Разрешимость обратных задач для некоторых псевдогиперболических уравнений

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи, в которых наряду с нахождением решения требуется найти входные данные, например, коэффициенты уравнения или функции, определяющие начальные или граничные условия. Теория обратных задач для дифференциальных уравнений является динамично развивающимся разделом современной науки. Предпосылкой для исследований разрешимости обратных задач для рассматриваемого класса являются неклассические задачи математической физики, возникающие при моделировании различных физических, механических, биологических и т.п. процессов. Для псевдогиперболических уравнений такие задачи возникают в теории нестационарного течения вязкого газа, при конвективной диффузии солей в пористой среде, распространении начальных уплотнений в вязком газе и во многих других ситуациях.

Обратным задачам посвящены монографии А.И. Прилепко, Ю.Е. Аниконова, Ю.Я. Белова, М. Иванчова, А.И. Кожанова и многие другие работы.

Обратные задачи для псевдогиперболических уравнений с неизвестным коэффициентом, зависящим от временной переменной t, ранее изучались в работах [1-6], но постановка задач и техника доказательства, применяемые в настоящей работе, отличаются от постановки и техники в указанных работах.

Перейдем к содержательной части работы.

Пусть Cl есть интервал (0,1) оси Ox , Q - прямоугольник {( x , t ): xe Cl, t e (0, T ),0 <  T < 00} .

Далее пусть f ( x , t ), a ( x , t ), c ( x , t ), h ( x , t ) - функции, определенные в Q .

Обратная задача I. Необходимо найти функции u (x, t) и q(t), связанные в прямоугольнике Q уравнением utt — u^ + a (x, t) u„ + c (x, t) u = f (x, t) + q (t) h (x, t),(1)

при выполнении для u (x, t) условий u (0, t) = u (1, t ) = 0,   0

u(x,0) = 0, ut (x,0) = 0, xe Q, ux (0, t ) = 0,   0

Обратная задача II. Необходимо найти функции u(x,t) и q(t), связанные в прямоуголь нике Q уравнением (1), при выполнении для u (x, t) условий (3), а также условий u (0, t ) = 0,  ux (1, t ) = 0,   0< t

u_x (0, t ) = 0,   0 <t.                                              (6)

В данных задачах условия (2), (3) и (5) есть условия обычной начально-краевой задачи для псевдогиперболического уравнения (1) с известной правой частью, условия же (4) и (6) можно трактовать как условия граничного переопределения; необходимость этих условий диктуется именно наличием неизвестного коэффициента q(t).

В работе представлены два подхода для доказательства разрешимости обратных задач I и II. Общая идея первого подхода заключается в сведении обратной задачи к прямой, но нелокальной задаче, в которой нет неизвестного коэффициента, но она будет задачей для нагруженного уравнения с граничными условиями переопределения. Подобные методы исследования применялись А.И. Кожановым [4, 8-11], Ю.Я. Беловым [5] и др. и оказались достаточно эффективными для доказательства разрешимости исследуемых задач.

Второй подход заключается в повышении порядка исходного уравнения исключением неизвестного коэффициента в правой части. При этом получается уравнение составного типа. Данный подход применялся в различных ситуациях в работах [4, 11].

Выполним некоторые формальные построения, касающиеся обратной задачи I. Продифференцируем уравнение (1) похи положим х = 0 . Пусть выполняется условие h(0,t)^0 при t е [0, T]. Тогда из равенства ux»(0, t) - uxxxt(0, t) + ax (° t) uxx (0, t) + a(0, t) uxxx (0, t) +

+ c_x (0, t)u (0, t) + c(0, t)u_x (0, t) - f_x (0, t) + q(t)h_x. (0, t)

можно найти q(t):

- uxxx,^(0,t) + ^ax (0, t)uxx (0, t) + a⁽0, t)uxxx^(0,t) - fx^(0,t)

q^{( }}                               hx (0,t)

Подставив представление q(t) в (1), получим уравнение:

u_tt - uxxt +a(x, t)uxx +c(x, t)u =

- f⁽x, t) +

- uxxx, (0, t) + ax (0, t) uxx (0, t) + a (0, t) uxxx (0, t)-fx (0, t)

h (x, t).

hx (0, t)

Введем следующие обозначения:

b(x,t),^<x,t’; b(x,.),a⁽⁰-'>h^(x,'); b,(x,.) = ^a-⁽⁰-‘)h^(x• t); ^{Л 7} hx (0, t)     ²¹ , ⁷      hx (0, t)       ^{3V 7}       hx (0, t)

