Расчёт осевых сферических аберраций высших порядков светосильного фокусирующего ГОЭ с исправленной сферической аберрацией третьего порядка. Часть 1

Известно, что наличие монохроматических и хроматических аберраций [1–3] у голограммных оптических элементов (ГОЭ) существенно ограничивает возможности их применения в задачах преобразования и регистрации полихроматической (немонохроматической) световой волны. В связи с разработкой в последние годы светосильных ГОЭ, например [4], возникла необходимость дополнительного исследования аберраций высших порядков ГОЭ и зависимости этих аберраций от изменения рабочей длины волны. Аналитические выражения для расчётов осевых монохроматических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков были представлены в работах [5–7]. Эти выражения позволяют вычислить монохроматические аберрации высших порядков на заданной длине волны в разных порядках дифракции. Возможности исправления сферической аберрации третьего порядка ГОЭ при изменении длины волны восстанавливающего излучения исследовались во многих работах, в частности в [8, 9], но исправление аберраций высших порядков в них не рассматривалось.

На протяжении уже нескольких десятилетий активно ведутся теоретические и экспериментальные исследования по расширению рабочего спектрального диапазона ГОЭ за счёт введения заданной хроматической аберрации в предметную полихроматическую волну [10–15] при помощи дополнительных оптических, дифракционных, голограммных элементов. Однако компенсация хроматических аберраций рас- сматривалась лишь в параксиальной области ГОЭ, а для светосильных ГОЭ требуется исправление хроматических аберраций и в непараксиальной области. Кроме этого, когда требуется компактный светосильный ГОЭ с исправленными осевыми аберрациями лишь на двух или нескольких рабочих длинах волн, использование ахроматической голограммной системы (из разнесённых двух и более элементов) с расширенной спектральной областью не оптимально.

Известно, что тонкие ГОЭ обладают многопоряд-ковостью, то есть падающая на ГОЭ полихроматическая световая волна дифрагирует во множество положительных и отрицательных порядков. Это приводит к наложению полихроматических световых волн разных порядков друг на друга и к дополнительным фоновым искажениям в волне, дифрагировавшей в выбранный порядок дифракции. Но также известно, что фокусирующий ГОЭ с микродиафрагмой в плоскости фокусировки может выполнять одновременно функции пространственного и спектрального фильтров оптического сигнала [16, 17]. Выбор оптимального размера микродиафрагмы позволяет отделить отражённую от объекта монохроматическую волну (оптический сигнал) от сильного полихроматического светового шума, например от фона естественного белого света или от световых помех (специальной засветки) [18]. Для выделения такого монохроматического оптического сигнала требуется максимально высокое значение относительного отверстия ГОЭ. Но известно, что при относительных отверстиях ГОЭ, близких к 1:1, уже требуется брать во внимание осевые монохроматические и хроматические аберрации ГОЭ высших порядков.

В связи с этим целью работы является изучение сферических аберраций высших порядков светосильного фокусирующего ГОЭ для их коррекции на заданных двух длинах волн видимого и двух длинах волн ультрафиолетового диапазонов спектра.

Актуальность таких исследований вызвана необходимостью повышения светосилы ГОЭ, используемых в качестве фокусирующего объектива излучения лазера с удвоителем частоты, а также потребностью изготовления светосильных ГОЭ с двумя разными рабочими длинами волн [19, 20]. Кроме этого, детальное изучение непараксиальных сферических аберраций высших порядков ГОЭ проясняет возможности коррекции этих аберраций у одиночного ГОЭ, открывая новые подходы к разработке более светосильных вариантов известных голограммных ахроматических систем [10–13]. Изучение сферических аберраций высших порядков важно и для толстых интерференционных ГОЭ, которые в последние годы находят применение для различных целей, например, для ввода изображения прицельного знака в поле зрения коллиматорных прицелов [19, 20], для достижения высокого разрешения трёхдиапазонного спектро-метра-полихроматора [21], что связано с совершенствованием известных голографических материалов и разработкой перспективных новых материалов [22].

1.    Формулы сферических аберраций многопорядкового осевого ГОЭ

Рассмотрим многопорядковый фокусирующий ГОЭ (рис. 1 а ), который записывается в осевой схеме с расходящейся опорной и сходящейся объектной сферическими волнами (рис. 1 б ) [23]. Известно, что методы расчёта аберраций для интерференционных ГОЭ применимы и к синтезированным ГОЭ, изготавливаемым на специализированном оборудовании [3]. Для синтезированных ГОЭ длина волны записи является ещё одним дополнительным параметром коррекции аберраций.

