Расширение интерполяции цепной дробью Michalik и оптимизация её применения в аппроксимации нелинейных функций

Методы интерполяции широко используются в научных и инженерных задачах для аппроксимации сложных функций и обработки данных [1]. Интерполяция цепной дробью Michalik особенно эффективна для нелинейных функций, так как позволяет повысить точность аппроксимации и улучшить устойчивость вычислений [2]. В данной работе предлагается расширение метода Michalik путём добавления дополнительных узлов. Это расширение способствует уменьшению погрешностей и улучшению результатов интерполяции. Основные результаты и применение метода проиллюстрированы с помощью численных примеров, что подтверждает его эффективность [3].

1. Интерполяция цепной дробью

Это эффективный метод для аппроксимации рациональных функций. Основная идея заключается в представлении исходной функции в виде цепной дроби и постепенном использовании её коэффициентов для построения упрощённой модели. Этот метод нашёл широкое применение в науке и технике, особенно для функций со специфическими асимптотическими свойствами, поскольку позволяет достигать высокой точности при меньшем количестве узлов.

Для заданного множества точек X = {х₀,х₁,...,х_п} с [а,Ь] и функции f (х), определённой на этом множестве, интерполяция цепной дробью Thiele имеет вид:

Rn(x) = ф[х0\ +     + -7^^- + - + Tf-

0      ф[х₀,Х 1 \    ф[х₀,Х₁,Х 2 ]           ф[х_о,х₁,...,х_п]

где ф[х₀,х₁,...,х_к\ — это обратная разность для функции в данных точках, определяемая следующим образом:

ф[х₀,х 1 ,...,х_к\

__________ х к -х к-1 __________ ^ф[х0 ,..., ^хк—2 , ^х к1~ ^ф[х0 , ^х1 ,..., ^хк—1 \

2. Трёхчленная рекуррентная формула

Пусть х₀, х 1 ,...,х_п - это п + 1 узел интерполяции в интервале [а,Ь\, а функция f(x')

определена в этих точках со значениями f(x i ). Интерполяционная функция цепной

дробью представлена в виде:

Гн СО =

Р п^(х)

Qn(x)

Рекуррентные соотношения имеют следующий вид:

P i = 1,P o = a o ,Q i = O,Q o = 1

Р п№ = U n P n-lW + ^(x - X_n -i) P_n — ₂ ⁽ x)

^Q n ^(x) = ^ n ^Q n-1 ^(x) + ^{(x X} n-1 ^)Q n-2 ^(x)

3. Расширенный алгоритм интерполяции цепной дробью Michalik

В 1983 году Michalik предложил рекуррентную схему для численного решения некоторых нелинейных уравнений в физике. Он ввёл метод интерполяции цепной дробью для

f(x) = -

1-

обработки узлов с одинаковыми значениями. Для любой ненулевой действительной функции f(x) и её узлов x₀,x₁,...,x_n функция представляется следующим образом:

f ⁽ Xo)

■ -X i )R o⁽ X o ;x)

После подстановки первого узла получаем:

P i ⁽X i ;X i ) = ^f&)\_x=x — [f⁽X o ^{)] -1}

Если вышеуказанные пределы существуют, то справедливы следующие выражения:

lim x^x0

f(x)-f(xo) = df(xA x-xo      dx* X\x=Xo

и lim -¹- = x^x o ^{f (x)}

1 f ⁽ xi)

Ошибка интерполяции рассчитывается по формуле

UQ-^-1           Г^й

^{f(X - r(X)} = Q(x)(n+1) ^an^(X) ^l) = ОПСя-Г ^f

Признак цепной дроби определяется как:

r n (x) = ^, где dP n = Pr] , dQ n = [ n ]

Qn(x)                     L 2 J              L2-l

Задан набор X = {x₀,x₁,^ ,x_n},n = 2m — 1 и функция имеет асимптотическую прямую, то limf(X) = А, тогда цепная дробь Michalik для интерполяции функции будет: xtox

r^(x) = ^f o +

x-x0

Фко * ! ]

x-x i              x-x n-1

ф[X o ,X 1 ,X₂]            ф\X o ,X 1,■■■,Xn}

Добавив новый узел xn+1 и предполагая, что предел limf(x) = А, можно использовать x^rn рекуррентные формулы для вычисления значения нового узла. Это позволяет построить

новую функцию интерполяции цепной дробью и достичь оптимального результата интерполяции.

