Разработка математической модели экстрагирования из люпина подсырной сывороткой наложением низкочастотных механических колебаний

Модель разработана на основе теории турбулентности с целью создания в экстракционном аппарате возможно большего изменения давления в обрабатываемой среде, за счет чего скорость переноса вещества пропорциональна разности давлений на концах капилляров.

Результаты и обсуждение

Течение жидкостей в капиллярах подчиняется закону Пуазейля [8]:

dlr и = —=---AP,(1)

dt8 где l – длина пропитанной части капилляра; t – время; r – радиус капилляра; μ – коэффициент динамической вязкости жидкости; ∆p – перепад давлений.

При экстрагировании капиллярная пропитка твердых частиц служит основной или важной вспомогательной операцией [7-12]. Кинетику капиллярной пропитки сквозных капилляров можно описать, представив (1) для пропитанного участка капилляра, следующей зависимостью [1]:

dr = r-. (Pk - Pglsina), (2) dt 8 г где pk – капиллярное давление; ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; α – угол наклона капилляра по отношению к горизонтальной плоскости.

Тогда отношение скоростей пропитки в разные моменты времени запишется в виде:

M =

^{( l} to ~ ^l 1 ) ¹ 2

^{( l} to - ¹ 2 ) ^l1

где М – капиллярная масса жидкости; l ∞ – предельное расстояние, на которое мигрирует жидкость.

Из (3) следует:

₌ ( M - 1 ) 1 1 . 1 2 ^to M ■ l - 1₂

Уравнение Вошберна [1] получено после интегрирования уравнения (2):

t =

8 //

r ² p g sin a _V

l „ ln — l to

’ to

- 1

Опуская ряд промежуточных преобразований, а также используя термодинамическую теорию капиллярной пропитки Б.В. Дерятина [4], отметим, что полученные соотношения капиллярной пропитки не учитывают сопротивления вытесняемых газов.

Если предположить, что закон Пуазейля выполняется для обеих частей капилляра – заполненных жидкостью и заполненных газом, а газ, вытесняемый из капилляров, оказывает вязкое сопротивление, для потока жидкости и потока газа запишем соответственно:

₌ л А р i r ⁴ ж^,

* ж Ж

_{( =}    Л А p 2 r⁴

г   8Гг (Lо - Lж)’ где Q , Q – объем прошедшей через капилляр жидкости и объем вытесненного из капилляра газа; Lж, Lг – часть капилляра, заполненная жидкостью и газом соответственно.

Запишем: Q =Q – условие неразрывности потока; pk = Аp, + Ар2 - сумма потерь давления равна скачку капиллярного давления.

Тогда расход жидкости и равный ему расход газа [1]:

ⁿ P k r⁴

8 Г г L* + Г ( L - L ) ! жж   г 0   ж

Уравнение скорости капиллярной пропитки имеет вид:

^{dL ж             pkr 2}                 (4)

^{dt   8} [ L ж ( Г ж ^- Г г ) ⁺ Г г L 0 ]"

После интегрирования (4) получим:

^{( Г ж} - ^{Г г} ) L 2 + гLA = r ^ P^t .

ж  гж0

При L^ ^ 0 из (4) находим:

dLж ।    = r 2 Pk dt  lж >0  8 г Lo

Уравнение (5) позволяет оценить конечное значение пропитки в начальной стадии. Эта скорость постоянна и не зависит от глубины пропитки [1].

Для твёрдых тел растительного происхождения, например, люпина, характерно, кроме сквозных пор, наличие тупиковых и квазитупиковых пор, то есть сквозных пор, ведущих себя при пропитке как тупиковые.

Для различных случаев капиллярной пропитки: при атмосферном давлении, при низком давлении (вакуумировании), а также под избыточным давлением получается соответственно [1]:

dl   r 2	^                  l o  )
dt  8 ц 1	Pk + Po  Po ,   , V                   l o    l 7	,         (6)
dl    r 2	Г     ,                io    ^
	Pk + P h  Pe ,   ,	,        (7)
dt  8 ц 1	V                   l o 1 7
dl    r 2	Г     .                 io   '
dt  8 ц 1	Pk + P h P o ,   , V                   lo   1 7	.         (8)

Здесь р о – атмосферное давление.

Уравнения (6)–(8) получены с учетом значений перепада давлений Δр для перечисленных вариантов, а также пренебрежимо малого значения гидростатического давления ρgl .

С учетом уравнения (6) время пропитки составит:

8ц г    (lo — I) dll r2 о PkL-(Pk + Po)I"

Упростить уравнение (9) можно введением безразмерных величин a = Pk I (Pk + Po) и ф = l Ilo [1]:

1ф   r2Pk (a - Ф)

dt  8>ца1ф (1 - ф)

С учетом постоянной интегрирования уравнение (9) примет вид:

8ца1'  _ . г         x . а t = —-—- <0,5ф^ + (1 - а) a In--ф к r Pk I              L a - ф J.

Введя       безразмерное       время т = Г Pkt /8ма10,  получили уравнение для расчета времени пропитки поры:

т = 0,5 ф ² + ( 1 - a ) a In — ^a--ф I .   (4)

( a - ф J

Как видно, предельная степень пропитки при атмосферном давлении равна α. В такой ситуации защемлённый газ находится под давлением, равным р_к + р ₀ , a А р = 0.

С учетом наложения на систему поля низкочастотных механических колебаний имеем в уравнении Пуазейля (1):

^А Р = ( P k ⁺ P m )

—

^ o - i ^P" '

Здесь L – длина поры; p – максималь- ное давление на турбулентное перемешивание двухфазной системы в экстракторе.

В уравнении (10) безразмерное время τ , безразмерная степень пропитки φ , а также безразмерная величина α имеют вид:

т =

( Pk ⁺ P m )

Д² 8 p L_o

l

t; ф = у;

lo

P m ^- P o ⁺ P k va                              .

Pk ⁺ P m

Анализ уравнения (10) позволяет сделать следующие выводы.

• 1)    При p_o = P_m уравнение (10) совпадает с решением уравнения движения жидкости в тупиковой поре при проведении процесса пропитки без интенсификации экстрагирования.

• 2)    Продолжительность пропитки при наложении поля низкочастотных механических колебаний существенно меньше, чем при традиционном способе (в плотном слое) вследствие вхождения в уравнение (10) члена p .

Для радиуса пор, например, r = 0,3 • 10 ^{- 5} м , А р = 0,1МПа и L_o = 0,35 • ТО ^{- 3} м , время пропитки составляет примерно 0,1·10^-4 с. При этом 1 1 L_o « 1, то есть поры практически полностью заполнены подсырной сывороткой, используемой в нашем случае как экстрагент.

Того же порядка данные приведены в [5] при пульсационном экстрагировании из корня женьшеня.

• 3)    Малое время поровой пропитки является эффективным «стартом» в совокупности с последующими стадиями экстрагирования, интенсивно протекающими под воздействием наложения механических колебаний на систему «люпин-подсырная сыворотка».

• 4)    В тупиковых и квазитупиковых капиллярах функцией капиллярного давления служит не высота капиллярного поднятия (как в сквозных капиллярах), а безразмерная величина – степень пропитки капилляров, которая практически не зависит от их длины.

Уместно отметить, что процессы пропитки и экстрагирования протекают одновременно, поэтому временем пропитки зачастую пренебрегают, что обедняет понимание физики процесса, снижает точность расчета [9–12]. В то же время расчет упрощается.

Как отмечается в работе [2] и др., совокупность процессов переноса вещества подчиняется закону Фика: j = - D grad C , где D - коэффициент диффузии.

С учётом диффузионной нестационарности вследствие гидродинамической нестационар-ности запишем:

j = - Dэ gradC, где D – эффективный коэффициент диффузии.

Иными словами, при турбулентном режиме перенос происходит как за счёт молекулярного, так и конвективного механизма.

Процессу переноса в порах целевого компонента – белков люпина – оказывает существенное сопротивление находящийся в них воздух, который, однако, может частично (или даже полностью) растворяться в жидкости, а также диффундировать по направлению к выходу из поры [3].

Принимая механизм внутреннего переноса диффузионным, с постоянным коэффициентом диффузии, запишем одномерное дифференциальное уравнение нестационарной диффузии для сферической частицы люпина в экстракторе периодического действия [6,8]:

dC ,J d ² C  2 dC )

--= Dэ —'--, dt      (dx x dx7

где 0 < x < R, при краевых условиях:

- D , I dC ( dx 1 = B (Cn - C1) при x = R; n d dC Y hrl   = 0;           . (ii) \ x 7 x=0 t = 0, C = C = const;

B (Co - C ) = C - Ch .

В балансовом уравнении (22):

B = Mmn _Vmn p  (pW)   W ’ где M – масса твердой фазы; m – объемная доля пор; β – коэффициент массоотдачи; C – начальная концентрация целевых компонентов в экстракторе; C – осреднённая концентрация целевых компонентов в порах частиц в каждый момент времени; n – индекс означает поверхность; C – концентрация целевых компонентов на поверхности частицы; C – концентрация целевых компонентов в экстракторе; C – концентрация целевых компонентов в начальный момент времени в порах частиц; R – радиус частицы люпина; W – объём экстрагента; V – объём твердой фазы.

С учётом (11) уравнение кинетики можно представить в виде:

o

•o - C h   1 + в

to

- Z A n e - ^И F o

.

В уравнении (12) диффузионный критерий Фурье F_o = D₃t / R ²; и - корни характеристического уравнения.

Многочисленные исследования показали, что для области регулярного режима при решении можно ограничиться членами разложения при n = 1. В таком случае параметры, входящие в уравнение (12), находятся из уравнений [1, 6]:

¹ d   „2 Y   Ya •

3 B - —  + И ² 1 + 9 в

I      Bi)      I Bi)

т D         э F tga = 0,434Д12 D2 = 0,434Д12 F^,

BR где Bi = ^--диффузионный критерий Био.

11 ^Ctg ^ i =    ⁺ лп _H .

И ₁    ^{3 B}  F i

И Bi

Пористость частицы люпина m находилась экспериментально, как суммарный объём открытых заполненных экстрагентом пор всех размеров в единице объёма тела, м³/м³. Установлено, что m_n ^ 0,4. На рисунке 1 представлено распределение пор в частицах люпина по радиусам. Изучено также распределение пор по площадям поверхности.

Диапазон измерений | Measurement range

Рисунок 1. Распределение пор в частицах люпина по радиусам, мкм, в диапазонах: 1 – 0,002…0,003; 2 – 0,003…0,004; 3 – 0,004…0,005; 4 – 0,005…0,006; 5 – 0,006…0,008; 6 – 0,008…0,009; 7 – 0,009…0,01; 8 – 0,01…0,011; 9 – 0,011…0,012; 10 – 0,012…0,015 Figure 1. Distribution of pores in the particles of lupine along the radii, microns, in the range of: 1 – 0,002...0,003; 2 – 0,003...0,004; 3 – 0,004...0,005;

4 – 0,005...0,006; 5 – 0,006...0,008; 6 – 0,008...0,009;

7 – 0,009...0,01; 8 – 0,01...0,011; 9 – 0,011...0,012;

10 – 0,012...0,015

Размеры пор определялись с помощью микроскопа «Альтами–Био», программный комплекс обработки изображений Altami Studio 3,5, увеличение 100- и 200-кратное.

Полученные результаты, приведенные выше, использованы для решения уравнений математической модели.

Методом графического решения уравнения (12) [8] определялись параметры А1 и угол α в координатах

lg

- 1 .

Имея систему

уравнений (13), определяли в области регулярного режима D₃ = 3,2 ■ 10 - 11 м²/с и Д = 21,5. Эффективный D обобщает все формы люпина (крупка, цилиндр, пластина). Результаты верификации модели с экспериментальными данными свидетельствуют о ее адекватности.

Заключение

При наложении на систему «люпин–под-сырная сыворотка» низкочастотных механических колебаний одновременно с увеличением коэффициента эффективной диффузии интенсифицируется как внутренний, так и внешний массообмен. Полученные в работе результаты могут быть полезными при расчетах экстракционных процессов и аппаратов, в которых используется активный турбулентный режим.