На рис. 1 а, б ось Oz цилиндрической системы координат перпендикулярна ГОЭ и является его оптической осью, а ГОЭ находится в плоскости радиальных координат rO φ. Расстояния z r , z o , z c на рис. 1 а, б и в тексте работы – это расстояния от центра ГОЭ до точечных источников опорной, объектной и предметной (восстанавливающей) волн, расстояние z i на рис. 1 а и в тексте работы – это расстояние от центра ГОЭ до точки изображения источника предметной волны.

Хроматические аберрации тонкого ГОЭ, как известно, имеют место, когда используемая рабочая длина волны ГОЭ отличается от заданной длины волны записи. В частном случае, когда заданная рабочая длина волны совпадает с длиной волны записи, хроматическая аберрация ГОЭ будет иметь место на длинах волн, отличающихся от длины волны записи [3]. В работе мы рассматриваем осевые монохроматические сферические аберрации ГОЭ (далее по тексту – сферические аберрации). В работе применяется термин «схема использования» ГОЭ вместо термина «схема восстановления», так как рассматриваемые осевые ГОЭ в каждом порядке дифракции выполняют функции фокусирующей линзы.

Известно, что аналитические выражения радиусов поперечных сферических аберраций первого (дефокусировка), третьего и высших порядков (пятого, седьмого и девятого порядков) тонкого осевого ГОЭ могут быть записаны в виде [2, 6, 7]

A r j = C j z i r

Г 1    1 )    k X c  f 1    1

I z     z   I   X mj+1 I z     zI

V zc   zi J  Xomr  V zr   zo

где Δ r j – радиус поперечной сферической аберрации j -го порядка ( j = 1, 3, 5, 7, 9…); С j – численные коэффициенты, равные С ₁= 1, С ₃=0,5, С ₅ = 0,375, С ₇ = 0,3125, С 9 = 0,2734375; r – радиус выходного зрачка ГОЭ (плоскость выходного зрачка предполагается совпадающей с плоскостью ГОЭ); k – порядок дифракции; λ c – рабочая длина волны; λ o – длина волны записи, m r – коэффициент масштабирования ГОЭ вдоль радиальной координаты r . При выполнении численных расчётов в работе коэффициент масштабирования принят равным m_r = 1, то есть не учитываются изменения размеров ГОЭ при его изготовлении и использовании. Известно, что в этом случае сформированное ГОЭ изображение осевого источника предметной волны представляет собой кружок (поперечная сферическая аберрация) и Δ r j – это радиус этого кружка. В дальнейшем, в работе радиус r будет равен радиусу выходного зрачка ГОЭ, поэтому аберрационная кривая осевого источника предметной волны (в плоскости изображения) будет представлять окружность радиусом Δ r j .

Рис. 1. Схема использования (а) и схема записи (б) многопорядкового осевого ГОЭ

Величины расстояний z_c и z_i в схеме использования ГОЭ определяются из известных условий равенства нулю его дефокусировки и сферической аберрации третьего порядка и равны [8, 9, 23]:

2mF f i ₊    ¹ ,   ⁴ m 2 ^(e o ⁺ 1) '

k И      \| 3   3 k >2 ( p o + 1 ) ³

V                          )

2 m r F o , ------ 1 — k И V

1    4 m 2 (P 0 + 1 ) ---1--T 3 3 k 2ц 2 ( в 0 + 1 ) 3 )

где µ = λ _c / λ _o – отношение рабочей длины волны λ _c к длине волны λ _o записи ГОЭ, β _о и F_o – соответственно коэффициент линейного увеличения и фокусное расстояние ГОЭ на длине волны записи λ о .

Таким образом, из выражений (1) (при подстановке формул (2)) могут быть вычислены радиусы сферических аберраций высших порядков ГОЭ, у которого дефокусировка и сферическая аберрация третьего порядка равны нулю во всём рабочем спектральном диапазоне.

Следует отметить, что если произведение k µ не изменяется, то есть, если в k -м порядке дифракции рабочие длины волн в k раз меньше, то схемы использования в первом и k -м порядках дифракции совпадают для соответствующих рабочих длин волн, отличающихся в k раз. При k µ = 1 из формулы (2) получаем (для m r = 1), что соответствующие расстояния в схеме использования и схеме записи равны: z c = z r , z i = z o , то есть схема использования совпадает со схемой записи.

