Распространение упругих волн в трехмерном слое в зависимости от моделей пластины
Автор: Болгова А.И.
Журнал: Международный журнал гуманитарных и естественных наук @intjournal
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 6-3 (69), 2022 года.
Бесплатный доступ
В работе рассмотрены три модели пластин, лежащие без трения и отрыва на упругом трехмерном слое: с учетом сдвига, с учетом момента инерции и с учетом этих двух факторов. На поверхности пластины осциллирует нагрузка, заданная в произвольной области. Конкретные расчеты, проведенные для различных областей показали, что все модели пластин дают одинаковые первые дисперсионные кривые.
Трехмерный слой, пластина, дисперсионные кривые, сдвиг, момент инерции
Короткий адрес: https://sciup.org/170194903
IDR: 170194903 | DOI: 10.24412/2500-1000-2022-6-3-90-94
Текст научной статьи Распространение упругих волн в трехмерном слое в зависимости от моделей пластины
1. Введение. В работах [1-3] для акустического и изотропного слоев изложен метод решения задачи для определения асимптотических полей в случае действия на поверхности трехмерного слоя осциллирующей нагрузки, расположенной в произвольной области. Главные члены асимптотики были получены в случае действия нагрузки в прямоугольнике и по линии [4, 5]. В данной работе исследуются три известные модели для поперечных колебаний пластины [6], лежащей без отрыва и трения на трехмерном изотропном слое.
На поверхности пластины осциллирует нагрузка, заданная в произвольной области. Изучается влияние на асимптотическое распространение волн в слое различных моделей пластины: с учетом сдвига (пластина ПС), с учетом момента инерции (пластина ПИ) и с учетом этих двух факторов (пластина ПСИ).
2. Постановка задачи. Уточненное уравнение поперечных колебаний пластины ПСИ, учитывающее влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига имеет вид [6]:
+ — V 2 V 2 S t p h
—
_D_+1 v 2+ k2 p h h ) dt2 k2 p h dt4
Г V =
f 1. I d 2 D 2 ,2 L / A / ЛА
--—з —у—,—7----- V Г ( p ( x,y,t )— q ( x,y,t ) ) p h k 2 p h 2 d t 2 k 2 pp h 22
Из уравнения (1) вытекают как частные случаи уравнение колебаний пластины ПС
< DV 2 V 2
p D d 2 k 2 p dt2
V2 + p h ^-r >
2 dt 2
V =
P , 2 ,V 2 r ( p ( x , y,t )— q ( x , y , t ) )
■h
—
и уравнение для пластины ПИ
< DV 2V 2
— pI ^V 2 + ph
2 dt2 2 dt2
Г v =
p ( x, y, t ) — q ( x, y, t ) .
Уравнения колебаний слоя имеют вид:
(^ + p1) (divu ),k +p1 Auk = p1 uk, k = 1,2,3, где Х1, pi, pi, Н, Xi, р2, р2, h, V2 - постоянные, соответственно характеризующие слой и пластину, А - оператор Лапласа в трехмерной области, А2 - квадрат оператора Лапласа в двумерной области ху, D = ( ^2h3)/(6 (1 -v2)), v2V2 = d, + d , + 2 f . , I = — .
x ' d x 4 d y 4 d x 2 d y2 12
Граничные условия и условия сопряжения пластины и слоя имеют вид
Р ( ~ ,у , t ) =
' f (x , y V Q , ( x , y ) e 5 , . 0, ( x ,y ) ^ 5,
q ( x,y , t ) = < 7 -33 ( x,y , H , t ) , v ( x , y , t ) = u 3 ( x , y , H , t ) , a k 3 ( x,y , H , t ) = 0, k = 1,2
7 3 ( x , y ,0, t ) = 0, k = 1,2 , u 3 ( x ,y ,0, t ) = 0 , (3)
где S - некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой границей.
Далее рассматривается установившийся режим колебаний, т.е. решение системы ищем в виде
('(_,-_,-_ ~rk~ /о/ ~/~ x,y,z,t) = U(x,y,z)e , ~3(x,y,t) = V(x,y)e , аи = <~kte
~
и вводятся безразмерные величины
~
~
xyz
x = —, y = —, z = —, U
H H H -
U
H ’
~
~
V = V,Q = 2H
H
c 1
,
5 = —
5 H ’
D =--#h-г
6 H ЪР1 - v 2 )
c 2 2 _ ^ 1 + 2 M 1
, c , c 1
c 1
P 1
,
c 2
= ^ 1 „ = ^ 2. n =P^_ Ц , P .
P 1 ^ 1 P 1
При решении задачи будем применять принцип предельного поглощения, который фактически приводит к замене Q на Q £ = Q - is, 0 < е << 1, и искать решение в классе функций, убывающих на бесконечности, т.е. u ( x , y , z , t ) ^ 0 , если r = ^x 2 + y2 ^ да.
