Регуляризация обратно-нелокальной задачи с оператором гиперболического типа, вырождающаяся в неклассическое уравнение Вольтерра первого рода

в ограниченной области применяются функция Грина и МР в введенных пространствах и т.д.

В данной работе изучается ОЗ с оператором Даламбера в неограниченной области, где вырождается ИУВФ-1 (Вольтерра Фредгольма), причем регуляризирующие алгоритмы построены в пространстве Банаха, на основе варианта метода системной регуляризации [7].

С этой целью, рассматривается ОЗ:

3лU = Ka(x)(Ju)(t) + ^(U + Ut - 40Uu„, . (D„ = [0,T] X R),

U'!\_ = = p/x), (j = (0,1)), p e C 3 (R),

(Ut - Uuu,Lr = ^U). Vt e[0.T], x= x0

tT

(Ju)(t) ≡ ∫K(t,s)γ(s)u(s)ds +µ∫K (t,s)γ(s)u(s)ds,(u(0) = 0),

(3) где

(а)

при этом требуется найти векторную функцию

ф = (U, u (t))

когда

0 < Uo ^ ao

= const < ∞

– фиксированный параметр. Здесь

Л , « о , ^ 0 , v, v , Y , K, % , & , K i

—

и

известные данные, а

^v 0  оператор Даламбера, причем:

<

п - д2 _ д2

v ₀ ~дt^{2   V o} д X²’

^ (t) e C 1 [0’T Ij С² (R),(j = 0,1),

|A = const\ <  1;0 <  K₀(x) e C(R): K₀(x₀) * 0

(б)

<

L (0, T ) э y D t ) >  0, p = J Y Ds ) ds , D v = const ),

C⁰⁴ DD, ) э KDt , s ), K Dt , s) : KDt , t ) ^ 0, V t e [0, T ]; K 1 _1=T = 0, Ks Dt , s )D KDt , t )) ^{— 1} = K 0 D t , s ); k i _s Dt , s )D k Dt , t )) ^{— 1} = k 2D t , s ),

D, = { D t , s ):0 <  s <  t <  T } .

(в)

R                                                    W2 cD D ):

В указанных условиях исходная задача исследуется в пространстве ^{2 C о}

I W 2.c (D 0 ) = U U d o ) +1 M e [ 0T ] ’ Ф = (^U’«»>

1 C2₁D^, = 3 UX/' U+SI UAL.,

.

1. Трансформации исходной задачи к интегральному виду (ИВ).

С этой целью, воспользуемся преобразованием вида:

U_t - J U^U _X = ^ 0 ^{(x) + V(t}’^x)’ , ^ 0 ^(x) = ^ 1 ^(x) - 4м Х₀х ^Хх)’

V(0’ x) = 0, V x e R,

V(t,x 0 ) = ^ (t) — ^ 0 (x 0 ) ^ ^ 0 (t),(^(t) e C¹ [0’T ]) .

То имеем:

U = VU + lw ) x^x + JY.(l - s'' + V(s.x + 4P( t - s''}ds ■ 0

= P/x + 4й) ) + BV.

t

^U _t = J / J pop ^(x + 4й) ) + ^ 0 ^{(x) + V(t}’^x) + J ^{ 4 0 ^ 0^ 0 p ^(x + J^o -s'' ⁺ '                                                                                          0

+ ^oVpis.x + J ((t - s''^} ds.

t

^U x = x p₀^{(x +} 4й) ) ⁺J К p (^{x +} Jutt -^{s)) +} V p (^s’^{x +} JJ(¹ -^s''}d^s.

p = ^x + Ju^— - s'; P 0 = ^{x +} J t PPx = 1; p _t = JJ> причем (*) удовлетворяет (4).

В самом деле, учитывая (*) и подставляя в t   °^ ^x , имеем:

t

ut - JUUX = 4м>оРо(x + 00^)) + Wo(x) + V(t,x) + J{J^Wop(x + ^/((t -s)) +

t

+4°ovp( s,x+J0^( t - s))} ds - °(( ^ор(x+4й+)+J ^0P( x+J^tt-s))+

+ V _p (s,x + /^( t - s))} ds) = w ₀(x) + V(t,x).

Что и требовалось показать (ЧиТД).

Поэтому уравнение (1), с учетом (4) преобразуется к виду

V + OvK = K(x)Z(t) + Z [ ^ ₀(x + J^t) + BV + v ₀(x) + V(t,x)) ] ² + O (x), < ^V(0,x) = ⁰; 0 ^{( x) -} - 4°^ 0x ^{( x)}

Z(t) - (Ju)(t).

