перемещений плоской рамы стержень рамы делится по длине на m участков постоянной жесткости (в общем случае неравные) длиной l_j между узловыми точками j и j + 1. В узлы элементов рамы вводятся дополнительные моментные 1 j и силовые 2 j связи, препятствующие их перемещениям. Многоконтурный стержень рамы с введенными связями образует основную систему метода деформаций. Расчет такой рамы производится шаговым методом [1].

Для определения реакций во введенных связях j -й участок элемента рамы рассматривается как жестко защемленный по концам составной стержень длиной l_j или стержень, защемленный на одном конце и шарнирно опертый на другом конце. Дифференциальное уравнение изгиба упругого двухветвевого ( n = 2) составного стержня было получено в [2]. При работе за пределом упругости уравнение для j -го участка стер

жня рамы, в котором действует продольная сила N(ji), на i-м шаге загружения будет иметь вид v1jV (i)

+ v ′′ ( i )( N ( i ) / Cequ ( i ) - λ 2( i )) - v ( i ) N ( i ) λ 2( i ) / C ( i ) j j xj              j             j j j           oj

- λ_j 2( i ) M_c ( _ji )/ C_o ( _ji ) + M_x ( _ji )/ C_xe_jqu ( i ) = 0,

-

где v ⁽ _j ^{i )} – прогибы j -го участка стержня рамы на i -м шаге нагружения; M ^{( i )} – изгибающий момент в составном стержне как в монолитном;

Mx(ji)– изгибающий момент в составном стержне, лишенном связей сдвига; Cxejqu(i) – суммарная эквивалентная жесткость ветвей составного эле- мента на j-м участке элемента рамы при i-м шаге нагружения, равная

n

_Cxe_jqu ( i ) _{=∑ ( E}e_jυqu ( i ) _{Jxjυ ),                  (2)}

υ = 1

здесь E ^e _jυ ^{qu ( i )} – эквивалентный модуль деформаций для сечений υ -й ветви j -го участка элемента рамы на i -м шаге нагружения; J_{xj υ} – момент инерции поперечного сечения υ -й ветви, постоянный по длине j -го участка элемента рамы; C_o ⁽ _j ^{i )} – приведенная жесткость сечения j -го участка элемента рамы как монолитного на i -м шаге нагружения, равная

C^ _{= C}^«W _{+ Е}№_{Л 1Е}№_{Л 2б?}2 ,(У(Е^,Л)    (3)

о/ Xj             с/1 /1 у 2 /2 / v / J v Cji) JV здесь Aj1 и Aj2 – площадь поперечного сечения ветвей 1 и 2 j-го участка элемента рамы; cj – расстояние между центрами тяжести ветвей составного элемента; Ec(ji1) и Ec(ji2) – секущие модули деформаций осевых волокон ветвей 1 и 2 на i-м шаге нагружения;

n

λj ^{( i )} = ξj ^{( i )} [ ∑ (1/( Ec ⁽ j ⁱ υ ⁾ Ajυ ) + c ² j / Cx ^e j ^{qu ( i )} ], υ = 1

здесь pj ) - коэффициент жесткости продольных связей сдвига на j -м участке элемента рамы при i -м шаге нагружения.

Величина Eи ⁽ i ) в (2) определяется по формуле, полученной ранее автором статьи, опубликованной в [4] и использованной в [3].

Общее решение уравнения (1) имеет вид

Vp = Сре -^'’^ А-Сре^'^^          +

+Cp^+(Mp-QPzp/Np,

где

( k 1 i ) ) 2 =

— Nj ) + Л²¹ ) Cj" ^{( 1} )

2 Cequ ( i ) Cxj

—

N ²⁽⁰ — 2 Nj ) Л 2") Ce" ^{( 1} ) + Л ^{2 1} ) ( Cj ^{( 1} ’/[ Я*¹ ) + 4 Nj ) ]/ Cj ) )    (6)

equ ( i )                                                      ,

2 C_xj

₍ k ( , ) ) 2—₊

1 j                           equ ( i )

2 C_xj

₊ 7 N ) — 2 Ni ) /• ⁱ ) Cj ⁽ i ) + /• i ) ( Cj ⁽ i ))²[Л2⁽ i ) + 4 N ¹) ]/ c ( ) )     (7)

equ ⁽ i )                                                              ^.

