Распознавание неисправностей систем и агрегатов воздушных судов с применением вероятностного метода Байеса

Летательные аппараты (ЛА) являются одной из самых сложных технических систем. Но как любое техническое изделие, ЛА имеют свойство отказывать, т. е. прерывать процесс функционирования, а это снижает надежность и безопасность полетов.

Как показывает практика, большая часть времени, при устранении отказа, тратится на поиск причины неисправности. Для решения этой проблемы надежность как наука предлагает применять методы распознавания, которые подразделяются на вероятностные и детерминистические.

Среди вероятностных методов наиболее часто используется теорема гипотез, основанная на формуле Байеса:

P ( k / S )

р (Sil kj) = р (S) -j^ , (1) где P(Si) - вероятность появления состояния Si, определяемая по выражению с использованием статистических данных р (Si) = N.I N /;                   (2)

P ( k i / S i ) - вероятность проявления признака k . у объектов с состоянием S i . Если среди N i объектов, находящихся в состоянии S i , у N_v проявился признак к, то

N р (j S-)=Nj.

Вероятность отсутствия признака Су изделий с состоянием 5.. равна

р(kj/S- ) = 1 - р(j S-), где P (kj) -вероятностьпоявленияпризнака ki во всех объектах независимо от состояния объекта р (Si ) = Nil N.(5)

Часто признак проявляется не один, а одновременно несколько, т. е. может быть комплекс признаков.

Если комплекс признаков состоит из v признаков, то р ( K * / S i ) = р ( k 1* / S i ) р ( k 1* k ₂ * / S i ) ... р ( k _v * k * _v ... k ' / S i ) , (6)

где k * - k_Js - разряд признака, выявившийся в ходе эксплуатации. Для диагностически независимых признаков

P ( K * / S i ) = P ( k , / S i ) P ( k ^J / S i ) ... P ( k ^J / S i ) .     (7)

В практических задачах, особенно при большом числе признаков, можно принимать условие независимости признаков даже при наличии существенной корреляции между ними.

Вероятность проявления комплекса признаков Р(^*) определяется по выражению n

P ( K * ) = Е P ( S c ) P ( K * / S c ) .            (8)

S = 1

Для комплекса признаков формула Байеса становится обобщенной и может быть записана в виде

.      .    P ( S ) P ( K * / S )

^P ( S i / K ~        (9)

Е p ( S c ) p ( к * / S c )

S=1 и n

Е p (Si I к *)= 1, i =1

• т. е. одно из состояний обязательно реализуется, а реализация одновременно двух состояний невозможна.

Обобщенная формула Баейса является основой для применения в любой области техники. Но прямое ее использование не дает требуемого результата. Чтобы достичь его (определение неисправности, отказа по теореме гипотез), необходимо взять конкретный объект, определить возможные варианты проявления признаков в неисправных состояниях и условия расчета и анализа.

Затем обобщенную формулу Баейса необходимо развить, углубить и путем преобразования построить требуемые расчетные математические выражения.

После этого составляется алгоритм поиска неисправностей.

Рассмотрим предлагаемую методику на примере масляной системы двигателя Д-ЗОКУ-154.

Определим возможные варианты проявления признаков в неисправных состояниях:

вариант 1 - проявление одного признака в одном неисправном состоянии;

вариант 2 - проявление одного признака в двух неисправных состояниях;

вариант 3 - проявление двух признаков в одном неисправном состоянии;

вариант 4 - проявление двух признаков в двух неисправных состояниях;

вариант 5 - проявление двух признаков в трех неисправных состояниях;

вариант б- проявление трех признаков в двух неисправных состояниях.

В каждом варианте необходимо рассматривать предлагаемые неисправные состояния с учетом возможного проявления признаков. Для этого нам целесообразно определить условия, при которых признаки будут рассматриваться как случаи, а неисправные состояния как вариации.

Условия расчета и анализа предусматривают:

• 1)    выполнение анализа по следующим случаям:

случай I) - при одновременном проявлении всех признаков;

случай 2) - при не проявлении первого признака; случай 3) - при не проявлении второго признака; случай 4) - при не проявлении обоих признаков.

При наличии трех и более признаков, количество случаев возрастает, например, при 3 признаках случаев уже 8;

• 2)    рассмотрим для каждого случая вариации - появление неисправных состояний, у которых могут проявиться одни и те же признаки:

вариация I) - для первого рассматриваемого неисправного состояния (5₁);

вариация 2) - для второго рассматриваемого неисправного состояния (5₂);

вариация 3) - для третьего рассматриваемого неисправного состояния (5₃).

Эти условия применимы только для того варианта, в котором одновременно имеется два и более признака, два и более неисправных состояния.

Каждое неисправное состояние необходимо рассматривать по всем случаям проявления и (или) не проявления признаков, а также их сочетания.

Для удобства и большей наглядности необходимо построить диагностическую матрицу общего вида (таблица), которая будет состоять из столбцов (в первом проставляем значения неисправных состояний, во втором и последующих - вероятности P ( k j / S i ) , а в последнем -значения вероятностей P ( S i )) и строк, в каждой из которых размещаем конкретное значение неисправного состояния.

