Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов

В данной работе проведено исследование на частичную равномерную ограниченность с контролем начальных скоростей математической модели нелинеаризованных колебаний связанных механических осцилляторов.

В данной работе при помощи достаточного признака равномерной ограниченности решений по части переменных с контролируемой частью начальных условий работы «Равномерная ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей нелинеаризованных механических колебательных процессов в вязкой среде» (с. 46 — 50) исследуются нелинеаризованные колебания связанных механических осцилляторов на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей.

Напомним сначала необходимые определения и утверждения из работы, опубликованной в этом номере журнала на с. 46 — 50. Пусть задана произвольная система дифференциальных уравнений от и переменных:

X = F(t, х),

F(t, х) = F₁(t, х), ..., F „ (t, х),       (1)

х = ( x i , ..., х_п ) е Rⁿ, правая часть которой задана и непрерывна в R⁺ х Rⁿ, где R ⁺ = { t е R |t >  0 } . Далее везде будет предполагаться, что каждое решение системы (1) продолжимо на всю полуось R ⁺ .

Для любого вектора х = (у, z) е R ” = = R ^ х R^{n - fe}, где 1 <  к <  п, обозначим через |у| обычную евклидову норму вектора у е r\ Кроме того, для произвольной дифференцируемой функции V ( t , х ) обозначим через V(t, х) производную функции V ( t , х ) в силу системы (1).

Напомним, что решения системы (1) называются равномерно ограниченными по части переменных у = (х ^ ..., х к ) с контролируемой частью начальных условий

У 0 = ((х 0 ) 1 , ..., (х 0 ) к ) или, болеекратко, равномерно у-ограничены с ^-контролем, если для каждого неотрицательного числа а е R существует такое положительное число Р ( а ) е R , что для любой точки (ф, х д ), |У 0 <  а выполнено условие |y ( t , x o , t o )| < Р при t > 0, где х = x ( t , х ₀, t ₀ ) — любое решение системы (1), проходящее через точку (t₀, х₀).

Напомним теперь следующий достаточный признак равномерной ^-ограниченности с ^-контролем решений системы (1) из нашей предыдущей работы (с. 46 — 50).

Теорема 1. Пусть для системы (1) имеется неотрицательная дифференцируемая функция V ( t , х ), определенная в области t > 0, х = (у, z) е R ” , у е R^k, у| >  R 0 , где R >  0 — некоторое фиксированное число, для которой выполнены следующие условия:

• 1)    Ь(у |) <  V(t, х ) <  а(у |), где д ( г ) >  0 и Ъ(т) > 0 — непрерывные возрастающие функции и Ъ(т) ^ го при г ^ да ;

• 2)    V (t, х) <  0 внутри области t > 0, х е R ” , х|^ >  R _o.

Тогда решения системы (1) равномерно

^-ограничены с у 0 -контролем.

Исследуем при помощи теоремы 1 нелинеаризованные колебания системы связанных механических осцилляторов на равномерную ограниченность по скорости с контролем начальных скоростей.

Хорошо известно, что математическая модель нелинеаризованных колебаний системы, состоящей из У >  1 связанных механических осцилляторов, описывается системой дифференциальных уравнений второго порядка:

<

■ ■

- 1 = - k 1 sin - 1 - k₂ sm( - _t - - 2 )

■ ■

^- = ^- k 2 ^sin( ^ 2 ^{- -} 1^{) - k} 3^{( -} 2 ^{- -} 3⁾

^- i = ^{- k}i ^{sin( -} i ^{- -} i -1^{) - k}+ 1 ^{sin( -} i ^{- -} i + 1⁾

^- N - 1 = ^{- k}N - 1 ^{sin( -} N - 1 ^- - V 2 > ^-

- ^kN ^{sin( -} N - 1 ^{- -} N ⁾

^- N = ^{- k}N ^{sin( -} N ^{- -} N - 1^{) - k}N + 1 ^{sin -} N ,

где ^, ..., ^_n — смещения осциллирующих тел относительно своих положений равновесия и к >  0, ..., k_{N +} 1 >  0 — коэффициенты упругости пружин, связывающих осциллирующие тела.