2 C_xj

В (5) M (joi) и Q(joi) – соответственно изгибающий момент и поперечная сила в j-м узле j-го участка стержня рамы (в сечении zj = 0) при отсутствии на нем поперечной нагрузки. Производные от функции прогибов будут иметь вид vp1 = (Cpe"fc'?z'4cpek'-Zipkp ln(e)--(^e*’^’ -CpP^pkp WVQP /Np, v"w = (ёре"^^ +Cpe k'-Zjplpp ln(e)2 -

- (Cp^¹'' -Cp^-pk^ ln(e)²,

- (C<')e(-^2') -Ср^'-ркр^ ln(e)3, v"40 = (Cpe^'1^'' +Cpe ‘!?Zj>)pp ln(e)4 -

-(Cpe"^-^Z)'-Cpe^'^Z1Y)kp^} ln(e)⁴.

Используем метод начальных параметров. При zj = 0 из (8) имеем vj) = C(j) + C2j + C(j + C4j + Mo) / Nji),

,

,       (9)

v^ = -ipy (ср -cP)- vp1 (ср - ср), y'P° = мр' (CP +cp> + Vpy (ср + ср), где " j) = k1j ln(e), vj') = k2j ln(e).

Решая систему (9), получаем

		-чТМ“.
		2И*'1	^'-u2'2")                   :
^n^?v»:		-М?м^	/N1;' +Q';> / Nl;')-u?v^-у;21
		lu"'	b-T-»!1^                 '
^^v^	+yy	-V»M^	/wy-gy/№<")+v<"v-:"+py'>
u^-^v^	+ vy	-^m«	/ X'l +O1'1 / wl'l)-v,'lv"1'’ -1'”'"’
		2Vp	(V21-'-»2-)

Подставляя (10) в (8), получаем систему линейных уравнений, которая в матричной форме будет иметь вид

AZ + B = 0 ,              (11)

где A – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных в системе уравнений; Z – вектор неизвестных усилий; B – вектор свободных членов системы уравнений.

При повороте на угол φ = 1 дополнительной моментной связи в узле ( j + 1) j -го участка стержня рамы вектор В будет включать следующие элементы

В = [0, φ , 0],                  (12)

а вектор

Z = [ Mj ) , Qjo ) , T(^₀ ) ].              (13)

При этом граничные условия для концов защемленного j -го участка стержня рамы (в случае свободно сдвигающихся торцов) будут иметь вид

v(i) = 0 v,w = 0 v"(i) = M(l) / Ceq"(i) jo , jo , jo jo xj , vpn=(rpc-ep)/cp“w, Tjo) = 0, vjij= 0, vjj = Ф, v"P=(Mp-Qpip/C7w, Tj) = 0, где Tj(oi) и Tlj(i) – суммарные сдвигающие усилия в шве j-го участка составного стержня рамы по его концам; ty0) - погонное сдвигающее усилие в связях сдвига в j-м узле j-го участка составного стержня рамы.

С учетом (11) и (14) уравнения (9) дают систему линейных алгебраических уравнений типа (12), в которой матрица А будет включать нижеследующие элементы

,

,

,

(i)                (i) (i) (i)            (i) (i) (i)(

A 21 j = ^{( V} 1 j uj e 3 j - U 1 j vj e 2 ) )/ wj ,

A 22 j = ( V)ei ) - U ( je £)/ wj ‘- 1/ Nj ) ,

(i)                   (i)        (i)           equ(i) (i)(

A 23 j = ^- c ( e l j ^- e 2 j )/ Cxj   wj / Nj ,

• ( i )               ( i ) 2( i ) ( i )         ( i ) 2( i ) ( i )         ( i )               equ ( i ) (15)

A31j = (-V1juj  e3j- U 1jvj  e4j)  wj  -1/Cxj,

• ( i )                 ( i ) ( i ) ( i )          ( i ) ( i ) ( i )          ( i )                   equ ( i )

A32j = (-V1jUje3j- U 1jvj e4j) wl + j/ Cxj, где

A   = c ( u ( i ) e 3 j - v ( j ) e ( j ) / C ^{( i )} wj ) / N ( i ) ,

V 1 i = v 2 + Nj )	/ cequ ( i ) xj ,	( i ) U 1 j	= u 2 + NC) / Cequ( j ) j         j         xj       ,
е 1 ) ) = e (- k1 j ) l ) )	+ e ( k ( j ) l j ) ,	( i ) e 2 j	= e (- k 2 j1 l j ) + e ( k 2 ) l ) ) ,
e 3 ij = e (- k 1 j j	- e ( k 1 j ) l j ) ,	( i ) e 4 j	(16) = e (- k 2 j l ) ) - e ( k 2 j’ l)' ,

w* ) = 2( v2ji ) - u^¹ )) Nj- ) .

