Распознавание закономерностей взаимовлияния между двумя многомерными пространствами в сложных системах через их динамику

• ¹    Самарский государственный технический университет

• ²    Самарский государственный медицинский университет

Представлены наиболее простые алгоритмы для определения характера взаимосвязи между различными координатами многомерных пространств, принадлежащих сложным системам. Эти алгоритмы позволяют обосновать критерии их классификации и прогнозировать реакции систем на внешнее возмущение информационного характера. Наряду с классическими подходами, основанными на линейной и нелинейной регрессиях, предложены оригинальные подходы с использованием понятия силы информационного возмущения, а также нового метода, базирующегося на теории множеств.

В работе представлены методы, при помощи которых в сложном объекте выявляется характер связи между отдельными подсистемами, представленными многомерными пространствами. В объекте выделяются две подсистемы А и В с пространствами P и S соответственно. Координаты вектора состояния подсистемы А инвариантны к внешнему возмущению информационного характера, тогда как вектор состояния подсистемы В изменяет свои координаты при воздействии внешнего возмущения на сложный объект в целом.

На наш взгляд, взаимовлияние удобнее выявить через динамику, т.е. когда возмущение F информационного характера представляется через приращение параметров пространства В.

Характер связей выявляется при помощи следующих подмножеств параметров:

• -    {P _m } i - параметры, определяющие состояние подсистемы А;

• -    {S_s} i - параметры состояния подсистемы В до возмущения;

• -    {S * _s} i - параметры состояния подсистемы В после внешнего возмущения F;

• -    {Ds} i - параметры, отражающие динамику подсистемы В (разница между спокойным и возмущенным состояниями);

где i - объем выборки (число сложных систем), m- число параметров подсистемы А, s- число параметров подсистемы В.

С целью повышения достоверности полученных результатов использовались четыре метода исследования вышеуказанных пространств, представленных множествами пар^аметр^{ов {p} m ^} i ^{и {D}s^} i .

Первый метод. Определялись коэффициенты корреляции между множествами {P _m } i и {Ds} i методом линейной регрессии [1]. Применительно к двум рядам наблюдений Y и X, регрессия Y по х представлена следующей зависимостью:

E (Y|x) = ₽„+₽, (x),(1)

где Р₀ , Р 1 - коэффициенты регрессии, которые находятся по формулам:

• в 0 = mY - р ^" mX;    Р1 = Р ~

°х с учетом того, что р - коэффициент корреляции X и Y, mX=E х, mY = E y, o2x = Dx, o2y = Dy. За регрессию, в данном случае принята зависимость средних арифметических параметров dj; от элементов множества {Pm}i. Таким образом, если имеется параметр pm i и наблюдается ji значений Д1, ..., di,j. случайной величины D, то зависимость средних арифметических

• d j,i = (d i¹ j ^{+ d} '^{Jl )}           (3)

этих значений от p _m и является регрессией.

На основании соотношений (1), (2) и (3) разработана структурная схема алгоритма вычисления коэффициентов корреляции с последующей реализацией его на Delphi как в табличном, так и в графическом виде.

Второй метод. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена [2] позволил выявить характер связей при помощи следующего подхода: реакцию подсистемы В на внешнее возмущение можно представить как некоторую аддитивную силу F_s параметров d j i

s

Fs,i = ? j               (4)

j=1

где i - номер объекта, j - номер параметра пространства S.

Соотношение Спирмена применялось к двум множествам {F _s } i и {P _m } i.

n

^R m,i = ¹ - n(_n-1) ^Д^ ' B i )’     ⁽⁵⁾

где A i - место, занимаемое ранжированными величинами F _s i, B i - место, занимаемое соответственно величинами P _mi .

Первое из этих множеств было ранжировано по убыванию. Между ними находились коэффициенты R m_; корреляционной связи - связи m-го параметра пространства P _m i объекта по отношению к силе F _si , реакции сложной системы.