2.    Численные результаты расчётов

Рассмотрим в первом порядке дифракции зависимость от рабочей длины λ с волны сферических аберраций высших порядков осевого ГОЭ, с исправленной сферической аберрацией третьего порядка. Результаты расчёта по формулам (1) зависимости радиусов Δ r j сферических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков ГОЭ от рабочей длины волны λ _с представлены на рис. 2 а–г (при коэффициентах увеличения β _о на длине волны записи λ _о , равных соответственно β _о = 1×, 2×, 3×, 4×). При выполнении расчётов, представленных на рис. 2 а–г и на последующих рисунках, длина волны лазера, используемого при записи ГОЭ, предполагается равной λ о = 0,532 мкм. Диаметр ГОЭ равен 40 мм, фокусное расстояние на длине волны λ о записи принято равным 40 мм (то есть относительное отверстие ГОЭ равно 1:1). Величина относительного отверстия ГОЭ прямо пропорциональна рабочей длине волны λ _с , так как фокусное расстояние ГОЭ обратно пропорционально рабочей длине волны λ _с [24]. По вертикальной оси на рис. 2 а–г отложены в микрометрах значения радиусов поперечных сферических аберраций высших порядков, по горизонтальной оси на рис. 2 а–г и на последующих рисунках – значения рабочей длины волны λ с в микрометрах.

На рис. 2 а–г сплошной кривой указана зависимость радиуса Δ r 5 поперечной сферической аберрации пятого порядка, штриховой кривой – радиуса Δ r ₇ аберрации седьмого порядка, точечной кривой – радиуса Δ r ₉ аберрации девятого порядка.

Для графиков на рис. 2 а , б расстояния z_r от источника сферической опорной волны до центра ГОЭ приняты соответственно равными 80 мм и 60 мм, а расстояния z o от центра ГОЭ до точки схождения сферической объектной волны – 80 мм и 120 мм. Коэффициенты увеличения β о в этих схемах записи равны соответственно 1× и 2×.

Рис. 2. Зависимости радиуса ∆r j поперечной сферической аберрации пятого, седьмого и девятого порядков осевого

ГОЭ от изменения рабочей длины волны λс при разных коэффициентах увеличения βо

Получено, что при коэффициенте увеличения β о = 1 в первом порядке дифракции рабочий спектральный диапазон ГОЭ ограничен (рис. 2 а ): минимальная рабочая длина волны равна 0,266 мкм, а максимальная рабочая длина волны равна 0,532 мкм. При

увеличении рабочей длины волны λ _с от минимального до максимального значения величины радиусов Δ r j сферических аберраций увеличиваются, достигают максимальных значений и затем уменьшаются до нуля. Наибольшие значения радиусов сферических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков равны Δ r 5 = 32,01 мкм, Δ r 7 = 3,75 мкм и Δ r 9 =0,35 мкм соответственно на длинах волн 0,335 мкм, 0,368 мкм и 0,388 мкм. Из графиков на рис. 2 а следует, что сферическими аберрациями седьмого и девятого порядков ГОЭ по сравнению со сферическими аберрациями пятого порядка можно пренебречь во всём рабочем спектральном диапазоне.

При коэффициенте увеличения β _о = 2× (рис. 2 б ) в первом порядке дифракции рабочий спектральный диапазон ГОЭ смещается в более длинноволновую область и ограничен диапазоном с минимальной длиной волны 0,308 мкм и максимальной длиной волны 0,614 мкм. На нижнем крае (при наименьших длинах волн) рабочего спектрального диапазона ГОЭ радиусы Δ r j сферических аберраций высших порядков достигают очень больших значений. При увеличении рабочей длины волны радиусы поперечных сферических аберраций уменьшаются и равны нулю при длине волны 0,434 мкм для аберрации пятого порядка, при 0,463 мкм – для аберрации седьмого порядка и при 0,481 мкм – для аберрации девятого порядка. Далее с увеличением длины волны радиус аберрации пятого порядка принимает наибольшее значение 5,3 мкм на длине волны 0,48 мкм, а радиус аберрации седьмого порядка 0,5 мкм на длине волны 0,497 мкм. Затем радиусы аберраций высших порядков уменьшаются до нуля на длине волны 0,532 мкм. В диапазоне длин волн от 0,532 мкм до 0,614 мкм радиус сферических аберраций вновь увеличивается. На максимальной длине волны 0,614 мкм радиус сферической аберрации пятого порядка равен Δ r 5 = 23,4 мкм, седьмого порядка Δ r 7 =4,3 мкм, девятого порядка Δ r 9 = 0,6 мкм. Таким образом, в этом случае ограничение рабочего спектрального диапазона обусловлено не выполнением условия исправления сферической аберрации третьего порядка [23], а заданной величиной сферической аберрации пятого порядка. Сферической аберрацией девятого порядка можно пренебречь во всём рабочем спектральном диапазоне. Получаем также, что в рабочем спектральном диапазоне от 0,418 мкм до 0,554 мкм радиусы аберраций высших порядков ГОЭ не превышают величины 5,3 мкм, а относительное отверстие ГОЭ в этом диапазоне увеличивается от 1:1,28 до 1:0,96.

При выполнении расчётов, представленных на рис. 2в, г, расстояния zr приняты соответственно равными 53,33 мм и 50 мм, а расстояния zо – 160 мм и 200 мм. Получено, что при коэффициенте увеличения βо =3× (рис. 2в) в первом порядке дифракции рабочий спектральный диапазон ГОЭ ограничен диапазоном 0,352 мкм – 0,703 мкм. Вблизи минимальной рабочей длины волны радиусы сферических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков принимают очень большие значения. При увеличении рабочей длины волны радиусы сферических аберраций высших порядков нелинейно уменьшаются до нуля при длине волны 0,532 мкм. Далее с увеличением длины волны радиусы сферических аберраций увеличиваются незначительно, достигая значений: Δ r 5 = 1,7 мкм при λ с = 0,555 мкм, Δ r 7= 1 мкм при λ с = 0,570 мкм, Δ r 9 = 0,27 мкм при λс = 0,578 мкм, вновь уменьшаются до нуля (соответственно при длинах волн 0,580 мкм, 0,609 мкм, 0,624 мкм) и затем увеличиваются до максимальных значений Δ r5 = 44,6 мкм, Δ r 7 =9,8 мкм, Δ r9 = 1,7 мкм на самой большой рабочей длине волны λ с = 0,703 мкм. Получаем, что рабочий спектральный диапазон ГОЭ и в этом случае ограничен заданной величиной сферической аберрации пятого порядка. Сферической аберрацией девятого порядка можно пренебречь во всём рабочем спектральном диапазоне. В диапазоне от 0,523 мкм до 0,590 мкм радиусы аберраций высших порядков ГОЭ не превышают величины 1,7 мкм. Относительное отверстие ГОЭ при этом увеличивается от 1:1,02 (на длине волны 0,523 мкм) до 1:0,92 (на длине волны 0,590 мкм).

Из графиков на рис. 2 г получаем, что при коэффициенте увеличения β _о =4× в первом порядке дифракции рабочий спектральный диапазон рассматриваемого тонкого ГОЭ ограничен диапазоном 0,385–0,767 мкм, то есть практически полностью охватывает видимый диапазон спектра. На минимальных рабочих длинах волн радиусы сферических аберраций высших порядков очень велики по сравнению с другими длинами волн. При увеличении длины волны величины радиусов сферических аберраций уменьшаются до нуля на длине волны 0,532 мкм. Далее с увеличением длины волны радиусы сферических аберраций нелинейно растут и достигают наибольших значений (Δ r ₅ = 17,2 мкм при λ _с = 0,598 мкм, Δ r ₇ =6,7 мкм при λ _с = 0,613 мкм, Δ r ₉ = 1,7 мкм при λ _с = 0,621 мкм), вновь уменьшаются до нуля (соответственно при длинах волн 0,673 мкм, 0,698 мкм и 0,711 мкм) и затем увеличиваются до максимальных значений Δ r 5 = 54,7 мкм, Δ r 7 = 13,6 мкм, Δ r 9 = 2,6 мкм соответственно на максимальной длине волны 0,767 мкм. Таким образом, в рабочем спектральном диапазоне от 0,509 мкм до 0,707 мкм радиусы аберраций высших порядков не превышают 17,6 мкм. Получаем также, что при увеличении относительного отверстия ГОЭ от 1:1,4 (на длине волны 0,384 мкм) до 1:0,7 (на длине волны 0,703 мкм) аберрация седьмого порядка во всём рабочем спектральном диапазоне значительно меньше аберрации пятого порядка, а аберрацией девятого порядка можно пренебречь.

