Разработка компьютерной модели движения микроробота в вязкой жидкости под воздействием магнитного поля и результаты ее применения

Современная медицинская робототехника уделяет большое внимание разработке подходов к созданию миниатюрных робототехнических устройств (робота-помощника, или полностью автономного инвазивного устройства), предназначенных для проведения диагностики, терапевтических воздействий и малотравматичных хирургических операций внутри тела пациента [1-3]. Для проведения необходимых операций данные миниатюрные инвазивные робототехнические устройства (например, капсульного типа) должны управляемым образом передвигаться по внутренним органам и системам тела пациента.

Как показано в литературе [4, 5], наиболее перспективным и универсальным способом для организации такого передвижения представляется использование магнитного поля. Действительно, применение магнитного поля в различных модификациях в качестве движителя микроробота имеет ряд несомненных и уникальных преимуществ. К ним относятся проницаемость естественных тканей и органов для статических и низкочастотных магнитных полей, возможность дистанционного применения, отсутствие какого-либо неблагоприятного воздействия на биологические системы и, наконец, простота управления и модуляции параметров магнитного поля в широком диапазоне величин.

В работе [6] приведена статистика публикационной активности в мире по тематике медицинской робототехники в инженерных и медицинских журналах за период с 1990 по 2020 г. Видно, что количество публикаций интенсивно растет из года в год, а их наибольшее количество (до 350 статей в 2020 году) относится именно к магнитоуправляемым роботам.

Поскольку средами движения миниатюрного робота являются различные биологические ткани с переменной плотностью, важнейшей задачей для выработки и синтеза алгоритмов управления движением робототехнического устройства является разработка компьютерных моделей как самих сред, так и их взаимодействия с миниатюрным инвазивным роботом при его движении.

Отметим, что проблема компьютерного моделирования биологических тканей, достаточно широко рассматривалась в научной литературе (см., в частности, [7, 8]), однако, как правило, не применительно к медицинской робототехнике. В рамках настоящей работы предпринята попытка разработки компьютерной модели, демонстрирующей особенности движения простейшего инвазивного устройства, выполненного в виде тонкого плоского диска, в поле постоянного магнита, а также продемонстрированы результаты ее тестовых применений в нескольких экспериментальных конфигурациях.

ОПИСАНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ

Компьютерная модель в целом состоит из трех основных блоков, взаимодействие между которыми иллюстрируется на блок-схеме рис. 1.

Рис. 1. Взаимодействие основных блоков математической модели

Для гидродинамического блока разработана компьютерная модель вязкой внешней среды, описывающая ее взаимодействие с инвазивным устройством. Модель выполнена в трехмерной постановке, подчиняется уравнениям Навье — Стокса и использует метод конечных объемов. Разбиение на ячейки происходит с использованием пристеночных слоев, окружающих инвазивное устройство. Пространство, окружающее устройство, считается ограниченным стенками (см. рис. 2), за исключением открытой верхней поверхности, которая представлена условием контакта вязкой внешней жидкости с атмосферой. Данное упрощение не влияет на поведение инвазивного устройства, однако значительно увеличивает стабильность и скорость сходимости гидродинамической задачи.

Рис. 2. Граничные условия для гидродинамической задачи

В результате решения гидродинамической задачи выводится информация о силах сопротивления перемещению инвазивного устройства со стороны жидкости. Как будет описано ниже, предусмотрена возможность изменения геометрии (расширение расчетной области) и материала внешней среды (вакуум, вода, пропиленгликоль).

Для разработки блока компьютерной модели, описывающей действие внешнего магнитного поля, использована параметрическая модель инвазивного устройства, по форме представляющего собой диск, движущийся в поле постоянного магнита. Геометрия модели в трехмерной постановке представлена на рис. 3.

В основном количестве расчетов высота инвазивного устройства составляла 1 мм, радиус — 5 мм, масса диска составляла 0.617 г. В качестве материала применялась высокопластичная конструкционная сталь с низким содержанием углерода (0.05-0.15%).

Исходное расстояние по оси Z от поверхности диска до поверхности постоянного магнита составляло от 20 до 50 мм. В качестве материала постоянного магнита применялся Nd-Fe-B, магнит с высотой 10 мм и диаметром, значительно превышающим диаметр инвазивного устройства, так что вектор магнитного поля считался направленным только вдоль вертикальной оси. Таким образом, движение объекта происходило в однородном и постоянном магнитном поле при напряженности порядка (6-10) ⋅ 10⁵ A/м и магнитной индукции от 2.5 до 3 Tл.

