Расчет спектра квантованного по уровням гармонического сигнала

Квантователи сигналов по уровню являются составной частью аналого-цифровых преобразователей (АЦП), от характеристик которых зависят качественные показатели устройств с цифровой обработкой сигналов [6]. Известны выражения, описывающие спектры квантованных гармонических сигналов для ряда частных случаев при ограниченном числе уровней квантования [7]. Цель статьи – получить выражения для расчета спектра квантованного по уровням гармонического сигнала с любым числом уровней и при любых порогах квантования.

Рисунок 1. Нормированная характеристика квантователя с равномерными шагами квантования по осям х и у

На рисунках 1 и 2 приведены нормированные по обеим осям характеристики y = f ( x ) двух квантователей с равномерным и неравномерным по оси абсцисс шагом квантования, с равномерным по оси ординат шаге квантования Δ = 2/ s и произвольными по оси абсцисс порогами квантования х_i , но симметричными относительно оси ординат, то есть х_i = – х_-i. . Нормировка характеристик квантователей по осям предполагает, что максимальные по модулю значения х и у равны единице.

у

2А -

Рисунок 2. Нормированная характеристика квантователя с равномерным шагом квантования по оси у и неравномерными порогами квантования по оси х

Спектр сигнала на выходе бинарного квантователя при подаче на вход косинуса и синуса

Если на вход квантователя подать косинусоидальное колебание с единичной амплитудой x ( t ) = cos 2 πFt = cos φ , где φ = 2πFt , то при бинарном квантовании ( s = 2) сигнал у на выходе такого квантователя будет иметь форму меандра с размахом от –1 до 1. Спектр такого сигнала состоит из гармоник косинуса с частотами kF и амплитудами А_k,2 , определяемыми по формуле, полученной из разложения меандра в ряд Фурье [7]:

Д^ ,= — \ vcosk(pd

J coskydy— jcosA^(/^ =

О               ⁷¹ лП

= (4/A'^)sin(^/2).

Из этой формулы следует, что в спектре меандра присутствуют только нечетные гармоники входного сигнала, а четные гармоники отсутствуют, так как sin(kπ/2) = 0 при четных значениях k. Если на вход бинарного квантователя подать синусоидальное колебание с единичной амплитудой x(t) = sin(2πFt)= sin φ, то сигнал у на выходе квантователя также будет иметь форму меандра с размахом от –1 до 1, но сдвинутый по фазе на – π/2 относительно меандра при х(t) = cos φ. Спектр такого сигнала состоит из гармоник синуса с частотами kF и амплитудами А_k,2, определяемыми по формуле разложения меандра в ряд Фурье [7]:

1 О                   । к

— [sinA'^x/^H— [sinA'#x/

л               ⁷¹ о

= (4/j^tt)sin²(j^tt/2).

Отличие (2) от (1) состоит в том, что в зависимости от k знаки А_k,2 в (1) чередуются от –1 до 1, а в (2) знаки А_k,2 не зависят от k и всегда положительны.

Спектр сигнала на выходе квантователя с тремя уровнями квантования при подаче на вход косинуса

Рассчитаем спектр сигнала на выходе квантователя с тремя (s = 3) уровнями квантования –1, 0, 1 по оси ординат и двумя порогами квантования х₁ и х_-1 = –х₁ по оси абсцисс при подаче на вход косинусоидального колебания с единичной амплитудой x(t) = cos φ. Отметим, что при уровне входного сигнала х по модулю меньше х₁сигнал у на выходе квантователя с тремя (s = 3) уровнями квантования равен нулю. Разложив сигнал у на выходе такого квантователя в ряд Фурье, получим

Л/3 = — 1сО8А+/9б/б/9--COSA'^67^ =

4 sin кл / 2    ,

=-----------cos кф,, кл                     (3)

где Ai = л/2 - ф_Х , А₂ = л/2 + (01, ф\ = arcsinxb

Спектр сигнала на выходе квантователя с произвольным числом уровней квантования при подаче на вход косинуса

Поступая аналогичным образом, при s = 4 по

.         4 . кл/ ~      , х лучим Ак 4 =----sin — (1 + 2 cos кфх).

' Зкл 2

При s = 5 и s = 6 аналогичным образом

^kл

sin — 2

(2 cos кф_х + 2 cos кф₂);

А_{к 6} =----sin — (1 + 2 cos кф_х + 2 cos кф. ' Зкл 2

Здесь φ₁= arcsin х₁, φ₂= arcsin х₂, где х₁; х₂– пороги квантования квантователя по оси абсцисс при х > 0. Из полученных выражений следуют общие формулы для расчета амплитуд гармоник А_k,s квантованного по уровням косинусоидального сигнала при произвольном числе уровней квантования. При нечетном значении s:

А_к $ ⁼—” ²^2 ^cos^Vi,         (4)

s-1

где A_k,2 определяется согласно (1), m = (s – 1)/2, φ_i = arcsin х_i ; а х_i – это i-ый порог квантователя при х > 0.

При четном значении s:

4.=^(1+2ЁСО8^)’     (5)

8 1

где A_k,2 определяется согласно (1), m = (s – 2)/2, φ_i = arcsin х_i , а х_i – это i-ый порог квантователя при х > 0.

Расчет спектра сигнала на выходе квантователя с произвольным числом уровней квантования при подаче на вход косинуса через полиномы Чебышева второго рода

Недостатком полученных выражений (4) и (5) является то, что в них вначале по значениям порогов квантователя х_i по формуле φ_i = arcsin х_i определяются значения аргументов косинуса, при которых происходят изменения уровня сигнала на выходе квантователя, а затем по этим значениям φ_i рассчитываются значения cos(kφ_i), входящие в (4) и (5). Такого сложного вычисления амплитуд гармоник А_k,s можно избежать, если применить полиномы Чебышева, для которых имеет место следующее представление [1]:

cos(A'^,) = cos(A' arcsin ф^ =

= cos(W2) Т_к<х^ + sin(^/2) У^х^.

Здесь T_k(x_i) – полиномы Чебышева первого рода, V_k(x_i) – полиномы Чебышева второго рода с нормировкой

Ko(x) = 0, Ki(x) = (1 -х²)^1/2; F₃(x) = 2х(1 -х²)^1/2;

Полиномы более высокого порядка вычисляются через полиномы низких порядков по рекуррентной формуле [1]:

^ + 1(х) = 2л-^(х)-К/>_1(х).

Подставим (6) в выражения (4) и (5) и получим формулы для расчета амплитуд гармоник А_k,s через полиномы Чебышева второго рода с приведенной в [1] нормировкой. При нечетном s:

8sin²кл/2 кл(з -1)

У№), /=1

где m = (s - 1)/2. Аналогичным образом при четном s:

,    4(зткл/2)Г1 , . кл^ЦТ7.

^ =   < n [l + 2sm—^ИДх,)],  (8)

кл($ -1)          2 у где m = (s – 2)/2.

В формулах (7) и (8) полиномы Чебышева первого рода отсутствуют, так как при подстановке (6) в (4) и (5) сомножителем при T_k(x_i) является произведение cos(kπ/2) sin(kπ/2), которое при любых целых значениях k равно нулю.

Отметим, что в [2-5] полиномы Чебышева второго рода представлены в следующем виде: £/₀(х) = 1, U\(x) = 2x, Ui(x) = 4.x² - 1 и т.д.

Полиномы V_k(x) и U_k(x) вычисляются по формулам [2-5]:

U_k1(x) = 2x U^ - U_k_\(x);

^(x)=^_!(x)-(1-X2)1/2.

Подставив это выражение в (7) и (8), получим формулы для расчета амплитуд гармоник А_k,s через полиномы Чебышева U_k(x_i).

Особенности расчета спектра при равномерном и неравномерном шагах квантования по оси абсцисс

Практический интерес представляет случай, когда характеристика квантователя имеет равномерный по оси х шаг квантования (см. рис. 1). В этом случае пороги квантования х_i определяются по формулам:

Xj = (2/ - l)/s при нечетном s;

xf = 1i/s при четном s, где i =1; 2; 3 … – номер порога квантования.

Для этого случая справедливы следующие предельные соотношения:

А_1,∞= lim A_1,s = 1 при s → ∞;

А_k,∞= lim A_k,s = 0 при s → ∞, k > 1.

Из этих соотношений следует очевидный вывод, что квантователь с равномерными по осям х и у шагами квантования и с бесконечно большим числом уровней квантования (s → ∞) не изменяет спектр входного сигнала. В цифровых системах связи применяют квантователи с логарифмической зависимостью y = f(x), описываемой выражениями [8]:

у ₌ln(l + //x) пр_И g < _x< ] .      (9)

ln(l + /I)

у = —при -1 < x< 0,   (10)

ln(l + Ц)

где μ – параметр, определяющий степень сжатия динамического диапазона входного сигнала.

Получим выражение для расчета порогов квантования х_i квантователя, характеристика которого описывается выражениями (9) и (10). При равномерном по оси у шаге квантования имеем

Из (11) получим выражение для расчета порогов квантования х :

i

Xj = — expf     ln(l + //) -1).       (12)

//   V~1         )

Подставив эти значения в выражения (7) или (8), рассчитаем спектр квантованного гармонического сигнала на выходе квантователя с логарифмической характеристикой v ^ M. Аналогичным образом можно получить выражения для расчета порогов квантования х_i при других зависимостях y=j^ [9-10].

Заключение

Полученные формулы позволяют рассчитать спектр квантованного гармонического сигнала на выходе квантователя с любым числом порогов квантования по оси абсцисс и с любой характеристикой у =ЛД симметричной относительно оси ординат. Полученные формулы дают инструмент для исследования шумовых характеристик квантователей, а также для оптимизации этих характеристик по точностным и шумовым показателям.