Таким образом, получено, что для тонкого осевого фокусирующего ГОЭ с исправленной сферической аберрацией третьего порядка радиусы поперечных сферических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков в рабочем спектральном диапазоне изменяются немонотонным образом. Радиусы осевых сферических аберраций этих высших порядков могут быть существенно уменьшены выбором коэффициен- та увеличения βо. Причём при всех значениях βо (кроме βо ~ 1) существует ещё одна рабочая длина волны, отличающаяся от длины волны записи, на которой осевые сферические аберрации высших порядков равны нулю. Отметим, что каждая аберрация высшего порядка становится равной нулю на своей длине волны. Подчеркнём, что выбор βо не только уменьшает (увеличивает) аберрации, но и одновременно сужает (расширяет) рабочий спектральный диапазон фокусирующего ГОЭ. Ширина рабочего спектрального диапазона ГОЭ в k-м порядке дифракции изменяется от 0,5λо / k до 2λо / k. Общим для всех графиков на рис. 2а–в является известный факт – на длине волны записи 0,532 мкм все аберрации высших порядков ГОЭ равны нулю.

Во втором и в последующих k -х порядках дифракции рассмотренных ГОЭ получаются такие же зависимости радиусов сферических аберраций пятого, седьмого и девятого порядков от рабочей длины волны. Отличие заключается лишь в уменьшении в k раз границ и протяжённости рабочего спектрального диапазона по сравнению с диапазоном в первом порядке дифракции.

Из выражений (2) следует, что каждой рабочей длине волны λ _с соответствуют присущие только ей значения расстояний z с , z i . В качестве примера применения выражений (2) рассмотрим схему использования ГОЭ с увеличением β о =2×, осевые аберрации высших порядков которого представлены на рис. 2 б . Результаты расчёта зависимости от длины волны λ _с расстояний z_с , z_i в схеме использования этого ГОЭ (в первом порядке дифракции) представлены на рис. 3. Штриховой кривой обозначена зависимость расстояния z i , сплошной кривой – зависимость расстояния z с . По вертикальной оси на рис. 3 отложены значения расстояний z с , z i в миллиметрах.

Рис. 3. Зависимости расстояний zс, zi в первом порядке дифракции ГОЭ от изменения рабочей длины волны λс

Получено, что при минимальных значениях рабочей длины волны λc соответствующие расстояния zi очень велики, что и является причиной больших значений радиуса аберраций высших порядков на этих длинах волн. С ростом длины волны λc расстояние zi монотонно нелинейно уменьшается, достигая наименьшего значения 70,2 мм при наибольшей рабочей длине волны. Эта зависимость отражает наличие у ГОЭ зна- чительной хроматической аберрации положения и указывает на её уменьшение с ростом длины волны.

При минимальной рабочей длине волны расстояние z с равно 69,3 мм, а при максимальной рабочей длине волны z i равно 68,4 мм. На всём рабочем спектральном диапазоне расстояние z с немонотонно изменяется относительно мало по сравнению с расстоянием z i . Более подробно изменение расстояния z с обсуждается ниже.

3.    Обсуждение

Рассмотрим более подробно аберрации пятого порядка ГОЭ, так как они являются наиболее значительными в приведённых выше примерах ГОЭ. Результаты расчёта зависимости в первом и втором порядках дифракции радиусов сферической аберрации пятого порядка ГОЭ от изменения рабочей длины волны λ _с (при разных β _о ) представлены на рис. 4 а, б . Сплошная, штриховая, точечная и штрихпунктирная кривые указывают зависимости радиусов сферической аберрации при увеличениях β_о, соответственно равных β о = 1,05×, 2×, 3×, 4,44×.