\          x   fx (0, t)h(x, t)

.

f (x, t) = f (x, t) + ZxL_L^L_LZ ¹                      h (0, t)

С учетом этих обозначений уравнение (1) примет вид utt - uxxt + a(x, t>xx + c(x, t)u = bl (x, t)uxxx. (0, t) + b2 (x, t)uxxx (0, t) + b3 (x, t)uxx (0, t) + f. (x, t) .  (7)

Положим в уравнении (7) x = 0. Получим равенство, определяющее первое граничное у     -и xxt (0, t) + a (0, t) uxx (0, t ) = bi(0, t )Uxxxt (0, t) + b 2(0, t ^uxx (0, t) + Ьз(0, t) uxx (0, t) + f/0, t).

Положив теперь в уравнении (7) x = 1, получим второе граничное условие:

- uxxt (1, t) + a (1, t) uxx (1, t)-bi(1, t )uxxx, (0, t) + b 2(1, t) uxxx (0, t) + Ьз(1, t) uxx (0, t) + f/1, t).

Следовательно, для функции v(x, t) = uxx (x, t) выполняются условия:

- v, (0, t) + a (0, t) v (0, t ) = b1(0, t) Vx, (0, t) + b₂(0, t) Vx (0, t)+Ьз(0, t) v (0, t)+f/0, t),      (8)

-vt(1,t) + a(1,t)v(1,t) =b1(1,t)v_xt(0,t) + b2(1,t)vx(0,t) + Ьз(1,t)v(0,t) + f/1,t).          (9)

В дальнейшем будем считать, что b (0, t) = b_x (1, t) = 0 при t g[0, T]. В случае b_x (0, t) = 0 условие (8) примет вид:

v,(0,t) = [a(0,t)-Ьз(0,t)]v(0,t)-b₂(0,t)v_x(0,t)-f (0,t).

В случае b_x (1, t) = 0 условие (9) примет вид:

vt(1,t) = a(1,t)v(1,t)-b2(1,t)vx(0,t)-Ьз(1,t)v(0,t)-f/1,t) .

Дважды продифференцировав уравнение (7) по x , получим уравнение vttvxxtt + ^axx (x, t)v + 2a_x (x, t)vx + a(x, t)vxx + cxx (x, t)u + 2c_x (x, t)ux + c(x, t)v = = ^b1 xx⁽x, t)v_xt^(0,t) + ^b2xx⁽x, t)vx^(0,t) + ^b3xx⁽x, t)v^(0,t) + ^fxx⁽x, t).

В результате мы пришли к нелокальной задаче для функций u (x, t) и v(x, t). Доказав разрешимость полученной задачи, автоматически получим разрешимость обратной задачи I.

Поскольку построенная нелокальная задача для уравнения вида (1) ранее не изучалась, рассмотрим ее независимо от исходной обратной задачи.

Пусть   с. (x, t), i = 1J, F (x, t)   - заданные функции, определенные при   (x, t) eQ, bj(t), j = 1,4, yk(t), k = 1,4, ^(t), ^(t) есть заданные функции, определенные при t е [0,T].

Нелокальная задача 1. Необходимо найти функции u (x, t) и v(x, t), связанные в прямо- угольнике Q уравнениями vtt - vxxt + с1 (x, t)v + с2 (x, t)vx + с3 (x, t)vxx + c4 (x, t)u + c5 (x, t)ux - Fx(x, t),(13)

v(x, t) = uxx (x, t )

и такие, что для них выполняются условия vt (0, t) = /1 (t) v(0, t) + /2 (t) vx (0, t) + /3 (t) v(1, t) + /4 (t) vx (1, t) + ^1 (t X 0 < t(t) vx(0, t) + %(t)v(1, t) + b4(t) vx(1, t) + ^1(t X 0 < t

v(x,0) = 0, vz (x,0) = 0,   u(x,0) = 0, ut (x,0) = 0,   x e Q .(18)

Определим для дальнейшего исследования пространство, норму в котором определим естественным образом

1 2

IIvll V =  j (v2 + v2 + vx" + vXt )dxdt.

^Q Очевидно, что пространство V банахово.

Теорема 1. Пусть выполняются условия

с(x, t)G С(Q), i=1,5;

F (x, t) g L2 (Q), ^ (t) g W2 ([0, T]),   (t) g W2¹([0, T]).