Ясно, что если для системы (2) подставить - j = x _{2 i -} 1 , k = х _2г- , 1 - ^ - ^п - то система (2) запишется в виде системы уравнений первого порядка:

^х 1 = ^ 2

х ₂ = - k 1 sin х - k 2 sin(x 1 - X 3 )

д ₃ = х

X 4 = - k 2 sin(x 3 - X 1 ) - k ₃ sin(x 3 - X 5 )

^X 2 i - 1 = ^X 2 i

• -■ \- = ^{- k}i ^{sin( x} 2 i - 1 ^{- X} 2 i - 3^{) -}

• < ^{- k}i +1 ^sin( X 2 i - 1 ^{- X} 2 i + 1^{)                   (3)}

^X 2 N - 3 = ^X 2 N - 2

^X 2 N - 2 = ^{- k} N - 1 ^{sin( x} 2 N - 3 ^{- X} 2 N - 5^{) -}

—k v sin(x 2 N - 3 - ^ 2 N - 1 )

^X 2 N - 1 = ^X 2 N

X 2 N = - k v sin(x 2 N - 1 - ^X 2 N - 3 ) -

^{— k} N + 1 ^{sin X} 2 N - 1 -

Теорема 2. Решения системы (3) равномерно ^-ограничены с у о -контролем, где у = ( х₂ , X 4 , — - ^X 2 N )■

Доказательство. Рассмотрим неотрицательную дифференцируемую функцию

V ( х ) = V ( x i , .. , ^ 2 N ) = ^х 2 + X ² + ■ ■ ■

^X 2 N - 2 ^{+ X} 2N ^{+ 4 k} 1 ^{sin 2}

Г l

X

12 1

+

+ 4 ^ 2 sin²

+ ...

^{1 ( х} 1 - ^х 3⁾

+ 4 ^ з sin²

2 Г 1 /

^{+ 4 k} _N sin I 2 ( ^X 2 W - 3

+ 4k _{N +} i sin²

¹ ( ^х з ^{- х} 5⁾

^{- X} 2 N - 1 ) I ⁺

2 ^X 2 N - 1

+

Легко видеть, что для функции V ( t , х ) = = V ( x ) характерно двойное неравенство Ь(|у|) <  V(t, х) <  й(| у|), где Ь(г) = г ² и а ( г ) = = г ² + 4( k i + k ₂ + _ + k_{N +} i ). Ясно, что b(r) > 0 и а(г) > 0 являются непрерывными возрастающими функциями и b(r) ^ да при г ^ да. Таким образом, условие 1 из теоремы 1 для V ( t , х ) = V ( x ) выполнено. Для производной V(t, х) = V ( x ) в силу системы (3) получаем:

■

V(X 1 , . , X 2 N ) = 2x 2 ( - k 1 sin X 1 -

— k 2 sin(x 1 - X 3 )) + 2x 4 ( - k 2 sin(x 3 - X 1 ) -

• —    k 3 sin(x 3 - x ^ )) + ... +

• ^{+    2 x} 2 N -2^{( - k}N - 1 ^{sin( x} 2 W - 3 ^{- X} 2 N - 5^{) -}

• ^{-    k} _N ^{sin( x} 2 _N- 3 ^{- X} 2 N - 1^{)) +}

^{+ X} 2 N ^{( - k} W ^{sin( x} 2 N - 1 ^{- X} 2 N - 3^{) - k}N +1 ^{sin X} 2 N - 1^{) +}

• +    2k 1 X 2 sin X 1 + 2k ^ X 2 sin(x 1 - X 3 ) -

• -    2k^X4 sin(x1 - X3) +

+ 2k 3 X 4 sin(x 3 - x ₅) - 2k 3 X₆ sin(x 3 - x ₅) + • +

• ^{+    2 k}N^X 2 N -2 ^{sin( x} 2 W - 3 ^{- X} 2 N - 1^{) -}

• ^{-    2 k}N^X 2 N ^{sin( x} 2 W - 3 ^{- X} 2 W - 1^{) +}

^{+ 2 k} N + 1 ^X 2 N ^X 2 N - 1 = 0 ^- 0.

Таким образом, условие 2 из теоремы 1 для V ( t , х ) = V ( x ) выполнено и, следовательно, решения системы (3) равномерно ^-ограничены с у₀-контролем. Теорема доказана.

Так как у = ( х ₂ , х ₄ , . , x _2N ) = (| ₁ , | ₂ , . , . , ^ _N ), теорема 2 позволяет сказать, что решения системы (2) являются равномерно ограниченными по скорости с контролем начальных скоростей.

Поступила 19.03.2012.