Получено, что при β о > 1,046× сферическая аберрация пятого порядка ГОЭ равна нулю не только на длине волны записи λ о = 0,532 мкм, но и на другой длине волны λ cor , существенно отличающейся от λ о (рис. 4 а ). Причём λ _cor меньше λ _о , когда β _о принимает значения от 1,046× до 2,5× и λ _cor больше λ _о при β _о большем 2,5×. Для значений β _о =2×, 3× и 4,44× соответствующие длины волн λ _cor равны: 0,434 мкм, 0,580 мкм и 0,704 мкм. Если β _о принимает значения от 1× до 2,5×, то увеличение рабочей длины волны λ _с от величины λ cor до длины волны записи λ о приводит к увеличению радиуса сферической аберрации пятого порядка, к достижению максимального значения и последующему уменьшению до нуля. Для β о > 2,5× увеличение рабочей длины волны λ с от величины λ о до λ cor также приводит к увеличению радиуса сферической аберрации пятого порядка до максимальных значений и к последующему уменьшению до нуля. Максимальные значения сферических аберраций пятого порядка для этих β _о = 1,05×; 2×; 3×; 4,44× равны 31,6 мкм; 5,3 мкм; 1,7 мкм; 27,1 мкм соответственно при рабочих длинах волн 0,339 мкм; 0,480 мкм; 0,555 мкм; 0,611 мкм. Зависимости, подобные представленным на рис. 4, можно получить для любых значений β о . Расчёты показывают, что можно выбрать схемы использования ГОЭ с заданными рабочими спектральными диапазонами, в которых при коэффициенте увеличения β о , изменяющемся в пределах от 1× до 4,5×, сферическая аберрация пятого порядка не превышает 32 мкм, а при изменении β _о в пределах от 2× до 3,5× – не превышает 5,3 мкм.

Аналогичным образом получаем, что у этого же ГОЭ во втором порядке дифракции при значениях βо = 1,07×; 2×; 3×; 4,44× исправление сферической аберрации пятого порядка имеет место не только на длине волны λо /2, но и на другой длине волны λ'cor (рис. 4б), отличающейся от λо /2. Так, при значениях βо = 1,07×; 2×; 3×; 4,44× величины соответствующих длин волн X'cor равны: 0,134 мкм; 0,218 мкм; 0,290 мкм; 0,352 мкм. При условии 1,0655 < в о <2,5 увеличение рабочей длины волны Xc от величины X 'cor до длины волны Xо/2 приводит сначала к увеличению радиусов сферической аберрации пятого порядка до максимальных значений, а затем к уменьшению до нуля. Аналогично при условии в о >2,5 увеличение рабочей длины волны Xс от величины Xо/2 до длины волны X 'cor приводит к увеличению радиусов сферической аберрации пятого порядка до максимальных значений и затем к уменьшению до нуля.

Рис. 4. Зависимости в первом (а) и втором (б) дифракционных порядках радиуса ∆r5 сферической аберрации пятого порядка ГОЭ в выбранных рабочих спектральных диапазонах при разных коэффициентах увеличения βо

Максимальные значения сферической аберрации пятого порядка для этих коэффициентов увеличения в о = 1,07х; 2х; 3х; 4,44х равны: 31,3 мкм; 5,3 мкм; 1,7 мкм; 27,1 мкм соответственно при длинах волн 0,171 мкм; 0,241 мкм; 0,278 мкм; 0,305 мкм. Получаем, что можно выбрать схемы использования во втором порядке дифракции ГОЭ, в которых при коэффициенте увеличения в о , изменяющемся в пределах от 1х до 4,5х, сферическая аберрация пятого порядка не превышает 32 мкм, а при изменении в пределах от 2х до 3,5х не превышает 5,3 мкм. Выражения (1) и (2) позволяют построить графики зависимости радиусов сферических аберраций высших порядков от рабочей длины волны, аналогичные представленным на рис. 2, 3, 4 и при коэффициентах увеличения в _о , принимающих значения от нуля до единицы.

Таким образом, для исправления сферической аберрации пятого порядка ГОЭ на двух заданных длинах волн в разных (например, в первом и втором)

порядках дифракции необходим записывающий лазер, имеющий одну из заданных длин волн в первом порядке дифракции и выбор требуемого значения в о для схемы записи. При заданном значении фокусного расстояния F_o и выбранной величине коэффициента увеличения в о можно рассчитать по известным формулам координаты z r , z_o точечных источников опорной и объектной сферических волн [8, 24].