Такую таблицу используют для получения необходимых предварительных расчетных данных.

Рассмотрим получение выражений для наиболее сложного варианта 5: проявление двух признаков ( k 1 9 k ₂ ) в трех неисправных состояниях ( S 1 , S ₂, S ₃ ) . Рассмотрим четыре случая при проявлении или не проявлении двух признаков и их сочетание в 3 вариациях, т. е. для трех неисправных состояний.

Вариация 1) - для первого неисправного состояния ( S , ) :

для случая I) - одновременное проявление двух признаков ( k , 9 k ₂ ) в неисправном состоянии S 1 . Используя обобщенную формулу Баейса (9), приходим к выводу, что это отношение, где в числителе произведение значений вероятности появления первого неисправного состояния, на вероятности проявления первого признака в первом неисправном состоянии и вероятность проявления второго признака в первом неисправном состоянии. В знаменателе сумма произведений трех слагаемых, первое из которых произведение значений вероятности появления первого неисправного состояния на вероятности проявления первого и второго признаков в первом неисправном состоянии, второе и третье слагаемое -аналогичные выражения первому, только по второму и третьему неисправным состояниям:

_{р (} S / kk _{) =}___________________________ P ( S ) P ( k , / S i ) P ( k 2 / S , ) ___________________________ z.

^{( 112} ) P ( S , ) P ( k , / S i ) P ( k 2 / S , ) + P ( S 2 ) P ( k , / S 2 ) P ( k 2 / S 2 ) + P ( S 3 ) P ( k , / S 3 ) P ( k 2 / S 3 ) . ^(1U)

Аналогичными действиями получены выражения для случая 2) - при не проявлении первого признака в неисправном состоянии 5₁ - P ( S , / k , k ₂ ) :

_{P ( S} / _{kk ) =}____________________________ ^P ( ^S , ) ^P (V S , ) ^P ( ^k 2 / S , ) ____________________________ /1 1 X

^{( , , 2} ) P ( S , ) P ( k , / S , ) P ( k 2 / S , ) + P ( S 2 ) P ( k , / S 2 ) P ( k 2 / S 2 ) + P ( S 3 ) P ( k , / S 3 ) P ( k 2 / S 3 )' ⁽¹¹⁾ для случая 3) - при не проявлении второго признака в S 1^{- p} ( S / k^ ) :

P ₍ S , kk ) =__________________ _        P ( S i ) P ( k'S i ) P ( k 2 / S 1 ) _____________________

( ' ¹¹ ) P ( S i ) P ( k i ' S i ) P ( k Л S i ) + P ( S . ) P ( k i ' S . ) P ( k , ' S , ) + ? ( S 3 ) ? ( k ' S 3 ) ? ( k , ' S , )’ для случая 4) - при не проявлении обоих признаков в S₁-P( S J kk k " ):

Для случая 4) - при не проявлении третьего признака - P ( S / k_i k ₂ k 3 ) :

P ( S / k k ₂ k ₃ ) =

____________________ P ( S ) P (p ' S ) P ( k 2 / S ) P ( k 3 / S i ) _____________ P ( S ) P ( k i ' S ) P ( k 2 / S i ) P ( k 3 / S ) + P ( S 2 ) P ( k i ' S 2 ) P ( k 2 / S 2 ) P ( k 3 / S 2 )

■ (17)

P ( S , / k , k ₂) =

_      _      P ( S i ) P ( k / S i ) P (/ S i )         _      _

P ( S , ) P ( k / S _i) P ( k ₂ / S ) + P ( S ₂) P ( k / S ₂) P ( k ₂ / S ₂) + P ( S ₃) P ( k , / S ₃) P ( k ₂ / S ₃)

Далее, выполняя действия, аналогичные случаю 1),

Далее рассмотрим вариации 2) варианта 5: для второго неисправного состояния (S₂)

Выполняя действия, аналогичные вариации 1), получим выражения для одновременного проявления двух признаков (k₁ и k₂) в S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ ) , для не проявления первого признака в S₂ - P ( S ₂ / k , 9 k ₂ ) ■ для не проявления второго признака в S₂ - P ( S ₂ / k^ 9 k ₂ ) , для не проявления двух признаков в S₂ - P ( S ₂ / k , 9 k ₂ ) ■

Вариация 3) - для третьего неисправного состояния (S₃).

Выполняя действия, аналогичные вариации 2), получим выражения для третьего неисправного состояния (S₃): P ( S ₃/ k , k ₂ ) ; P ( S ₃/ k , k ₂ ) ; P ( S ₃/ k , k , ) ; P ( S ₃/ k , k , ) ■

Вариант 6 необходимо рассматривать по 7 случаям: при проявлении или не проявлении трех признаков и их комбинации, и в 2 вариациях, т. е. для двух неисправных состояний.

Вариация 1) для первого рассматриваемого неисправного состояния (5₁).