Тогда нелокальная задача (13)-(18) имеет решение u(x,t) и v(x, t) такое, что u(x, t)g V, v (x, t) G V .

Доказательство. Установим вначале наличие подходящих априорных оценок решений настоящей задачи.

Умножим уравнение (13), записанное в терминах x и , на функцию v  vxx и ре зультат проинтегрируем от 0 до t по временной переменной и от 0 до 1 по пространственной переменной. Выполнив дополнительно интегрирование по частям, использовав начальные и краевые условия, получим следующее равенство:

1                                   t 11

2              1      2/                    2               1

v dxdz + — v w( x, t) dx +   v _ dxdz + — v vv( x, t) dx = x                     xt                      xxxx

2 0                0 0

ttt

J П 1 00 v (0, t) vx_T (1, r) dr + J //, (t) vx (° t) vx_T (1, т) dr + J % 0") v (1, t) vx_T (L T) dT +

0                                        00

ttt

+ J 74 OOvx^(1, ^vx_T^(1, ^^dr ■ jV1OOvxt^(1, ^d²" - J /1OOv^{(0, r)}vxT^(0, Пd -

0                                         00

ttt

J Y2 00 vx (0, t) vx_r^(0,r⁾dT - J ^(r) v^(1,t) v_xt^(0,t) dT- J ^OO vx (1, r) v_XT^(0,r) dr

0                                           00

tttt

J Ф1 OO v„^(0, Г) dT- J /1 OO v_T^{(0, r)}v _XT^(0, r) de- J /2 OO vx^{2 (0,}T) dT- J /3 (r) v_r^(1, r) v _XT (0, r) dr

0                               0                                          00

ttt

J Y4 00 v_XT^(1,r) Yx,⁽0, t) dT- J X0-) v⁽0, t) vx_T^(0,t) dT- J /2 ⁽T) vx^(0,t) v x_r^(0,T) dT

0                                          00

ttt

-^Y3 OO v (1, T) vx_T (0, t) dT- j /4 (r) vx (1, r) v_XT (0, r) dT- J ^ (r) vx_T (0, r) dt +

0                                        00

ttt

+ J H 1 O') v_T^(0,t) vx_T W dT* J n 2 (r) v_XT^(0,r) v_XT (1, r) dT* J Y) 3 ⁽t) v_T⁽1, r) v_XT (1, r)^d T +

0                                          00

tt    tt

+ j d4 0") vx^{2 (1,7}) dT + J л 10") v (^0,r) v_XT^(1,r) dT* j T] 2 (r) vx^(0,r) v_XT (1, r) dT* З^з^¹ v^(1,t) v x_T^(1,T) dT*

0                              0                                        00

+ J ^ 4 0") vx (1, Г) vXT (1, r) dT*3 0                                        0 ^i (r)vxT (1, ^)dт —J J c (x, r)vvTdxdr - J J c2 (x, r)vxvTdxdT -0 0                              0 0 t 1                                                     t 1 - j J c 3 (x, Г) vxxvTdXdT - j j c 0 0                                0 0 t 1                                                    t 1 4 (x, r)uvTdxdx - J J c5 (x, r)uxvTdxdr + J J C (x, t)vv^dxdu + 0 0                               0 0 t 1                                                            t   1                                                             t 1

+ J J c2 (X, T)vxvXxTdxdT + j jc3 (x, Г)vxxvXxTdxdT + j jc4 (x, T)uvxxTdXdT + J j C5 (x, Г)uxvxxTdXdT+

0 0                                 0 0                                  0 00 0

t 1

+ J J F_x (x, t)v_Tdxdr  J J F (x, t)v_XXTdxdr.

В этом равенстве все слагаемые в правой части оцениваются практически одинаково с помощью неравенства Юнга, неравенства

й)2(x) < 

t 1

J J w² (x, t)dxdu TT² J J w2 (x, t)dxdr,

0 0

t 1

0 0

t 1

J J u²(x, r)dxdi < J J v²(x, r)dxdr,

(***)

0 0

0 0

справедливых при всех (x, t) g Q .

