Регуляризация некорректных математических моделей в задачах оценивания студентов

В статье рассматривается задача оценивания знаний студентов, ч -торую мь; предлагаем моделировать операторным уравнениеч первого рода:

и.

определенным в пространстве ьст.р), здесь т - мнеж-г. г:?■ контролируемых учебны элементов, причем о правей '-.длти и со операторе а известны лишь приближенные данные си,, то и сд ,то, /хи₆.б)<б. (Кд .nDS??. Оператор a:L₂ct.p> - l_z моделируй г операцию контроля знаний, в уравнении сто функция й: г то моделирует контролируемые знания, я функция u: тто является результатом контроля знаний.

Контролируемые знания могут быть представлены /I/, /2/, / 3/ в виде логической, продукционной моделей, фреймов и семантической сети. Логическая модель представления знавпи /Т/ более удобна для постановки и доказательства теорем. Фреймы лучше всего использовать тогда, когда нет достаточно точш.Ф априорной информации, так как в построении Фреймов используются слоты, при помогай которых можно расширить получаемую и^тфоцмацию ? предмете. Семантические сети показывают’ взаимосвязь элы*#нтоз предмета. Положигельным в продукционной модели представления знаний является простота ее построения и возможность легк_;

сосчитать элементы этой модели. С помощью нее мы мощем представить любой учебный элемент. И таким образом, поставить учебному элементу в соответствие число, что позволит знания смоделировать в виде точек гильбертова пространства l .:t,pd. Например, продукционная модель понятая "Образ множества" изображается следующим образом /рис.1/.

Г 1 у fc AD

- образ множества ^

Рис.I.

Здесь з), 4D, od, 6D - база данных; го условная часть, соответствующая значению "Если в правиле: id - заключительная часть, соответствующая значению" ... то” в правиле. Число асю=в. Оно вычисляется по числу различных элементов модели.

Моделью контролирующей операции является линейный интегральный оператор

CA2DCLD = JVCt.sDZCsDCdpDCsD. teT, где т - множество с конечное} всех учебных элементов по теме; теГ2ст.де; р. таго. +а>з - поточечная мера важности учебных элементов; ц- pctd-ho.+oH - мера важности учебного материала с равна продолжению по аддитивности меры Го ; к = т*т-.к - функция, характеризующая взаимосвязь учебных элементов три контроле, - коэффициент использования учебного элемента зет при нончр. э учебного элемента свт; z= t-»r ~ функция, моделируюшая чонтупчирудмые знания обучаемых с или полные эталонные знания); seo - знание учебнгго элемента t=T; число ас о в нашей модели равно числу различных продукций в продукционной модели представления знаний. Пусть, например, дано множестве 1л|ч} учебны элементов и п=з. Здесь t - лемма Цорна, t - цепь, i -частично упорядоченное множество. Введем поточечную мэру в юности учебных элементов м- т-к. Для каждого класса учебны;: элементов она определяется неодинаково с зависит от важности учебного элемента). Так, мера какого либо зспомогадельдл о определения может быть равна I. Например, >ло=4. Мера же основного определения может быть равна двум. Например, теоремы тоже можно различать по важности и их меры могут достигать числа 30. Например, >Kt )=is. Мера основного примела но геме может равняться 3. Меры же основных практических навыкор могут достигать числа 20.

Определим k: i*t-.r - функцию взаимосвязи учебных элементов .ли контроле; ke.s) - коэффициент использования учебного элемента s«r при контроле учебного элемента ь«=т, По всей видимости, этот коэффициент будет меньше   при   контроле

-.■пре делений и больше при контроле теорем и практических навыкеь. глтпимер, пусть контролируемый учебный элемент t? - лемма Нри формулировке этой леммы используются учебные элементы t ,, р,, псэтому ■<

Для учебного элемента t продукционная модель представлена рис.2.

Число act )=и. Аналогичным образом можно построить ч чоукпиенную модель для любого t ет С1=Пы) и опдеделить его сложность.

Рис.г.

Таким образом, для нашего примера мы получаем модель контролирующей операции:

CAaOCt) = V Ht .s^sXdtDCs), LeT   C 3Z> где оператор a: мл^ылт.д

Практический способ решения некорректных задач представляют регу.тирующие алгоритмы /4/. Для решения операторного уравнения первого рода можно построить регуляризующий алгоритм при помощи аппроксимирующего семейства, которое ищется в виде /4/:

R = УСА А, а) А*, аеСО.а

С 4)

где

+ ГО еСА*А, а) = J<9C х, a) dXC 2D .

-ЛО

Семейство r_ аппроксимирует отображение g на множестве о :

iim HR„U " Gul! = ° vMeD„'

где g - однозначная зетвь многозначного отсЗражедия о = д\ d =i т< д:>, gu э gu - нормальное решение уравнения с '. Отображение G: i«acl ст.ро*:. гт.а,) можно считать магаматтчеехо^ моделью задачи контроля знаний. В случае т)-з регуляризап.л некорректной математической модели g можно гл уцествить г формуле А.Н.Тихонова R₆= cat+abax^a*. асв?>о парль- г регуляризации св нашем случае а=б:>. Регуляризованное заатлл г_А=к₆и₆ является оценкой истинных знаний студентов и стремится к истинным знаниям при 6*0.

Литератора

’ Х.Уэно, Т.Кояма и др. Представление и использование1 оланий М:Мир, 1989.

а. С.Осуга, Ю.Саэки и др. Приобретение знаний, М.*Мир> 1990,

• з.    Воронов Ю.П. Компьтеризэиия: шы; в буду пре. Новосибирск; неука, 1990.

• 4.    Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные метидь* регения некорректных задач. М.: Наука, *989.

.Пермский государстылшый универсигет