Рис. 3. Геометрия модели

Модель подчиняется уравнениям Максвелла и выполнена с использованием метода конечных элементов. Разбиение расчетной области на конечные элементы происходит перед началом решения задачи. В результате решения магнитной задачи выводится информация о силовом воздействии на устройство со стороны магнитного поля. Размеры диска, его положение относительно магнита, скорость перемещения магнита в пространстве являются параметрами модели и могут быть изменены в последующих расчетах.

Третий блок компьютерной модели (см. рис. 1) предназначен для вычисления суммарных силовых воздействий на объект со стороны вязкой окружающей среды и внешнего магнитного поля, полученных в результате предыдущих расчетов. Блок принимает на вход данные по временнóму шагу, начальным скоростям, вычисленным на предыдущей итерации, положению инвазивного устройства, а также силам и моментам, действующим на устройство, вычисленным в процессе решения магнитной и гидродинамической задач. Далее производятся вычисление трансляционных и угловых скоростей и определение линейных перемещений и поворотов инвазивного устройства.

Полученные результаты служат основой для перестроения геометрии расчетной области для следующей итерации магнитной задачи, а также для определения начальных скоростей диска для следующей итерации гидродинамической задачи. Таким образом, реализуется алгоритм, представленный на рис. 1.

РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ

Для демонстрации работоспособности модели ниже рассмотрены результаты решения ряда тестовых задач.

В простейшей из них рассматривалось притягивание модели инвазивного устройства к неподвижному источнику магнитного поля в вакууме в отсутствие действия гравитационных сил. Для обеспечения подобной постановки силы сопротивления, действующие на диск, и силы гравитации принудительно приравнивались к нулю на каждой итерации. Таким образом, на инвазивное устройство действовали только силы от взаимодействия с магнитным полем. Шаг по времени составлял 0.01 с.

Исходное положение инвазивного устройства находилось на расстоянии 50 мм от магнита по оси Z и для общности было смещено по оси X на 20 мм от центра. На рис. 4 иллюстрируются несколько промежуточных результатов решения. Так, на 10-й итерации (см. рис. 4, а) диск, захваченный магнитным полем, сместился по оси Z почти на 2 мм за первые 0.1 с (вертикальная составляющая силы составляла при этом величину, равную 2 ⋅ 10^-4 Н). Кроме этого, устройство приобрело угловую скорость вращения вокруг оси Y , равную 4.75 рад/с, и начало поворачиваться вокруг этой оси.

На 25-й итерации (см. рис. 4, б) инвазивное устройство за 0.25 с приблизилось к источнику

∆

∆

Рис. 4. Состояние объекта на 10-й (а), 25-й (б) и 36-й (в) итерациях.

∆ — смещение объекта по Z из О за время итераций, штриховые линии проецируют центр магнита на ось X

а

б

в

магнитного поля на 13.5 мм и приобрело линейную скорость по оси Z , равную 0.13 м/с. Угловая скорость поворота вокруг оси Y поменяла направление на противоположное, но кроме этого, возникло вращение объекта вокруг оси X с угловой скоростью до 7.6 рад/с.

Далее диск с ускорением приближается к источнику магнитного поля и через 0.3 с от начала расчета проходит расстояние по вертикальной оси, равное 22 мм. На данном шаге угловые скорости во всех направлениях значительны, из-за чего инвазивное устройство вращается во всех плоскостях. По мере приближения к источнику магнитного поля сила, действующая на диск, возрастает.

На рис. 4, в, продемонстрирована заключительная 36-я итерация расчета. Инвазивное устройство приобрело линейную скорость по Z 0.5 м/с и почти вплотную приблизилось к поверхности источника магнитного поля. Также имеет место смещение модели по оси X от исходного значения 20 до 33.5 мм.

На рис. 5 представлен график зависимости расстояния, пройденного диском по оси Z , от времени. Видно, что форма кривой близка к параболе, и объект притягивается к магниту с ускорением, что соответствует условиям отсутствия учета гравитации и сил сопротивления окружающей среды. На рис. 6 представлен график зависимости угловых скоростей поворотов объекта вокруг осей X , Y и Z в зависимости от времени.