Например, второе слагаемое в правой части оценивается так:

t                                                             t                                               «2^

\п2 (r)vx(⁰,r)v_xr(U)dt < nAvx(0,t)v„(l,r)|dr < 2-

t

- 2         t 1

0 0

• 2         t 1

0 0

t

2 t

J v2_r(1,r) dr +

— 2 t

JvyC^0, r) dT<

^2<4 0

t 1

t 1

2    ,   .                      1

^vxxT^dxd^ +     '^

2 V ^2 2b 0

5,

2 . .    5? L 1 )

v „ _T dxdr + — 1-1

xx

² I M

5,

t 1

— 2

— 2

t

0 0

t 1

v2 dxdr +1 + 4

xx               c-2

2^1

2/0 0

0 0

J J vXxdxdT^-0 0

T 2² f-2^12 I

1+4

. 8J

t 1

0 0

Четырнадцатое слагаемое оценим следующим образом:

t

t

j /4 ⁽^Vxt^(1, 2vxt^(0, 2d^T ^ /4 J vx. (¹ 2vxt^(0, 2)d^{7 5}

t

t

- e t 1

0 0

1+—

.     §3

\ t 1

0 0

- c* t 1

2-й

0 0

4 j vt^(1, 2 d^T+41^v”^{(0, r)dt} -

2 J                2

0                          0

t 1

1      1

§3*J

0 0

После всех преобразований и упрощений получим неравенство

J ^[V^{2 (x}, ^t) + V2, ^(x,^t) +^vxX^(x, ^t)]dx +

t 1

t 1

II vw

0 0

t 1

t 1

0 0

t 1

,dxdT + N J J v2dxdT + N J J vdxdT + N₃ J J v2dxdT + C_o,

0 0

0 0

0 0

в котором 5₀ есть произвольное положительное число, числа C, N,, i=1,3 определяются функциями с (x, t), i = 1,5", r(t (t), j = 1,4, k( (t), k = 1,4, ^(t), ^(t) , а также числом 3₀. Пусть N = max{ N, N₂, N}. Подбирая 5₀ малым и фиксируя, получим

1                                                                                              t 1

J ^[V^{2 (x}, t) + ^vx²_r^(x, t) +Vx2 ^(x,^{t)] dx} + J J v^xdxdT <

0                                                    0 0

t 1

< N j j ^[v_T^: + ^vx²_r + ^{v2 ]dx}dT + ^C0.

0 0

Далее по лемме Гронуолла следует, что имеет место оценка

J[v²(x,t) + v_x²_r(x,t) -vvX;(x,t)]dx < C0 exp(TN). 0

Вернемся к неравенству (19) и, используя полученную выше оценку, получим j [ v t (x, t) + vt (x, t) +vxX (x, t)] dx + j j vt dxdr <

0                                      0 0                                         (20)

С0 exp( TN) J J [v_T+ vx²_r + v2x ]dxdr = C.

0 0

Отсюда j J v2dXcdt<.C. 0 0

Из оценки (20) следует очевидная оценка

II v>H²^C0.                                  (²1)

Воспользуемся далее методом продолжения по параметру. Пусть X е [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функции u (x, t) и v(x, t), удовлетворяющие в прямоугольнике Q уравнениям v_tt - vxx_t + с₁ (x, t) v + с₂(x, t) v_x + c₃(x, t) vxx = F₁ (x, t) - 2[ c₄(x, t) u + c₅(x, t )u_x ]         (13 X )

и (14), таким, что для них выполняются условия (17), (18),

v(0,t) = 2[/1(t)v(0,t) + y₂(t)vx(0,t) + /з(t)v(1,t) + /4(t)vx(1,t)] + ^(t), 0 < t< T,             (15 2)

vt (1, t) = 2[T71(t) v(0, t) + >72(t) vx (0, t) + % (t) v(1, t) + ^4 (t) vx (1, t)] + ^1(t), 0

Обозначим через Л множество тех чисел Хд для которых краевая задача (13Я), (14), (15 Я), (16Я), (17) и (18) разрешима в пространстве V для произвольной функции F (x, t)е L^ (Q), функций ^(t), ^(t) из пространства W1([0, T]). Если будет доказано, что множество Л непусто, открыто и замкнуто (в топологии отрезка [0,1]), то оно будет совпадать со всем отрезком [0,1] [12].

Непустота Л очевидна, так как число 0 принадлежит ему [4, 13]. Открытость и замкну тость следует из априорных оценок, полученных выше.

Отсюда по теореме о методе продолжения по параметру краевая задача (13Я), (14), (15Х), (16 Я), (17) и (18) разрешима для Я е [0,1].

Теорема доказана.

Теорема 1 . Пусть выполняются условия

a(x,t) g С2(Q), с(x,t) g С2(Q), h(x,t) g С2(Q);

f (x,t) g L2(Q), f x(x,t) g L2(Q), f xx(x,t) g L2(Q);

h (0, t) Ф 0, h(0, t) = 0, h(1, t) = 0, t g [0, T].

