Разработка математической модели для расчета "силового веса" авиационных конструкций на основе метода конечных элементов

Инженеры обычно получают в своё распоряжение методы, прошедшие тщательное исследование и рекомендованные для расчёта конкретных классов задач. Одним из таких методов является метод конечных элементов (МКЭ) [1]. В основу МКЭ положены относительно простые математические модели, которые приводят к большим арифметическим вычислениям, требующие для их проведения использования компьютера.

Программы для ЭВМ должны обеспечивать в первую очередь выполнение необходимых для проектной организации расчетов напряженно-деформированного состояния. Принятая математическая модель должна достаточно точно описывать реальные свойства объектов. Одновременно, в условиях самостоятельного функционирования программ, необходимо сократить объём исходной информации на входе пакета, представить ее в форме, привычной для инженера-проектировщика. Программы должны быть подкреплены методикой, по которой они разработаны, алгоритмами и текстами программ.

Основное уравнение напряженно-деформированного состояния конструкции, находящейся в состоянии равновесия, можно вывести из принципа возможных перемещений, который выражается через внутреннюю и внешнюю возможную работу:

^ 5 { s } ^T { с } dv = ^ 5 { u } ^T { р } dv + ^ 5 { u } ^T { q } ds

VVS где S{ u} - возможные перемещения, 5{s} - деформации соответствующие возможным перемещениям, {^} - напряжения возникающее в конструкции, {р} и {q} - соответственно объёмные силы действующие на конструкцию и внешние нагрузки от поверхностных сил, V-объём материала конструкции, S-поверхность конструкции, воспринимающая поверхностные силы.

Это же уравнение можно было получить, используя вариационное уравнение (выражение для полной потенциальной энергии).

В методе конечных элементов, базирующемся на методе перемещений, распределение смещений в элементах находят из смещения узлов по соотношению:

{и}=[ N ]{и}}

где [ N ] - форм - функция, { и } e - вектор смещения узлов элемента е.

Деформации и напряжения в элементе определяются по смещению узлов соответственно следующим образом:

{ = } e = [ B ] { и } '

И e = [ D ]{S}'

где [ B ] - матрица дифференцирования, [ D ] -матрица упругости материала.

Подробно эти матрицы описываются в [2].

Формула возможной работы всей конструкции выражается через сумму возможных работ каждого элемента [3]. Возможная работа элемента получается после подстановки (2), (3) и (4) в (1) и записывается в виде:

Л               Л              (

8 { u } ^T " Д B ] ^T [ D ][ B ] dv l { и } ' =8 { и } ^т ' Д N ] ^т { p } e dv + j[ N ] ^T { q } ^ Ve                /                 ^ Ve                 Se

^ Ve

^ ds

)

Это выражение можно записать в матричной форме:

[ k ] ^e { и } ^e = { F } ^e где

[ k ] e =J[ B ]T[ D ][ B ] dv -

Ve

{F} e = J[ N ]T{ P} edv + J[ N ]T{ q} eds

Ve                   Se

(7а)

(7б)

Формулы (7а) и (7б) носят соответственно названия матрицы жёсткости элемента и вектор нагрузки действующей на элемент. Эти матрицы строятся аналитически или получаются численно с использованием методики численного интегрирования.

Применяя формулу (6) к каждому элементу и проводя суммирование по всем элементам, получим систему уравнений первой степени для конструкции в целом, которую можно решить относительно смещений узловых точек.

В данной постановке предполагается решения задачи по определению «силового веса» конструкций фюзеляжа перспективного грузового самолета [4].

При решении статических задач методом конечных элементов принят следующий порядок:

• 1)    Построение модели с разбиением конструкции на конечное число элементов.

• 2)    Вычисление матриц жёсткости элементов и вектора нагрузки по формулам (7а) и (7б).

• 3)    Построение полной матрицы жёсткости и полного вектора нагрузки.

• 4)    Решение системы уравнений первой степени относительно смещения узловых точек.

• 5)    Вычисление напряжений и деформаций в элементе по формулам (3) и (4).