При линейном перемещении дополнительной связи в узле ( j + 1) при ( z_j = l_j ) на величину δ = 1 перпендикулярно оси j -го участка стержня рамы будут справедливы следующие граничные условия (в случае свободно сдвигающихся торцов этого участка стержня рамы):

v(i) = 0 v' = 0 v"w = M(j) / cq(i) jo , jo , jo            jo xj , v^0 = T)c - Q(i)) / Cq(i) T(j) = 0 jo            jo jo xj , jo , vjij = 5, vj(j) = 0,

Vj) = ( M0 ) - QO ) Ij - N5 ) / c⁽ⁱ⁾ , Tj , j = 0

Определение реакций в дополнительных связях осуществляется аналогично вышеизложенному для случая поворота дополнительной связи с координатой z_j = l_j на угол φ = 1.

Если j-й участок составной стержня рамы при zj = lj шарнирно оперт, то при повороте дополнительной моментной связи в j-м узле на угол φ = 1 граничные условия (в случае свободно сдвигающихся торцов стержня) будут иметь вид v^=0 ,<’=<*, у'^=М^!С^\ v^ = (r^c-Q^ -^1С:Г, T^ = 0, (18)

^, =0, ^=0, T^ = 0.

При линейном перемещении дополнительной связи в узле ( j + 1) при (zj = lj) на δ = 1 перпендику- лярно оси j-го участка стержня, шарнирно опертого при zj = lj, граничные условия (в случае свободно сдвигающихся торцов этого стержня) будут

v ( O ’ = 0 , vji ) = 0 , v^ i ) = Mji ) / Cj ⁽ i ) ,

• v ; : ⁽ i ) = t c - Qjo )/ cj ⁽ i ) , Tjo ) = 0 , (19)

v ( i ) = 5 v ’⁽u ) = 0 T/ i ) = 0 j , lj , j , lj , j , lj .

С учетом (18) и (19) решается система уравнений (9) аналогично тому, как это было показано для j -го участка составного стержня с жестко защемленными концами.

Перемещения узлов стержня рамы Z1(j и Z2'j определяются из совместного решения уравнений m         (i)      (i)          (i)       (i)            (i)          (i)            (i)

^ ^{( Л} 1 j 1 r^Z 1 r + ^Л 1 j 2 r^Z 2 r ) + ^Л 1 jp + ^Л 1 jS o + ^Л 1 )Ф_о   0 , ⁽²⁰⁾

r = 1 m

^ ( R 2 jrZ 1 ⁽ r ) + R 2 i> rZ 2 r ) + R 2 ip + R 2 5 + R 2 ОФо = 0 , (21) = 1

где R1(ij1)r и R1(ij)2r – реакции в связях 1j основной системы метода деформаций от единичного перемещения связей 1r и 2r, определенные с учетом влияния продольных сил на i-м шаге нагружения; R2(ij)1r и R2(ij)2r – то же, но в связях 2j; R1(ijp) и R2(ij)p – реакции в связях 1j и 2j от внешней нагрузки на i-м шаге нагружения, определенные с учетом влияния продольных сил на i-м шаге нагружения; R1(j) и R2()-5 - реакции в связях 1j и 2j от поступательного смещения опор на i-м шаге нагружения, определенные с учетом влияния продольных сил на i-м шаге нагружения; R\j) и R(ф — реакции в связях 1j и 2j от углового смещенияo опор на i-м шаге нагружения, определенные с учетом влияния продольных сил на i-м шаге нагружения; m – число узлов с введенными дополнительными связями.

Найденные усилия на опорах j -го стержня при φ = 1 и δ = 1 далее используются как реак-

( i )              ( i )                  ( i )

R _{1 j 2 r} , R _{2 j 1 r} и R _{2 j 2 r} в уравнени-

ции в связях R ₁ ^{( i} _{j 1} ⁾ ях (20) и (21). ^j

Деформационный расчет рамы осуществля- ется с использованием эквивалентного модуля деформаций Eи(‘), величина которого вычисляется на каждом следующем шаге расчета по результатам, полученным на предыдущем шаге расчета [3]. Значения параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние рамной системы, найденные на i-м шаге нагружения, могут быть в дальнейшем использованы для проверки устойчивости сжато-изогнутых рам методом профессора Р. С. Санжаровского [5].