Факт наличия вращения модели вокруг поперечных осей при отсутствии гравитации и сил гидродинамического сопротивления может быть связан с несимметричностью граничных условий в постановке первой задачи (см. рис. 4), что в дальнейшем подтвердилось отсутствием вращения модели в полностью симметричной геометрии опыта.

Рис. 5. Зависимость перемещения диска от времени в вакууме

Рис. 6. Зависимость угловых скоростей поворотов диска от времени

Рис. 7. Зависимость перемещения диска в воде от времени

Во второй тестовой задаче рассматривалось притягивание диска к неподвижному магниту в воде без учета гравитации, т.е. добавлялось решение гидродинамической задачи и силы сопротивления жидкости. На рис. 7 показано изменение координаты Z объекта в зависимости от времени. Видно, что появление сил сопротивления жидкости привело к более медленному притягиванию объекта к магниту, причем на основной части траектории инвазивное устройство поднимается наверх с постоянной скоростью. Вращение устройства отсутствовало.

Дальнейшие усложнения условий тестовой задачи — учет гравитации, применение более вязкой жидкости (пропиленгликоль) и учет движения источника магнитного поля, показали, что вследствие увеличения силы сопротивления для сходимости модели необходимо было увеличить силу магнитного поля, уменьшить шаг решения задачи до 0.0001 с и расширить размеры расчетной области. Некоторые результаты, полученные в рассматриваемой задаче, показаны ниже.

а

б

в

г

Рис. 8. Притягивание объекта к движущемуся магниту в пропиленгликоле с учетом гравитации на 0-й (а), 15-й (б), 20-й (в) и 30-й (г) итерациях.

Штрих-вертикаль позволяет воспринять поперечное смещение магнита

Плотность пропиленгликоля принималась равной 1036.3 кг/м³, а вязкость — 0.06 кг/(м ⋅ с). В данной задаче источник магнитного поля имеет скорость по оси Y , равную 0.01 м/с, а исходное расстояние от диска до магнита по оси Z составляет 25 мм (см. рис. 8, а).

На 15-й итерации (см. рис. 8, б) становится заметным момент вращения вокруг оси X , в связи с чем начинается поворот инвазивного устройства. Линейная скорость по оси Z на данный момент времени достигает 0.6 м/с. На 20-й итерации (рис. 8, в) диск ускоряется, достигая скорости почти 1 м/с в направлении Z , увеличивается и угловая скорость вращения вокруг оси X . На момент 20-й итерации инвазивное устройство поднялось на 4 мм. Еще через 10 итераций его скорость несколько уменьшилась, и оно достигло поверхности источника магнитного поля (см. рис. 8, г).

Таким образом, по результатам решения тестовых задач можно заключить, что модель взаимодействия инвазивного устройства, источника магнитного поля, окружающей вязкоупругой среды работает корректно и позволяет прогнозировать движение инвазивного устройства под управлением магнитного поля.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе проведения исследований разработаны компьютерные модели, описывающие действия сил на модель робототехнического устройства со стороны магнитного поля и со стороны внешней вязкой жидкости, имитирующей биологические ткани. В процессе расчета выводится подробная информация о силах, моментах, скоростях и положениях устройства в трехмерном пространстве с учетом гравитации.

Модель позволяет производить выбор характеристик материала и размеров робототехнического устройства, параметров источника магнитного поля, характеристик внешней среды, исходного положения устройства относительно магнита. Кроме этого, разработанная система предоставляет возможность моделировать движущийся источник магнитного поля.

Приведены результаты решения нескольких простейших тестовых задач с последовательным усложнением условий эксперимента, подтверждающие работоспособность моделей и управляющих ими программ.

Приведенные результаты носят предварительный характер, но открывают возможности для решения более сложных и приближенных к практике задач магнитного управления миниатюрным робототехническим устройством и, в принципе, позволяют сформировать требования к техническим и функциональным характеристикам аппаратных средств для генерации магнитного поля при решении задач медицинской робототехники.

Финансирование

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России № 07500558-26-00 от 12.01.2026   1024061000024-6-

• 2.2.2;3.2.11 "Исследование способов построения медицинского модульного манипуляционного комплекса, предназначенного для проведения диагностики, терапевтических воздействий и малотравматичных хирургических операций с применением инвазивных устройств, управляемых внешним магнитным полем (FNRG-2025-0022)".