Разрешимость разностной задачи Коши для многослойных неявных разностных схем

Введение. Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений – дискретизация дифференциальных. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям [1].

В монографии [2] исследована устойчивость однородной двухслойной линейной разностной схемы с постоянными коэффициентами. В работе [3] к исследованию устойчивости многослойных однородных разностных схем применяется теория амеб алгебраических гиперповерхностей и получена формула для решения задачи Коши через ее фундаментальное решение.

В [4] для двумерного случая исследован разностный аналог краевой задачи Хермандера для полиномиального дифференциального оператора. В данной работе исследуется разрешимость разностных уравнений с начально-краевыми условиями типа Рикье. С точки зрения теории разностных схем это многослойные неявные разностные схемы. Дан критерий (теорема 2) разрешимости и простое достаточное условие (теорема 1). В теореме 3 отражена связь полученных результатов с известным методом исследования разностных схем - методом прогонки для систем линейных уравнений с ленточными матрицами (см., например, [5]).

Введем необходимые обозначения и определения.

Z2 - целочисленная решетка и Z + - подмножество этой решетки, состоящее из точек с целыми неотрицательными координатами. Пусть 51 - оператор сдвига по переменной x, т. е. 5f(x,y) = f(x +1,у), а 52 - оператор сдвига по переменной у, т. е. 5fx,y) = f(x,y +1). Зададим «полосу» П = {(x, у) е Z +, 0 < x < B, у > 0} в положительном октанте целочисленной решетки, число B+1 будем называть шириной «полосы» П. Рассмотрим разностный полиномиальный оператор с постоянными коэффициентами вида mbm

P (51,52) = EE cW^E P/5J52,(1)

j=0i=0

b где Pj(51) = ECij5i, j = 0’ 1 •”’ m.

i =0

mb

Многочлен P ( z , w ) = EE c_i j z‘w^j называется ха- j = 0 i = 0

рактеристическим. Степень m многочлена P ( z , w ) будем называть порядком разностного оператора P (5 1 ,5 2 ) и предполагать, что b < B .

Зафиксируем в такое, что c р _m X 0, и рассмотрим множество П р = {( x , у ) е Z ²: 0 < x - в < B-b , у > m - 1}. Обозначим L р = П\П р и сформулируем следующую задачу:

найти решение разностного уравнения

P (5 1 ,5 2 ) f ( x , у ) = g(x , у ), ( x , у ) е П,           (2)

удовлетворяющее условию fx,у) = ф(x,уX (x,у) е Lв,              (3)

где g ( x , у ) и ф( x , у ) - заданные функции целочисленных аргументов.

Задачу (2)-(3) назовем задачей Коши для полиномиального разностного оператора (1) и приведем легко проверяемое условие ее разрешимости.

Теорема 1. Если для коэффициентов полиномиального разностного оператора P (5 1 ,5 2 ) выполнено условие b

| с в m | ~ ^Z l c a m I’                       (4)

| a=0, a*P то задача (2)-(3) имеет единственное решение.

Система уравнений (2)-(3) представляет собой бесконечную систему уравнений относительно переменных fx , у ), ( x , у ) е П . Важной особенностью этой системы является то, что каждое уравнение в ней зависит от конечного числа неизвестных. Известно (см. [6, лемма 6.3.7]), что такая система совместна тогда и только тогда, когда любая система из конечного числа этих уравнений совместна. Для исследования вопроса об условиях на оператор P (5 1 ,5 2 ), при выполнении которых задача (2)-(3) разрешима, прежде всего упорядочим уравнения этой системы так, чтобы число неизвестных в каждом следующем уравнении было больше или равно числу неизвестных в предыдущем.

Зафиксируем p такое, что p > m , и будем рассматривать прямоугольник П ^p = {( x , у ):0 < x < B , 0 < у < p }. Неизвестные будем нумеровать элементами множества П ^p и упорядочим это множество лексикографически. Уравнения будем нумеровать элементами двух множеств П ^p р = {( x , у ): 0 < x < B - b , 0 < у < p - m } и L^p р = П ^p \{(в, m ) + П ^p р }. Так как L^p р и {(р, m )+П ^p р } = = П ^p , то элементам множества L^p р присвоим те же «номера», с которыми они входят в множество П ^p , а элементам ( x , у ) множества П ^p р - те «номера», с которыми (р, m ) + ( x , у ) входят в П ^p .