График зависимости расстояния z_c ГОЭ из рис. 3 представлен на рис. 5. Из графика получаем, что при увеличении рабочей длины волны от 0,308 мкм до 0,532 мкм расстояние z_c уменьшается нелинейно с величины 69,3 мм до минимального значения z_c = 60 мм при длине волны 0,532 мкм и затем нелинейно увеличивается до величины 68,4 мм. Причём в рабочем спектральном диапазоне от 0,308 мкм до 0,532 мкм линейная дисперсия d z_c / dX _с имеет отрицательный знак, а в диапазоне от 0,532 мкм до 0,614 мкм -положительный знак. При длине волны

1 с = X о 3 ( в о ³ + 1 ) / ( в о + 1 ) ³ =

= 0,532^3( 23 +1) / (2 +1)3 = 0,5 32 мкм дисперсия dzc / dXс равна нулю. Этот эффект изменения знака линейной дисперсии ГОЭ позволяет определить в диапазоне длин волн от 0,432 мкм до 0,614 мкм две рабочие длины волны при одном и том же значении расстояния zc (как показано на рис. 5). Этот эффект также позволяет в некоторой окрестности минимального значения zc = Fo 4 3(в о + 1)3/4(в0 +1) =

= 40^3(2 +1)3 /4(23 +1) = 60 мм заменить кривую зависимости zc(Xc) постоянной величиной, например zc = 60,154 мм. Тогда в диапазоне длин волн от 0,5 мкм до 0,563 мкм можно считать, что расстояние zc не изменяется.

Таким образом, можно расчитать осевые аберрации ГОЭ, формирующего изображение точечного полихроматического источника с рабочим спектральным диапазоном 0,5-0,563 мкм и находящегося на расстоянии ~ 60 мм от ГОЭ. Результаты расчёта зависимости в первом порядке дифракции радиусов A r ₃, A r ₅, A r ₇ сферических аберраций третьего, пятого и седьмого порядков ГОЭ от длины волны источника представлены на рис. 6. Точечной кривой на рисунке указана зависимость радиуса сферической аберрации третьего порядка, сплошной кривой - сферической аберрации пятого порядка, пунктирной кривой - сферической аберрации седьмого порядка.

Расстояние от точечного источника полихроматической волны до ГОЭ принято равным zc = 60,154 мм. Получено, что на всем рабочем диапазоне от 0,5 мкм до 0,563 мкм радиус сферической аберрации третьего порядка не превышает 20,7 мкм, пятого порядка -6,8 мкм, седьмого порядка - 0,8 мкм. На рис. 6 радиус сферической аберрации третьего порядка ГОЭ равен нулю на длинах волн 0,508 мкм и 0,553 мкм. Радиусы сферических аберраций пятого и седьмого порядков ГОЭ равны нулю на длине волны 0,521 мкм. Относительное отверстие ГОЭ увеличивается при этом (во всем рабочем диапазоне) от 1:1 до 1:0,89.

Рис. 5. Зависимость расстояния zс от изменения рабочей длины волны λс

Рис. 6. Зависимость радиусов сферических аберраций третьего, пятого и седьмого порядков изображения точечного полихроматического источника ГОЭ от изменения рабочей длины волны λс

Таким образом, получено, что осевые сферические аберрации третьего порядка ГОЭ можно исправить на двух длинах волн λ 1 cor и λ 2 cor рабочего спектрального диапазона, отличающихся от длины волны записи 0,532 мкм. Причём, перемещая ГОЭ вдоль оптической оси, можно уменьшать и увеличивать как сами длины волн λ_{1 cor} и λ_{2 cor} , так и спектральный диапазон между ними. Исправляются аберрации и вблизи этих двух волн, тем самым создавая ГОЭ с двумя узкими рабочими спектральными диапазонами – двухдиапазонные ГОЭ. Ширина спектрального диапазона при длине волны λ 1 cor = 0,508 мкм равна 8 нм, при второй длине волны λ 2 cor = 0,553 мкм равна 10 нм. Величина радиуса сферической аберрации третьего и высших порядков в этих диапазонах не превышает 7 мкм.

Так как в выражениях (2) расстояния zс, zi зависят от произведения kµ, то во втором порядке дифракции ГОЭ графики зависимости zс (λс) и zi (λс) совпадают с графиками в первом порядке дифракции при замене λс на 0,5λс. Зависимость радиусов сферических аберраций третьего, пятого и седьмого порядков изображения точечного полихроматического источника ГОЭ во втором порядке дифракции от изменения рабочей длины волны λс совпадает с графиком на рис. 6. Отличие заключается лишь в изменении рабочего спектрального диапазона 0,500–0,563 мкм на диапазон 0,250–0,281 мкм. Поэтому длины волн, на которых имеет место равенство нулю сферических аберраций ГОЭ во втором порядке дифракции, меньше в два раза, чем в первом порядке, и равны: для третьего порядка – 0,254 мкм и 0,2765 мкм, для пятого и седьмого порядков – 0,261 мкм.

Двухдиапазонные ГОЭ могут быть использованы для фокусировки излучения полихроматических источников света.

Заключение

В работе численно изучена зависимость сферических аберраций высших порядков осевого светосильного ГОЭ от изменения рабочей длины волны на примере ГОЭ с фокусным расстоянием 40 мм на длине волны записи. Показано, что для фокусирующего осевого ГОЭ с исправленной сферической аберрацией третьего порядка и с относительным отверстием 1:1 на длине волны записи сферические аберрации седьмого порядка в 2–10 раз, а и девятого порядка в 6– 100 раз меньше аберраций пятого порядка в рабочих спектральных диапазонах как в первом, так и во втором порядках дифракции (при одинаковых диаметрах ГОЭ).

Показано, что для ГОЭ, зарегистрированного расходящейся опорной и сходящейся объектной волнами, наряду с исправлением сферической аберрации третьего порядка во всём рабочем диапазоне выбором расстояний от ГОЭ до источника предметной волны z_c и до точки изображения z_i в схеме использования, существует возможность исправления сферических аберраций высших порядков на длине волны λ _с , принимающей значение в диапазоне от 0,5λ о / k до 2λ о / k , где λ о – длина волны записи, k – порядок дифракции. Причём сферические аберрации высших порядков исправляются на разных длинах волн λ с – у каждого порядка своя длина волны.

Показано, что при коэффициенте увеличения β о (на длине волны записи ГОЭ) меньше, чем 2,5×, длины волн λ _с , на которых имеет место исправление сферической аберрации, меньше длины волны записи; при коэффициенте увеличения β_о больше, чем 2,5×, наоборот, больше длины волны записи. В диапазоне между этими длинами волн и длиной волны записи сферическая аберрация высших порядков ограничена – абсолютная величина радиуса сферической аберрации высших порядков увеличивается, достигает максимума и затем уменьшается.

Показано, что зависимости расстояний zс (λс) и zi (λс) в схеме использования ГОЭ от изменения рабочей длины волны λс существенно различны. Так, при увеличении рабочей длины волны λс расстояние zi монотонно уменьшается, тогда как расстояние zс уменьшается до минимального значения zc = Fo ^3(Po + 1)3/4(03 +1), при

Xc = Xo ,]3 (вo3 + 1) / (вo + 1)3 , и затем увеличивается. Причём в одном и том же спектральном диапазоне пространственная дисперсия расстояния zi не изменяет знака и значительно превосходит по величине пространственную дисперсию расстояния zс. Таким образом, имеет место изменение знака пространственной дисперсии расстояния zс в схеме использования ГОЭ. Этот факт позволяет скорректировать сферическую аберрацию третьего порядка тонкого осевого ГОЭ в спектральном рабочем диапазоне.

Показано, что при использовании ГОЭ в первом и втором порядках дифракции для формирования изображения точечного источника света, излучающего в диапазонах 0,250–0,281 мкм и 0,500–0,563 мкм, существует возможность полного исправления в изображении сферической аберрации третьего порядка на двух длинах волн и сферических аберраций пятого, седьмого порядков на одной длине волны как видимого, так и ультрафиолетового диапазонов спектра. Причём эти длины волн (0,508 мкм и 0,553 мкм) отличаются от длины волны записи ГОЭ, равной 0,532 мкм. Предложены двухдиапазонные ГОЭ с исправленной сферической аберрацией третьего порядка, имеющие два рабочих спектральных диапазона 508 ±4 нм и 553 ±5 нм в первом порядке дифракции и два диапазона 254 ±2 нм и 276,5 ± 2,5 нм во втором порядке дифракции.

Полученные результаты применимы для ГОЭ, зарегистрированного расходящейся опорной и сходящейся объектной цилиндрическими волнами. Полученные результаты применимы для тонкого отражающего ГОЭ. Также полученные результаты применимы и для тонкого ГОЭ с рабочими спектральными диапазонами в других областях спектра от инфракрасного до рентгеновского диапазонов.

Работа выполнена в рамках инициативной НИР «Расчёт и разработка голограммных оптических элементов» в Институте оптики и оптических технологий Сибирского государственного университета геосистем и технологий.