Применяя к системе дифференциальных уравнений и условиям (2), (3) преобразование Фурье по координатам x и y , и решая полученную систему уравнений с соответствующими граничными условиями, найдем:
да да
U 1 т е = 7^! I i “ Q m ( “ ' Г ) A ( ^ ^ е , Z ) = -" ' V "'"d a d y , 4 ^
-да -да
1 да да
U 2 т . = ^J f I iYQ . ( a , Г ) A (f, ° е , z ) e -"e -' rd a d / ,
-да -да
1 да да
U...... = 72? II P ' d Q m ( a , Y ) С(‘ ••n . , z ) e - a x e -" d a ^ Y ,
-да -да где A (^, Q, z) = -Exs—ec—вz + 2ДДsh^chez , 6(£, Q, z) = Evshe she z - 2^2 sh^ sh^ z
Окончательное решение рассматриваемой краевой задачи получим с помощью предельного перехода [7]: lim U = U.
e ^0 — s
Выражения для контактных напряжений, преобразованных по Фурье, Q ( a, у ) для трех рассматриваемых моделей, выраженные через заданную нагрузку, также преобразованную по Фурье, имеют вид:
Qm (а, у) = A(£,Q)Km (£,Q)F(a, y)/Aт (£, Q), m=6,7,8,где €2 = а2 + у2,
I Q 2
, . , . I 1
A6 (Q Q) = A( £, Q) — 7 7 7
6V ’ V \p£ k1^1?
—
D2 k ' p
+
+вshe she (E\ — 2^2)
A7( £, Q ) = A ( £ , Q ) 1
—
Dс2 4
P^
—
I pQ4 k2 p<;c2
D
—
,
D2
k u.
+ в sh e sh e ( E i — 2^2 ) D^ 4 +
pQ ( D£2
с 2
k 2 Ц
—
A8 (£, Q) = A (£, Q) + вshp shp (Ex — 2^2) I D£4 — pQ- (112 + ^) , c
A(£, Q) = E2chpshe — 4eppshpchp,
K 6 (^, Q) = p^ - k^;^ ’ K 7 (', Q ) = 1 — k 2 4^ ’ K 8 (", Q ) = 1
-
3. Численное исследование дисперсионных уравнений. В работе [8] на основе численного анализа показано, что более существенное влияние на распространение потока энергии в слое, укрепленном пластиной без учета сдвига и инерции, оказывает увеличение плотности пластины по сравнению со слоем, чем изменение отношения их жесткостей. В данной работе численные исследования уравнений (4)-(6) показали, что дисперсионные кривые для слоя, укрепленного пластиной, тем сильнее отличаются от дисперсионных кривых для одного изотропного слоя, чем более плотным является материал пластины по сравнению с материалом слоя, и чем больше толщина пластины. При исследовании трех различных моделей пластин выявлено, что все модели пластин дают
одинаковый результат до Q=Q o для первой дисперсионной кривой, свыше Q o дисперсионные кривые расходятся, что видно из рисунка. В качестве материала слоя выбран плавленый кварц, а материал пластины - вольфрам: р=2,609, р=3,858, ^=0,1. В этом случае Q o -0,8. Если перейти к размерным переменным, получим, например, что при толщине слоя Н=100м частота колебаний Q о ~О,О42 Гц, а если Н=10м, то Q 0 -0,0042 Гц. На рисунке приведены графики дисперсионных кривых для изотропного слоя (сплошные линии), для изотропного слоя, подкрепленного пластиной ПИ (мелкий пунктир) и пластиной ПСИ (крупный пунктир), коэффициент k = 5^66 = 0.913 .
-
4 . Заключение. В работе рассмотрены три модели пластин, лежащих без трения и отрыва на упругом трехмерном слое, и выяснено влияние различных моделей на асимптотическое распространение волн в слое при действии нагрузки в произвольной области S .

Дисперсионные кривые, когда рассматриваем модель пластины ПС, при таких же значениях параметров примерно совпадают с дисперсионными кривыми для пластины ПИ.
Конкретные расчеты, проведенные для различных областей показали, что все модели пластин дают одинаковые первые дисперсионные кривые до Ω=Ω 0 , свыше Ω 0 дисперсионные кривые расходятся.
Сравнение результатов, полученных для слоя и слоя с различными моделями пластин, показало, что наиболее близкой к одному слою является модель для слоя с пластиной ПСИ, следовательно при расчетах нужно использовать модель слоя с пластиной ПСИ.
Список литературы Распространение упругих волн в трехмерном слое в зависимости от моделей пластины
- Болгова А.И. Распространение волн в трехмерном изотропном слое / Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2001. - Спецвып.: Матема-тическое моделирование. - С. 36-37.
- Белоконь А.В., Болгова А.И. Особенности распространения волн в изотропном трехмерном слое с тонкой накладкой // Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2005. - №2. - С. 31-35.
- Белоконь А.В., Белоконь О.А., Болгова А.И. Влияние неравномерной нагрузки на характер распространения волн в изотропном трехмерном слое с тонкой накладкой: Изв. вузов. Северо-Кавк. регион. Естеств. науки. - 2006. - №4. - С. 3-8.
- Белоконь О.А., Болгова А.И. Исследование волновых и энергетических характеристик в слое от действия неравномерной нагрузки: Численно-аналитические методы: Сб. науч. тр. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т, - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. - С. 65-71.
- Белоконь А.В., Белоконь О.А., Болгова А.И. Волны в трехмерном слое, подкрепленном тонкой пластиной // Вестник Самарского гос. ун-та - Естественнонаучная серия. - 2007. - №6 (56). - С. 30-45.
- Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Механика твердых деформируемых тел, т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. - М.: ВИНИТИ, 1973. - 267 с.
- Свешников А.Г. Принцип предельного поглощения для волновода // Докл. АН СССР. - 1951. - Т. 80. №3. - С. 1011-1013.
- Болгова А.И. Анализ энергетических характеристик в трехмерном изотропном слое, укрепленном пластиной // Математическое моделирование процессов и систем: Материалы IX Межд. молодежн. науч.-практ. конф. / отв. ред. С.А. Мустафина. - Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2019. - С. 91-95.