Однако формула (2) непосредственно не позволяет находить коэффициенты Rmi, отражающие характер связанности между {Pm}i и {Ds}j. Что касается выявления связи в отдельно взятом сложном объекте, то значимость этой связи можно оценить, например, через отношение коэффициентов Rm i и R*m i. Коэффициент R*mi находится следующим образом: силу F по соотношению (1) можно использовать "не полностью", исключив одну из ее составляющих dj,i (по j), Тогда она представится соотношением k-1

F‘„ = S j ,           (6)

’    J=1 j’ после чего ранжирование производится над множествами {F*s}i и {Pm}i. Коэффициенты Ai и Bi из соотношения (2) модифицируются (обозначим их соответственно A*i, B*i), а само соотношение приобретает вид:

_ф          6 V Z *

R*,^ 1 ~—— ) ? , (A* , - B* , ).   (7)

Весомость исключенного параметра dj,i (по j) представится коэффициентом ф через зависимость m 1 R*m,i               ZOA ф - 1 - ——.          (8)

R m,i

Применение этого понятия (силы F) предоставляет возможность оценивать вес каждой из составляющих множества {P _m} в "раскачке" подсистемы В.

Третий метод. Более вероятно то, что в сложных системах характер взаимовлияния между {P _m}i и {D_s} i определяется нелинейной регрессией. Для подтверждения справедливости такого предположения смоделированы {P _m}i и {D_s} i в виде таблиц, которые были применены в алгоритме корреляционного отношения р _{х y} [3], [4], представленного формулой

Q y/x

П / =------,                (9)

• ¹    У/x Q y

  где s = VKn ’ ^ ⁽ У х - У)

  
  

  - среднее квадра

  
  

тичное отклонение для ряда значений ⁽У х ^- У^);

y_x = 1/К ? i,j (y i n j - условная средняя;

nij - частота повторений значения в интервалах одного признака в комбинации с опреде ленными значениями в интервалах другого признака;

y i - значение у, соответствующее п , (y i - средний интервал в корреляционной таблице);

i - номер строки в корреляционной таблице; j - номер столбца в корреляционной таблице; К - итоги значение частот в столбцах корреляционной таблицы;

y = 1/n X i y i l i - общая средняя;

х - пределы интервалов в корреляционной таблице;

n - итог значений частот во всех столбцах (строках) корреляционной таблицы;

s = -J Щ ’^ (Ух - У)2 - среднеквадратичес- кое отклонение для ряда у;

l - итоги значений частот в строках корреляционной таблицы.

Подчеркнем, что таблица отражает зависимость между случайными величинами {P mli и {D _s } j с той особенностью, что в ней эти величины представлены интервалами по строкам и столбцам. Координаты таблицы (число строк и столбцов соответственно представлены индексами i, j, а сами переменные обозначены как х и у). Алгоритм (9) реализован программой, которая выдала таблицы со значениями корреляционных отношений применительно ко всем элементам мно^{жеств {P} m}i ^{и {D} s ^} j .

Четвертый метод. Авторами данной статьи разработан упрощенный метод исследования количественного влияния параметров множества А на изменение параметров множества В. Метод позволяет легко получать вероятностную характеристику степени связи параметров и определять коэффициенты взаимосвязи между множествами. Его основу составляет анализ подмножеств, получаемых путем пересечения выборок, формируемых пороговой обработкой рядов наблюдений. При этом смещение мощностей подмножеств по сравнению со статистически ожидаемым значением говорит о наличии взаимовлияний наблюдаемых величин [5].

Метод включает следующие этапы :

• 1.    Исследуемая совокупность рядов или один ряд наблюдений i-го параметра, относящегося к множеству А, разбивается относительно медианы на два приблизительно равных по мощности подмножества F + i и F i . Аналогично некоторая совокупность или один ряд j-го параметра, относящегося к множеству В, также разбивается на два подмножества Р + j и Р j .