4. Числовой пример

288 - Физико-математические науки - Чтобы проверить ренного алгоритма эффективность расши-      Определение функции и выбор узлов интерполяции цепной      - Заданная функция: дробью Michalik на другой функции, рассмотрим следующий пример.

/(х) = — J К J    Х+2

- Выбираем четыре узла интерполяции:      Для использования интерполяции цепной х0 = 2,x1 = 4, х2 = 6, х3 = 8                    дробью Thiele сначала необходимо вычислить

Шаг 1: Вычисление обратных разностей      обратные разности между узлами.

• 1.    Обратная разность первого порядка:

2. Обратная разность второго порядка:

• 3.    Обратная разность третьего порядка:

  ф[х 0 ,х 1 ,х 2 ,х з ]

  
  

42+1 22+1 ф[х0,х1] = /(Х1)-/(Хо) = 4+2  2+2 '   0 1J       Х1-Х0          4-2

Подставив значения, получаем:

ф[х0,х 1 ] = 0.8333333

, г    и фЫ^-ф^^} ф[х0,х1,х2\ = ^2   ^0

Аналогичным образом рассчитываем обратную разность второго порядка:

0[xo,x1,x2] = -0.1578947

ф[Х 1 ,Х 2 ,Х з ^]-ф[Х о ,Х 1 ,Х 2 ^]

Х 3 -Х 0

Результат:

ф[х0, х1, х2, х3] = 22.4358974

Шаг 2: Построение интерполяционной функции

Используя вычисленные обратные разности, строим интерполяционную функцию:

г(х)

1.6666667 +

(Х—2)

0.8333333+-

(Х-4)

0.1578947 +

⁽Х^-6) 22.455974

Шаг 3: Добавление нового узла

Для повышения точности добавим новый узел:

• - Новый узел: х₄ = 10

Далее вычисляем обратную разность для нового узла

• 1.    Обратная разность для нового узла:

  0[X O ,X 1 ,% 2 ,* 3 ,* 4 1

  
  

Ф[Х₁,Х 2 ,Х₃,Х₄] — ф[Х о ,Х 1 ,* 2 ,Х з 1

х4 — Хо

Предположим, что результат вычисления:

ф[х0,х1,х2,х3,х41 = 0.015625

Шаг 4: Построение расширенной интерполяционной функции

С учётом нового узла строим расширенную интерполяционную функцию:

г*(х) =

1.6666667 +

(х-2)

0.8333333 +

Ст-4)

-0.1578947+

_______ ⁽Т^-б) _______

(Т-8) 22Л35⁸⁹74 ₊0^

Шаг 5: Анализ результата

После добавления нового узла расширенная интерполяционная функция г * (х) лучше аппроксимирует исходную функцию, особенно вблизи нового узла, что свидетельствует о значительном снижении ошибки. Это подтверждает, что добавление узлов и использование расширенной интерполяции цепной дробью значительно улучшает точность.

Вывод

зованием кубической сплайн-интерполяции. По сравнению с традиционными методами интерполяции, кубическая сплайн-интерполяция лучше контролирует ошибку и особенно эффективна при плотном распределении узлов. Результаты показывают, что увеличение числа узлов эффективно снижает ошибку и повышает общую точность аппроксимации. Предложенный метод имеет потенциальную практическую ценность в области

В данной работе исследована улучшенная точность аппроксимации функции с исполь-

научных вычислений и инженерных приложений.