Получим систему уравнений относительно неиз-вестных fx , у ), ( x , у ) е П ^p вида

P (5 1 ,5 2 ) f ( x , у ) = g ( x , у ), ( x , у ) е П ^p р ,           (5)

f ^x ’ у ) = ф^{( x} ’ у )’ ^{( x} ’ у ) ^е L р .              ⁽⁶⁾

Число уравнений #( L p р U П ^p р ) этой системы равно числу неизвестных #П ^p . Символ « U » означает дизъюнктное объединение.

Пример 1. Рассмотрим разностный оператор P (51,52) = c 2151252 + c 115152 + c 0152 + c 2q512 + c W51 + c 00, где m = 1, р = 1, b = 2. Пусть B = 3, p = 2, тогда система уравнений (5)-(6) примет вид c 21f(x+2,у +1) + c 1f(x +1,у +1) + c 01f(x,у +1) + c 2of(x+2,у) +

+c 1o f ( x +1, у ) + c 0o f ( x , у ) = g ( x , у ), ( x , у ) е П² 1 ,    (5а)

f ( x , у ) = ф( x , у ), ( x , у ) е L ² 1 ,              (6а)

относительно неизвестных у ( у 1 , у ₂), ( у 1 , у ₂) е П² = {(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (0,2),

(1,2), (2,2), (3,2)}. Уравнения (5а) нумеруются элементами множества П² 1 = { ( 0,0 ) , ( 1,0 ) , ( 0,1 ) , ( 1,1 ) } , а уравнения (6а) - элементами множества L ² 1 ={(0,0), (1,0),

(2,0), (3,0), (0,1) (3,1), (0,2), (3,2)}. Так как объединение L^p р U П ^p р дизъюнктное, то точки с координатами ( x , у ) и ( x , у ) считаются различными.

Возвращаясь к общему случаю, обозначим A p ,р определитель системы уравнений (5)-(6). Его порядок равен N = ( B +1)^( p +1) и состоит он из строк двух видов. В строках, соответствующих уравнениям (6), все элементы, кроме одного (равного 1), равны 0. Строки, соответствующие уравнениям (5), состоят из нулей и коэффициентов c ij разностного оператора P (6 1 ,6 2 ).

Пример 2. Для разностного оператора P (6 1 ,6₂), рассмотренного в примере 1, имеем

	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0
△ 2,1 =	c 00	c 10	c 20	0	c 01	c 11	c 21	0	0	0	0	0
	0	c 00	c 10	c 20	0	c 01	c 11	c 21	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
	0	0	0	0	c 00	c 10	c 20	0	c 01	C 11	c 21	0
	0	0	0	0	0	c 00	c 10	c 20	0	c 01	c 11	c 21
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1

Теорема 2. Задача (2)-(3) для всех ф( x , у ) и g ( x , у ) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда для всех p > m определители A p ,р ^ 0.

В определителях Ap,р, отвечающих за разрешимость задачи Коши, присутствуют все коэффициенты cij характеристического многочлена P(z,w). Оказалось, что разрешимость задачи (2)-(3) зависит в действительности только от коэффициентов много-b члена Pm (z) = Е Cimz'. i=0

Обозначим П q = {( x , у ): 0 < x < B, у = q }, q                     q qq

П р = {( x , У ): 0 <  x —в <  B-b , у = q }, L р = П \ П в .

Нетрудно видеть, что # П q + # L q = # П q .

Для q = 0, 1, ..., p обозначим D_q ,р миноры определителя A_p ,в , составленные из его строк, соответствующих уравнениям

P ⁽⁶ 1 , ⁶ ^ ) / ^{( x} , У ) = g ^{( x} , У ), ^{( x} , У ) е П q ,          ⁽⁷⁾

fx , у ) = ф( x , у ), ( x , у ) е L q ,              (8)

и столбцов, соответствующих неизвестным fx , у ), где q

( x , у ) е П .

Отметим, что в определителях Dq,р присутствуют b только коэффициенты многочлена Pm (z) = Е cimz', i=0

и порядок всех определителей D q ,р равен B +1, т. е. ширине полосы.

Пример 3. Для разностного оператора P (6 1 ,6₂), рассмотренного в примерах 1, 2, для q = 0, 1, 2 имеем

10 0 0 10  0  0 0 10 0 C 01   C11   c 21    0 D 0,1 = 0 0 10 , D 1,1 = D2,1 = 0    c 01   c 11   c 21 0 0 0 1 0    0    0    1 Связь между определителями Ap,р и Dp,р дается следующей леммой.