• 2.    Определяются мощности пересечений подмножеств М (F + i n P +j и М (F . n P +j ). Если взаимовлияние параметров отсутствует, то мощности пересечений приблизительно равны. В противном случае будет наблюдаться смещение мощности пересечений. Однако, сумма мощностей пересечений в любом случае равна M(P_+j). Для количественной оценки относительных смещений мощностей пересечений нами введен коэффици

• 3.    Для оценки достоверности обнаружения взаимного влияния двух качественно различных сторон изучаемого объекта, характеризуемых двумя вариационными рядами А и В, предполагается отсутствие этого взаимного влияния, то есть выдвигается "нулевая гипотеза". Затем, в качестве реперных точек вычисляются вероятности отклонения К _см от нуля, чем вводится вероятностная шкала оценки. Определяется вероятность отклонения К _см.

ент смещений К см

. . . M(F +i n P +j ) - M(F -j n P + )

K" ¹ j=Mm j •⁽¹⁰⁾

Этот нормированный коэффициент может принимать значения от -1 до +1. При отсутствии связи между изучаемыми совокупностями рядов наблюдений его значение стремится к 0.

Вероятность получения значения M (F₊ i n P.) = MM составляет

+ j⁷

_ C(0,5N, MM) C ( 0,5N, (0,5 N-MM)) P мм-- ,

C (N,0,5N)

x!

^гд^{е       C(x,}y) = —^j—— ,

У!(х-У)!

N - число изученных объектов.

Практическое применение. Представленные методы применены в исследовании моделей сложных систем, в частности, человека.

Независимой подсистемой А служила психологическая структура личности, описываемая пространством Р, с координатами -ипохондрия, депрессия, истерия, психопатия, шкала мужских и женских черт характера, паранойи, психастении, шизофрении, гипомании, социальной интраверсии, представленных шкалами теста MMPI.

Подсистема В и ее пространство S - это сердечно-сосудистая система (ССС) с координатами: частота сердечных сокращений (ЧСС), артериальное давление систолическое (АДС), артериальное давление диастолическое (АДД), ударный индекс (УИ), сердечный индекс (СИ), удельное периферическое сосудистое сопротивление (УПСС), мощность сокращения левого желудочка (МСЛЖ), рас- ход энергии на перемещение 1 л минутного объема крови (РЭ), тройное произведение (ТП). Таким образом были получены два множества вариационных рядов параметров : множество А включало 10 перечисленных психологических и множество В - 9 физиологических параметров.

Возмущающим фактором, определяющим значения элементов множества {Ds}j (динамику параметров ССС) служил экзаменационный стресс.

Применительно к последнему методу для каждого испытуемого определялись значения у:

У ! =

2 y i после - y i до

, уг после + уг до где у i - значение i-го параметра, отражающего физиологическую динамику;

у . _после и У _{г до} — значения i-ых физиологических параметров после и до возмущения;

i - число пар рядов измерений.

Результаты вычисления вероятности появления определенных значений Ксм при N = 85 приведены в таблице.

При значении Ксм = 0,371 вероятность статистической независимости рядов наблюдений составляет менее 0,001. Это означает, что с высокой степенью достоверности можно утверждать наличие взаимовлияний.

Первые три метода были также апробированы на вышеобозначенном статистическом материале. Данные сведены в таблицу коэффициентов корреляции между психоло-

Таблица. Результаты вычисления вероятности

ÌÌ 13 17 21 25 29 Êñì -0,38 -0,19 0 0,19 0,38 p ìì 0,000 0,032 0,172 0,046 0,0006 гическими параметрами и изменениями показателей гемодинамики в условиях внешнего возмущения. Ввиду большого объема этой таблицы приводится ее фрагмент, отражающий взаимовлияние психологического фактора депрессии и частоты сердечных сокращений .

При линейной регрессии оно составило 0,571, а при ранговой корреляции 0,549.

Сопоставление результатов обработки, полученных всеми четырьмя методами дают расхождение не хуже 4-12%. Поскольку данная работа посвящена, в основном, описанию стратегий решения поставленной задачи, мы не приводим здесь полностью цифровой материал в силу его большого объема.