Для случая 1) - одновременное проявление трех признаков (k_v k₂ и k₃) в неисправном состоянии 5₁ Используя обобщенную формулу Баейса (9), выводим выражение - P ( S , / k , k ₂ k ₃ ) ■ Это отношение, где в числителе произведение значений вероятности появления первого неисправ

получим выражения для случая 5) - одновременного не проявления первого и второго признаков в S₁ - P ( S , / k k ₂ k ₃ ) ■ для случая 6) - одновременного не проявления первого и третьего признаков в S₁ - P ( S , / k k ₂ k ₃ ) ■ для случая 7) - одновременного не_про-явления второго и третьего признаков в S₁ P ( S , / k_i k ₂ k ₃ ) ■ для случая 8) - одновременного не проявления трех признаков BS 1 - P ( S ₂/ k , k 2 k 3 ) ■

Выполняя действия, аналогичные вариации 1), получим выражения для вариации 2) - для второго неисправного состояния (S₂):

для случая 1а)- одновременное проявление трех признаков (k₁, k₂ и k₃) в неисправном состоянии S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) ; для случая 2) - при не проявлении первого признака ( k , , k ₂ 9 k ₃ ) в неисправном состоянии (S₂) - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) : для случая 3) - при не проявлении второго признака - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) : для случая 4) - при не проявлении третьего признака- P ( S , / k , k ₂ k ₃ ) : для случая 5)

ного состояния на вероятности проявления первого, второго и третьего признаков в первом неисправном состоянии; в знаменателе сумма из двух слагаемых, первый из которых - произведение вероятностей (значение), полученное в числителе, т. е. по первому неисправному состо

- одновременного не проявления первого и второго признаков в S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) ■ для случая 6) - одновременного не проявления первого и третьего признаков в S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) ■ для случая 7) - одновременного не проявления второго и третьего признаков в S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) ■ для случая 8) - одновременного не проявления трех признаков в S₂ - P ( S ₂ / k , k ₂ k ₃ ) ■

Проанализировав процесс получения расчетных выражений, делаем вывод и получаем следующие резуль

янию; второе слагаемое аналогично первому выражению, только по второму неисправному состоянию.

В этом варианте получим выражение вида

таты.

Для того, чтобы использовать теорему гипотез, при определении неисправностей в случае одновременного проявления двух и более признаков, необходимо выполнить следующие действия:

P ( S i / k i k ₂ k 3 ) =

P ( S i ) P ( k i / S i ) P ( k / S i ) P ( k 3 / S i )

P ( S i ) P ( k i / S i ) P ( k 2 / S i ) P ( k 3 / S i ) + P ( S 2 ) P ( k _i / S 2 ) P ( k 2 / S 2 ) P ( k 3 / S ₂ )

■ (14)

т. е. в выражениях числителя и слагаемых знаменателя

появляется еще один сомножитель с признаком k3.

Для случая2) - при не проявлении одного (первого) признака ( k _i, k ₂ 9 k ₃ ) в неисправном состоянии (S I )- ? ( S i ' k i k ₂ k 3 ) :

, ' kk k ) =______________________ P ( S i ) P ( k i / S i ) P ( k , / S i ) P ( k 3 / S i ) ______________________

^ ^{i 23} ) P ( S i ) P ( k ' S i ) P ( k ₂/ S i ) P ( k 3 / S ) + P ( S ₂ ) P ( k i / S 2 ) P ( k 2 / S 2 ) P ( k 3 / S 2 )

Для случая 2) - при не проявлении другого (второго) признака - P ( S / k k ₂ k ₃ ) :

, ' k -k ) =______________________P (Si) P (ki' Si) P (k2 / Si) P (k 3/S)  _________________ i 23) p(Si)p(ki/S)p(k;/Si)p(k3/Si)+p(s2)p(ki/s2)p(k;/s2)p(k3/s2)■

• -    определить варианты расчета с учетом проявления двух более неисправных состояний;

• -    определить условия по неисправным состояниям -вариации; по проявляющимся признакам - случаи;

• -    вывести выражения, исходя из обобщенной формулы Байеса, по полученным вариантам;

• -    рассмотреть каждый вариант по сочетанию неисправных состояний;

• -    рассмотреть каждое сочетание неисправных состояний по каждому сочетанию проявившихся признаков.

Применение теоремы гипотез в варианте, где проявляется только один признак или при выявлении одного

Диагностическая матрица общего вида

Не9справные состоян9я Si Вероятность проявлен9я пр9знака kj P (S) ПО k, по k2 по k3 P(k, /Si) P (k2' Si) P (k3/ S) S, P ( k ' S ) P (k' S2) P (k3/ S,) P (S) S2 P ( k ' s2) P (k2/ S2) P (k3/S2) P (S2) S 3 P ( k ' s3) P (k2/ S3) P(k3/S3) P (S3) неисправного состояния при двух и более проявившихся признаках, не имеет смысла, так как он однозначно дает определенный результат, указывающий на одно един ственное неисправное состояние. Это же может быть подтверждено простым логическим рассуждением или явно проявиться при функционировании объекта.

V. V. Lukasov, А. V. Katsura

RECOGNITION OF MALFUNCTION OF SYSTEMS AND UNITS OF AIR COURTS WITH BEIES PROBABILITY METHOD APPLICATION

The algorithm of definition of malfunctions offlying devices with application ofprobability method of recognition is resulted.