Лемма. Для всякого p справедливо равенство

Л — П p - m + 1

^Ap ,в = D m , р .

Доказательство . Будем последовательно преобразовывать определитель A_p ,р , пользуясь теоремой Лапласа (см., например, [7]).

На первом шаге ( q = 0) разложим определитель по

-— 0             ~ 0

строкам с «номерами» (x,у) е Пр и (x,у) е Lр. Таких строк будет B +1, и в них ненулевым (равным 1) является один элемент, который стоит на главной диагонали D0 ,в = 1.

Определитель, полученный из A_p ,р вычеркиванием этих строк и столбцов, соответствующих неизвестным f (0,0), f (1,0), f (2,0), ..., f(B ,0), обозначим A ¹ _p ,р . Очевидно, что A p ,в = D 0,p - A ¹ p ,р .

На втором шаге ( q = 1) разложим определитель 1                                                                                7¹

A _p ,в по строкам с «номерами» из множеств П р и L р .

Среди миноров порядка B+1 не содержит нулевой строки только определитель, составленный из столб- цов с «номерами» (x,у) е П , т. е. минор D1 ,р, поэтому A1 p,в = D 1,в •A2p,в, где определитель A2p,р получен из определителя Aгp,р вычеркиванием строк с «номера

— 1              ~ 1

ми» ( x , у ) е П р и ( x , у ) е L р и столбцов с «номерами»

( x , у ) еП .

Продолжая процедуру, на (q +1)-м шаге среди миноров порядка B +1 определителя Aq-1p,р, соответст- q вующих строкам с «номерами» из множеств Пр и L q , не содержит нулевой строки только определитель, составленный из столбцов с «номерами» (x, у) еП q, т. е. Dq р. Таким образом, Aqp,e = Dq ,в •A(q+1)p ,р.

Так как на последнем p -м шаге A^p_p ,в = D_p ,в , то A p ,в = D 0,в •D 1,в - D p ,р - Поскольку D с, _р = _ = D m _1, _р = 1, ^а D m ,р = D m +1,р = - - - = D p ,р , ^{то A}p ,р = D mp , р m + ¹ .

Пример 4. Для разностного оператора P (6 1 ,6₂), рассмотренного в примерах 1-3, в соответствии с леммой имеем A ₂ ,1 = D ₀ ,1 •D 1,1 •D ₂ ,1 = D \1 = = ⁽ c 11 •с 11 ^- c 01 • c 21 ⁾² •

Доказательство теоремы 2^ Пусть для всех p > m определитель A_p ,р + 0. Докажем, что при любом выборе ф( x , у ) и g ( x , у ) задача (5)-(6) имеет единственное решение. Доказательство состоит в последовательном решении систем линейных уравнений относительно неизвестных f ( x , у ). Определителем этой системы является A_p ,р + 0 •

На первом шаге берем p = m . Точки с координатами (0,0), (1,0), ..., ( B-b ,0) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами ( x , у ) е L^m р - в уравнение (6).

Получим систему уравнений с ленточной матрицей, определитель (порядка ( m +1)•( B +1)) которой имеет вид

	1	0 _	0	0	0	0   _	0	0
	0	1 .„	0	0	0	0   _	0	0
	0	0 _	1	0	0	0   _	0	0
	0	0 _	0	1	0	0   _	0	0
Л m , p =	0	0 _	0	0	1	• • •            • • • 0   •	0	0
	0	0 _	0	0	• c p- 1 m	c p m   • •	0	0
	0	0 _	0	0	0	0   •	c p m	c p+ 1 m
	0	0 _	0	0	0	0   •	0	1

Очевидным условием разрешимости этой системы является A m ,p Ф 0.

На втором шаге берем p = m + 1. Точки с координатами (0,0), (1,0), ..., ( B-b ,0), (0,1), (1,1), ..., ( B-b ,1) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами ( x , y ) G L^{m +|} в - в уравнение (6). Получим систему уравнений с определителем A_{m+ 1} ,p порядка ( m +2)-( B +1). Очевидным условием разрешимости системы является A m+ 1,p ф 0.

Продолжая процесс, на (p +1)-м шаге подставим в уравнение (5) точки с координатами (0,0), (1,0), ..., ( B - b ,0), ..., (0, p-m ) , (1, p-m ), ..., ( B-b , p-m ), а точки с координатами ( x , y ) G L^p p - в уравнение (6). Получим систему уравнений с определителем A_p ,p порядка ( p +1)'( B +1). Очевидным условием разрешимости системы является A_p ,p Ф 0.

Таким образом, условие «для всех p < m определители A_p ,p Ф 0» обеспечивает существование и единственность решения задачи (2)-(3) при произвольном выборе правой части g ( x , y ) и начальных данных Ф^{( x} , У )-

Покажем справедливость обратного утверждения.

Возьмем g(x , y ) = 0, ф( x , y ) = 0. По условию единственным решением может быть только тождественный нуль: fx , y ) = 0 для ( x , y ) G П p .

Далее действуем по схеме доказательства первой части.

На первом шаге (p = m ) точки с координатами (0,0), (1,0), ..., ( B-b ,0) подставляем в уравнение (5), а точки с координатами ( x , y ) g L^m p - в уравнение (6). Получим однородную систему линейных уравнений. Так как эта система имеет только тривиальное решение fx , y ) = 0, то определитель этой системы A m ,p не равен нулю.

Продолжая процесс и подставляя в уравнения (5), (6) все точки ( x , y ) G П _p , на p -м шаге получим однородную систему линейных уравнений с определителем A_p ,p . Эта система имеет по условию только тривиальное решение, поэтому A_p ,p Ф 0.

Из теоремы 2 и леммы 1 сразу следует теорема 3.

Теорема 3. Задача (2)-(3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда D_p ,p Ф 0 для всех p = 0, 1,...

Доказательство теоремы 1. У определителя A_p ,p на главной диагонали стоят единицы и выделенный коэффициент c p _m . Согласно лемме 1 имеем A_p ,p = = D ₀ ,p •D ₁ ,p ••• D_p ,p , где D j ,p - главные миноры определителя A p ,p порядка B +1. Определители D j ,p зависят только от коэффициентов многочлена b

P m ( ^ ) = ^ c _imz* . Если выполнено условие (4), то D j ,p i = 0

являются определителями матриц с диагональным преобладанием (говорят, что квадратная матрица A = |aj| обладает свойством диагонального преобладания, если |a1V| > ^|aj|, i = 1, 2, .., причем хотя бы j * i одно неравенство является строгим), поэтому Dj,p Ф 0 (см., например, [8]). По теореме 3 задача (6)-(7) имеет единственное решение.

В качестве примера применения полученных результатов рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопроводности [9]:

д и д2 и , — = —у,t > 0,0 < x < l, д t дx2

u (0, t ) = u₁ ( t ), u (l, t ) = u ₂ ( t ), u ( x ,0) = u ₀( x )

и ее аппроксимацию разностной шеститочечной параметрической схемой вида

m +1      m         m +1        m +1 ,    m +1

^ui    ^{- u}i = _G ^ui + 1 ^{- 2 u}i    ^{+ u}i - 1

т                     h ²

+(1 n'l

mmm ui+1   2 ui + ui-1

h"

, i = 1, 2,

..., N - 1,

u^m 0 = u 1 ( t m ), u^m N = u 2 ( t m ), u°_t = u 0 < x₄ ), m = 0,1 ^, (10)

где 0 < о < 1 - произвольный вещественный параметр

схемы.

Рассмотрим чисто неявную схему, т. е.

Тогда

m +1 ^ui

-

т

тогда

запишется

в

о

виде

u_i ^m

= u i +1

m +1 ^ui

-

2 u m ^{+ 1} + u m + h h

. Обозначим

т

^Y = h ²,

1 + 2у

u i^m

Y

1 + 2у

^ui +1

-^— um + ¹ = 0. 1 + 2 y i ^{- 1}

Если обозначить a = -

Y

1 + 2y’

то в обозначениях дан-

ной работы разностный оператор будет иметь вид P (5₁,5₂) = a 5₂ + 3& + a 8^8 2 + (2 a -1)8₁, где c ₀₁ = c ₂₁ = a , c 11 = 1.

Если переобозначить u^m i = f ( i , m ), то задача (9)-(10) для этой схемы примет вид

P (8 1 ,8 2 ) fx , y ) = 0, 0 < x < N-1 , y = 0, 1,..,

Г    f (0, y ), y = 0, 1, ..,

ф ( x , y ) = ^    f ( N , y ), y = 0, 1, ..,

[ f ( x ,0), x = 1, 2, .., N - 1.

Так как 2|a| <  1, то выполнено условие диагонального преобладания (4) теоремы 1, следовательно, задача (10)–(11) имеет единственное решение.