Расчёт в зоне расслоения изотропной пластины

В современной авиационной технике широко применяются различные материалы, имеющие достаточно большую прочность при минимальном весе, в том числе композиционные материалы. При изготовлении деталей из подобных материалов могут появляться дефекты в виде расслоений непроклеев и т.д. Для начала рассмотрим зону расслоения поверхности, у которой ρ 1 =∞ и ρ 2 =∞, т.е. пластины, изготовленной из изотропного материала, под действием сжимающих сил N x и N y , как один из наиболее простых вариантов. N x и N y распределяем пропорционально жесткостям на изгиб, т.к. рассматриваем криволинейную форму устойчивости. Действительная расчётная амплитуда в центре зоны расслоения:

Возьмём производные от аппроксимирующей функции и подставив их в дифференциальное уравнение прогиба, получим:

°

°

D Z Z Amn m=1,3,... n=1,3,...

n ⁴ m ⁴ 16 a ⁴

4 22   44

n m n n n

16 a ² b ²    16 b ⁴ ,

д ul nm

,

где m = — - число полуволн при криволинейной форме устойчивости, 2 a и 2 b – наибольший и наименьший размеры зоны расслоения в направлении осей x и y. Дифференциальное уравнение прогиба срединной поверхности свободно опёртой пластины имеет вид:

( д ⁴ w     д ⁴ w   д ⁴ w '

D     + 2+ к дx4    дx2ду2   ду4 J

/

^

к

д w „ w w

N X _А 2 + N y _Л 2

д x       д у J

Решение данного уравнения будем искать в виде двойного тригонометрического ряда [1]:

-°  .     nm     nn w = >   > Am „cos—x cos—у mn m =1,3,... n =1,3,...           2 a        2 b     Q)

oo o

= - N x Z  Z A.

m = 1,3,... n = 1,3,...

где а = -^y , или: N x

п

к

_к    4 a "^

— а

n ² n ² ) 4 b ²  ,

2     22

m  n

2 ⁺ A 2

a   b J

= N x

2 m

2 n

+ ^а -у к a      ^b J

.

Критическая сила:

Ncr

_n 2 ( m ²/ a ² + n ²/ b ² ) 2 ⁴ ( m ²/ a ² + a n ²/ b ² )

Критические напряжения:

^ cr

N cr

t

.

Из условия прочности по критике определим максимальный допустимый прогиб:

wcr =----- nm

,

Ncr где u = 2a —r. Прогиб при расчётных нагрузках tE определяется по формуле:

■°       .     nm    nn wn„ ==  /   / A „cos--x cos—у расч   m =Z,... n =Z,...         2 a       2 by

.

Ограничиваясь первыми четырьмя членами тригонометрического ряда, получим:

w wрасч

д

= w < wcr

.    nx   пу   .    nx   3пу w = A cos cos + A cos cos    + расч    11    2a    2b    13    2a     2b

⁺ A 31

3nx   пу .     3пх   3пу cos cos + A-, cos cos 2a    2b    33    2a     2b

Для нераспространения расслоения необходимо выполнить два условия: а) по касательным напряжениям; б) по удельной потенциальной энергии.

а) Условие нераспространения расслоения:

В случае квадратной зоны расслоения:

Г < Г

u

T I = 0,63 o _u

max отс

Д    n     n w = A • cos x cos у расч          2a2b

•

т = —-----

I • b ,

Условие прочности запишется в виде:

IV   22

экв       x     y     x y     cr

Условие жёсткости:

где Q max - суммарная перерезывающая сила обоих слоёв (при x = a, y =0), S отс - статический момент отсечённой части единичной ширины сечения относительно центральной оси обоих слоёв (погонный статический момент), I - погонный момент инерции обоих слоёв относительно центральной оси, b =1 - единичная ширина сечения.

^    ^

Qz =- D Z  Z A m=1,3,... n=1,3,...

^д 3 w n 5 x ³

-

■ D • A^g •

_3 3    _ n m . nm

n n

--T— sin--- x • cos у 8 a ³2 a 2 b

, max _ _py ^8 a П m z(x=o)       nm 8 a a где 11 и 12 - толщина слоёв в расслоённой зоне (рис. 1).

Рис. 1. Толщина слоев в расслоенной зоне

б) Условие нераспространения расслоения запишем в виде:

—^^Г⁴ f

2 E ^x

+

—

2 E

S

“ ^{— 2} ( 1 ^— А )

22 о w о w

5 x ² 5 у¹

' д ² w ^5 x д у

> dxdy

E ^ Cr >- D Л ^ w ) ² — ² ( 1 — А )

5 ² w 5 ² w ( д²w 5 x ² д у ²   ^5 x д у

где S - площадь поверхности расслоённой зоны, V - объём расслоённой зоны.

Подсчитаем энергию для случая, когда прогибы задаются двойным тригонометрическим рядом по формуле (1). Подсчитаем потенциальную энергию расслоённой зоны с толщиной слоя t .

ab

p a b     to      to

U = D J J  X  X A

² - _a - b _ m = 1,3,... n = 1,3,...

to

to

mn

n m n n I

---+cos

4 a ²    4 b ² J 2 a

—y dxdy - D ( 1 - ц )

X

a b to       to xjj x  x Am

- a - b m = 1,3,... n = 1,3,...

n ⁴ m ² n ² 4 a ² b ²

₂ n m cos --- x • cos

2 a

2 n n ---y - sin

2 b

2 n m    .2 n n   |   ,

---x • sin —y I dxdy

2 a       2 b I

Изменив последовательность интегрирования и суммирования, запишем:

2 2   22 ² ab

D              2 I n m n n |r f ₂ nm     ₂ nn , ,

U =—  >     >  A_m„\ ---— I--z—     cos -- x cos —y • dxdy -

2 m -TLn .TL"” I 4a2   4b2           2a      2b^ У to          to              __-Г___-

- D ( 1 - ц ) X X A m n m 2

m = 1.3.... n = 1.3....           ^{4 a b}

to

to

.4„,2,„2 I a b

r r 2 nm       2 nn    ,  , cos ---x • cos —y • dxdy -

• \     2 a        2 b

\ - a - b

. 2nm    -2nn sin ---x • sin —y • dxdy 2a2b ab

- J J

- a - b

Каждый из двойных интегралов равен ab , поэтому две последних стоки тождественно обращаются в ноль и энергия определяется формулой:

U =

n ⁴ ab

to        to

D X X Am m=1,3,... n=1,3,...

2     22

2 + z.2

ab

Удельная потенциальная энергия расслоённой зоны толщиной t определяется формулой:

U     n 4 ab u = — =--------

V 32•2a•2b•t m2+n2 f a2 b2 I

to        to d xx Am n m=1,3,... n =1,3,...

n 4 Du =----

128 • t

to

to

mn m=1,3,... n=1,3,...

m2 a2

22 n b2,

,

2 ua

Amn примет вид: Amn =----, где m - количество nm

Л ^ ²+J- ^ ²

2 E^x 2 E^y

полуволн по оси x , u =

( N x ^- M N y ) • ^{2 a} - абсо-

-¹ ^ Cr >  u

лютное перемещение.

Исходя из вышесказанного, с учётом (3), условие нераспространения расслоения (2) запишется в виде: