Разработка математической модели сушки семян амаранта в аппарате со взвешенно-закрученным слоем

Окончание. Начало см. «Вестник ВГУИТ» № 1, 2015. © Журавлев А.В., Бородкина А.В., Черноусов И.М., 2015

Получена система уравнений:
' U   т		[ a 2 u  2 a u )
d Fo  ' + LuPn	u c '	v a R 2 ' R d 2 t  2 a t ) + R 2   R d R J		R J ;	+		(1)
d T  FeLu			f a 2 u  2 a и			)
d Fo " Pn + ( 1 + FeLu ) f			(a r 2 1 r a r a 2u  2 а и ) + a r 2   r a r)			j ;	+ (2)
U ( R ,0 ) = T ( R ,0 ) = 0;                 (3) в U ( 0, Fo ) = В T ( 0, Fo ) = 0, a r         a r       ’         1' 6 U ( 1, Fo ) + Pn aT ( 1, Fo ) + a r           a r             (5) + Bi m [ U ( 1, Fo ) - 1 ] = 0; -    a T ( 11 Fo ) + Bi [ 1 - t ( 1, Fo ) ] - a r        q i                     (6) -    ( 1 - г ) Bi m KoLu [ U ( 1, Fo ) - 1 ] = 0,

U ( R , Fo ) = U ( i A R , j A Fo ) = U i ;

T (R, Fo ) = T (iAR, jAFo ) = Tij, где i = 0,1, .., n; j = 0,1,..; AR = —; AF0 выби-n рается из условия A 0 < AR.

Для аппроксимации уравнений модели выбран четырехточечный шаблон, рисунок 1.

Это позволяет записать дискретный аналог уравнений модели с первым порядком точности по A Fo и вторым по A R в виде:

U i^¹ = U { + [Lu(^U ^ ^±1

₊ U i + 1

-

U i- 1

i A R ²

₊ T i + 1 T i - 1 i A R R

—

Т/+1

—

2U { + U ,

Tj

)+ LuPn(—

)] A Fo ;

= r/ + [ FeLu

¹       Pn

-

ЛК2

2t- + T - 1 +

ЛК2

₍ И*

—

2U j + ИЦ

A R ²

+

где Lu = a_m I a_q - критерий Лыкова, характеризующий отношение скоростей переноса массы и тепла диффузией; Pn = 3 ( t_c - t_o )I( u_c - u_o ) - критерий Поснова, характеризующий отношение термодиффузионного переноса влаги к диффузионному переносу; Fe = dr*e I c - критерий Федорова, характеризующий отношение теплосодержания переносимой жидкой и парообразной влаги к теплосодержанию высушиваемого материала; Bi = а r I X - теплообменное число Био;

q    qo   q

Bi_m = a r । X - массообменное число Био;

+

U i + 1 - U i - 1 i A R²

)+ ( 1 + FeLu ) (

T + 1 - 2 T/ + T i - 1

i, j + 1

A R ²

+ (8)

Ko = r * ( u c - u_o )/( c_p ( t c - t o )) - критерий Кос-совича, характеризующий зависимость между количеством теплоты, затраченным на испарение жидкости и на нагревание влажного тела.

Интегрирование системы уравнений (1)-(6) необходимо проводить численно, так как аналитическое решение получить затруднительно [1].

Численное интегрирование уравнений математической модели основывается на конечно-разностных представлениях. Непрерывная область интегрирования разбивается сеткой с шагом A R и A F , при этом область решения, представляющая собой полуограни-ченную полосу [0; 1]х[0; да ), заменяется дискретной, то есть совокупностью узлов, при этом вводятся обозначения:

i - 1 , j

A

i, j

i + 1 , j

Рисунок 1. Схема четырехточечного шаблона.

+

T i + 1 - T i - 1 i A R R

)] A Fo ;

U 0 = T ⁰ = 0;                     (9)

U j = U j ; T „ ^j = T^j ;          (10)

jj   jj n n и -1  | Pn n n -1

AR         NR(11)

+ Bi , [ u ; - 1 ] = 0;

A R ( 1 - s ) Bi KoLuU j + ( 1 + A RBi T = m      nqn

= IJ + ARBi, + AR (1 - s)Bi,K о Lu jj

-        + Biq 1 - T ]

- ( 1 - s ) Bi , KoLu [ U n - 1 ] = 0,

Введем обозначения:

a_xx = 1 + A RBi , ; а_и = P n ;

a ₂, = A R ( 1 - s ) Bi_mKoLu ; a 22 = 1 + A RBi q ;

Прежде чем приступать к реализации конечно-разностной схемы (1)-(6), преобразуем граничные условия (5) и (6) для выделения из них в явном виде U ^j и T ^j :

U n - U n - + PT - P , T , -- 1 + A RBi , U n -

• -A RBi , = ( 1 + N RBi , U j + p „ t ; _ 1 -

• - U n - 1 - PT j -A RBi , = 0,

то есть b = PnT;.1+NRBim + Un-1, b = Tj + ARBiq + AR (1 - s)Bi„KoLu,

Тогда (13) и (14) примет вид:

' anU n + a 12 T n = b 1 ,

_ a 21 U J + a T    b ₂ .

( 1 + A RBi , U n + PnT n = = PnT n _ 1 +A RBi , + U n - ; ,

A =

a ₁₁ a ₁₂

a 21 a 22

= ^а_п a 22   a 12 a 21 ,

• -    T n + T n_1 + A RBi q   A RBi T -

• -    A R ( 1 - s ) Bi_mKoLuU^J_n + A R ( 1 - s ) Bi_mKoLu =

• =    -A R ( 1 - s ) Bi m KoLuU n, - ( 1 + A RBi q T +

• +    T j + A RBi_q + A R ( 1 - s ) Bi_mKoLu = 0,

A

^b 1 ^a 12

b 2 a 22

= bxa^2 - b2a]2,

то есть

UJ = n

^A т

a ₁₁ b ₁

a ₂₁ b ₂

^b 2 ^a11   ^b 1 a 21 *

A U₌      ( P n T n-1 +A RBi , + U n - 1 )( 1 + A RBi q )

A   [(1 + ARBi, )(1 + ARBiq)- Pn AR (1 - s)Bi„KoLu ]

[ T j + A RBi, + A R ( 1 - s ^^i,KioLu i ] Pn

[ ( 1 + A RBi , ) ( 1 + A RBi q ) - P n A R ( 1 - s ) Bi , KoLu ]

_T,_ AT _ fc, +A RK q +A R ( 1 - s ) Bi , KoLu ]( 1 +A RSi , ) - ( PnT, - +A RBi , + U‘,_A ) a R ( 1 - s ) Bi , KoLu ■ ⁿ A                          [ ( 1 + A RBi _m ) ( 1 + A RBiq ) - Pn A R ( 1 - s ) Bi_mKoLu ]

.

Таким образом, вместо (5) и (6) следует записать (15) и (16). В результате получена математическая модель процесса сушки семян амаранта в аппарате со взвешенно-закрученным слоем.

Вестник ВГУИТ, №3, 2015