Тогда нелокальная задача (12), (14), (10), (11), (17) и (18) имеет решение u(x, t) и v(x, t) такое, что u (x, t) e V, v(x, t) g V.

Доказательство. Повторяя доказательство теоремы 1 (умножая уравнение (12), записанное в терминах x и т, на функцию v_T - v^ и интегрируя результат от 0 до t по временной переменной и от 0 до 1 по пространственной, воспользовавшись краевыми условиями (10) и (11), условиями теоремы, неравенством Юнга, неравенствами (*), (**), (***), а также леммой Гронуолла), придем к оценке вида (21). Из этой оценки и теоремы о методе продолжения по параметру следует разрешимость задачи (12), (14), (10), (11), (17) и (18).

Теорема доказана.

Перейдем к изучению разрешимости исходной обратной задачи I.

Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 . Тогда обратная задача I имеет решение u (x, t) и q(t) такое, что u (x, t)g V, q(t) eL₂ ([0, T]).

Доказательство. Пусть функции u(x, t) и v(x, t) есть функции, являющиеся решением нелокальной задачи, редуцированной из обратной задачи (12), (14), (10), (11), (17) и (18). По- ложим

w^(x, t) = utt - U^ + ^a(x, t)uxx + c^(x, t)^u - bl ⁽x, t)uxxxt^(0,t) -- b2 ⁽x, t)uxxx^(0,t) - ^b3 ⁽x, t)uxx^(0,t) - ^{f (}x, t).

Имеют место равенства:

wxx (x, t ) = 0,  (x, t )G Q, wx (0, t ) = w(1, t ) = 0,  0< t

Из этих равенств следует, что w(x, t) = 0 в Q. Положим

u

q⁽t) = —^:

_; xxxt (0, t) + ax (0, t) uxx (0, t) + a (0, t) uxxx (0, t) - f_x (0, t)

.

hx (0, t)

Очевидно, функции u(x,t) и q(t) связаны в прямоугольнике Q уравнением (1). Осталось показать, что выполняется условие u (0, t) = 0. Положим в (1) x = 0. Получим равенство u_tt (0, t) + c(0, t)u(0, t) = 0. Из этого равенства и условия u (0,0) = 0 следует требуемое равенство u (0, t) = 0. Принадлежность u (x, t) и q(t) требуемым классам очевидна.

Теорема доказана.

Перейдем к изучению разрешимости обратной задачи II, применяя второй подход.

Для упрощения выкладок, формулировки и доказательства теоремы введем обозначе- ния:

/                х / х        z х a (x, t) h¥ (x, t) z x z x ax (x, t) = c(x, t) ; a2 (x, t) = a (x, t)--x------; a3 (x, t) = a(x, t);

²            x               h (x, t)

a4(x,tV- ^; a,(x,,) = c,(x,t)-c⁽x*)h<^x); a.(.x,.) =          ;

h (x ,t)                                  h (x ,t)                      h (x,t)

f>⁽x^,t)

f,⁽x,.) h⁽x,.) - f⁽x,.) h,⁽x,.) h (x, t)

Пусть a₆ (x, t) = a₆, (x, t) + a_{6 2} (x, t).

Теорема 3. Пусть выполняются условия at (x, t)e C(Q), i = 1,6;(25)

f;( x, t >€ L^Q);(26)

h(x, t) * 0, a^x (x, t) < 0, a6, (1, t) > 0, t e [0, T], x e [0,1],(27)

существует положительное число 5 такое, что 2

1-^>0 • 1-^>0.(28)

22d

Тогда обратная задача II имеет решение u (x, t) и q(t), такое что u (x, t) e V, q(t) eL₂ ([0, T]).

Доказательство. Выполним некоторые формальные построения. Пусть h (x, t)   0,   (x, t )e Q.

Разделим уравнение (1) на h (x, t).

у-¹—^[Utt - Uxx, + a⁽x,^t)u„ + c⁽x,^t)u^] = f⁽x, ‘¹ + q⁽t).                       ⁽²⁹⁾

h (x, t)                                           h (x, t)

Продифференцируем уравнение (29) по x:

u_xtt -u_xxxt +a_x(x,t)uxx +a(x,t)u_xxx +c_x(x,t)u+c(x,t)u_x _ h (x, t)

_ ^[utt -u^+a⁽x, t)uxx +c⁽x,^t)u^]hx⁽x,^t)₌f_x⁽x,^t)h⁽x,^t) - f⁽x,^t)hx⁽x,^t) h²( x, t)                                     h²( x, t)

Рассмотрим следующую вспомогательную краевую задачу: найти функции u(x,t) и v(x,t), связанные в прямоугольнике Q уравнениями v (x, t) = u x (x, t),                                                    (30)

v_tt - vxx_t + a1 (x, t)v + a₂ (x, t)v_x + a₃ (x, t)vxx + a₄ (x, t)v_xt + a₅ (x, t)u + a₆ (x, t)u_tt = f, (x, t),  (31)

при выполнении для u(x,t) и v(x,t) условий (3) и u(0,t) = 0,  0

v(0,t) = 0, v(1,t) = 0,   0 <t.

Разрешимость данной краевой задачи покажем с помощью метода продолжения по параметру. Пусть X e [0,1]. Рассмотрим задачу: найти функции u (x, t) и v(x, t), удовлетворяющие в прямоугольнике Q уравнению (30) и уравнению vtt “ v»t + a1 (x, t)v + a3 (x, t)vxx + Л[a2 (x, t)vx + a4 (x, t)vxt + a5 (x, t)u + a6 (x, t)utt ] = f, (x, t),   (31 X )

Умножим уравнение (31 ), записанное в терминах x и , на функцию v vxx v и результат проинтегрируем от 0 до t результат по переменной и от 0 до 1 по переменной x . Проинтегрируем некоторые слагаемые по частям, применим начальные и краевые условия. В итоге получим равенство t i

0 0

t 1

1 f 2z . , . — I v ,( x, t) dx + ²o ■' '

t 1

0 0

t 1

0 0

t 1

1                                    t 1

J Vx² (x, t)dx + J J

0                    0 0

t 1

0 0

t 1

t 1

J J vД(x, t)dxdT = 0 0

t 1

- Я J J a₅ (x, r) uv_Tdxdr - Я J J a₆ (x, r) u_rrv_rdxdT + J J a_x (x, r) vv_XXTdxdr +

0 0

t 1

xx vxx dxd

0 0

t 1

0 0

0 0

0 0

t 1

x^vxx

0 0

t 1

0 0

t 1

VxxrdxdT + Я J J a₅ (x, r) uv_xxTdxdT +

0 0

t 1

t 1

t 1

0 0

-Vxx_Tdxd^T —J J a¹ (x ’^r) vv-ndxdT - J J a₃ (x, r) v_xxv_TTdxdr - Я J J a₂ (x, r) v_xv_TTdxdT -

0 0

0 0

0 0

t 1

t 1

t 1

v dxd

0 0

0 0

0 0

t 1

+ J J f^(x, r)^[v_r - vxxx + v_rTddx:dt. 0 0

Условие (27) следует из преобразования предпоследнего слагаемого в вышестоящем равенстве с учетом обозначения a₆ (x, t) = a₆, (x, t) + a_{6 2} (x, t) :

t 1                                                                      t  1                                                           t

J j a_6>1(x, t)u_TTv_TTdxdT = — J j a6,1 x (x, r)u^dxdr + j j a_6>1(1, r)u2ddt .

0 0                                ²0 0                             0

Например, необходимость условия (28) возникает при оценке интеграла t 1

0 0

t 1

u v dxd

0 0

X 2 t 1772

< — [ [ v²dxdT + —6;|- f v²dt.

3 J 1 TT2

2 0 0            2U0

Используя далее условия (27), (28), а также неравенство Юнга, неравенства (*), (**), (***), получаем, что из данного равенства вытекает неравенство

t 1

t 1

+ f f |v + v v \dxdT x              xx

0 0

t 1

B1J J^[v_T²+vL^]dxdr+^J jH+^v2,+vL dx^+C1,

0 0

0 0

в котором 8 есть произвольное положительное число, числа C, Бх определяются функциями ai (x, t), i = 1,6,  f (x, t), а также числами T и 8. Подбирая число 5 малым и фиксируя, при меняя далее лемму Гронуолла, получаем, что имеет место априорная оценка

1                                                                    t 1

J ^[v^{2 (x}, t) + vxt^(x, t^)]dx + J J|vx²_r + v_rr + vxa^dxdT < M

0                                    0 0

с постоянной M, определяющейся функциями a_; (x, t), i = 1,6, f₂ (x, t), а также числами T и 5.

Из оценки (34) следует очевидная оценка ||v| 12+ ||u| 12

•

Теорема доказана.