Отсюда следует

V = J {K(x - /((t - s))Z(s) + X[V0(x - OZtt - s) + 0^) +

+ (BV)(s,x - / (( t - s)) + ^ ₀(x - 0t(t - s)) + V(s,x - / (( t - s)) ] ² +

+O (x - / (( t - s))} ds - (H 0 [Z , V ] +(t,x+,

где

V t = K(x+Z(t+ + Z [ ^ 0 (x) + BV + ^(x) + V(t, x) ] ² + 0 (x) + J { - / K _P (^x - 0

• - V / 0 ^{(t - s++Z} ( ^{s+ + 2} ^ ^[ ^ , ^{(x -} ^Bot - ^{- s) +} d/W) ⁺ ( ^BV)^{(s,x -} °Во(- ^{- s)) + +}^ 0 ^{(x -} /Вов ^{- s)) + V}(^{s,x -} /B₀(t ^{- s)) ]} x ^{[ -} J i t^d- ^- /Bo( t ^{- s) +} /BoX ^-

• - ^BXfBVX^x-°Bo(--)+++P -J^VoX--^((t-s))- JVV/x--

• ^- ^BXt - s)+] - °°0Xx - °вХ-- s^)} ds,

V x = J { K _p (x - / (( t - s))Z(s+ + 2 X [_Vo(x - / (( t - s) + /в») ) + (BV)(s,x -

• ^-    4° o ^{(t - s)) +} ^ o (^{x -} °Во( - ^{- s)) + V(s,x -} °В Х - ^{- s)+] x} № o _P ^{(x -} °В Х - ^{- s) +} J o s) ) ^{+ +} (^(BV)(^{s,x -} °вХ - ^{- s+)+} _p + ^ o _P (^{x -} °В₀( - ^{- )}+^{+ + V} _P ^{(s,x -} °ВХ - ^{- s)+]+}

• ^{+ o}X^{x -} °вХ - ^{- s)) }} ds

  В результате для новой неизвестной функции

  
  

  вого порядка (6), причем, здесь и функция

  
  

  Z X)

  
  

  ^V получим ИДУ в частных производных пер-является неизвестным. Следовательно, чтобы

  
  

  определить эту функцию воспользуемся условием (3), т.е. имеем

  
  

v ₀(t) = j { K(x₀ - 0 04( 1 - s))Z()) + Xo ix - 0 0 4( 1 - s) + 004) ) + (BV^s,X o - 0

• - Jpjt ^- s)) ⁺ ^ o ⁽X o ^- J^O - s)) ^{+ V(}s,X o - J jut t ^- s))]² + 0 ⁽X o ^- J jut t - s^))}ds,

или взяв частный производный по t , получим

( ^ o (t))' = K(X o )Z(t) + A [ ? o (X o + ( 0 t) _l + (BV)(t,X o ) + W o (x_o) + V(t,X o ) ] ² +

t

+B(Xo) + j{- 40KKpXxo -004(--s))f(s) + 22[^o(Xo - 004(--s) + Joss) + o

^{+ (BV})⁽s,X o ^- 4 04( - ^- s)) + ^ o ⁽X o ^- 4^( - ^- s)) + ^V(s,X o ^- ^ (( t ^- s^))] X ^{x [ -} 4й <Р о p ^(xo ^- J^t - ^{- s) +} 4 0 s) ) ^- 4 04((^VV+^ss>x ₀ ^- Jut t ^- s)))_p ^-- J^ o V op ^(X o ^- 4 0 4^-s))-4VV_p^ss,Xo^-4й(t^-s))]-404³_P(^Xo^-40(0(t^-s))}ds.

Так как

' K(X o ) ^ 0,

(BV)(t,X) = j V0(x + 004(- - s)) + V(s,x + 004(- - s))} ds,

t

^(BV) x ^E f Vo p ⁽x ⁺ ^ (( t ^- sX) + ^V _p ⁽s^,x + 4 04(1: ^- s^))} ds, ⁰

V_X(t,x) = W(t,x), V (t,x) e D_o,

W = j { K/x - ^(t - s))Z(s) + 2P_I^C^ - ^(t - s) + ps,)) + "

+(BV)(s,x-0li„(i-s)) + Vo(x-0Po(t-s)) + V(s,x-0o(o(t-s))]X x^, p(x - 40(4- - s)+404)++j Vo p(x - 404(- - s)+404s- - s'))+ 0

+WV' ,x - 404(- ^- s) + 404s- ^- s'^{))} d}s '+v₀ p ⁽x - 404(- ^- s)+ + + WS),x - 4 0 4 (t - s))] + 0 p (x - 4 0 4(- - s))}ds ^ (H [Z , V, W ] )(t,x), ^ p = x - 4 0 4(- - s) + 44s- - s'); p = x - 440(- - s).

То из (3.7) следует

Z(t) = (K(xo)-1 {(0,(1)/-№e(x„ + 4^1+ + (BV)(t,x,) + v„(x„+ + V(t,Xo)]2 - t

• -O (x_o) - j { - J 0 K k _p (x₀ - 0((t- s))Z(s) + 2 A [ ^ ₀(x₀ - ^0^(t - s) + J s) + + 0

• ^{+ (BV)(s,X} 0 ^- J ^oC - ^{- s))} + W o ^(x o ^- 4^( - ^{- s))} + V^(s,X 0 ^- ^ (( t ^{- s))} ] X

s

• ^{X [ -} 4> < P o _p ^(x o ^- J f^ t ^- s) + J o s) ) ^- J^ j ^{ O o p^(xo ^- J^ t t ^{- s) +} J ok s - ^{- s}')) ⁺

• ^{+ W(}S 'j 0g ^- J j (( t ^- S) + ^ Idgs S ^- S ' ))} dS ' ^- J^ OP _p(^X 0 - Л (( - - S) -

• - 4^W(S,x 0 - ^(t - s)) ] - f)_oO_p x^x o - f 0‘t - - S))}dS } = (H [Z , V, W ] )(t).

  
  
  
  

Поэтому объединяя (6), (8) и (9) получим

V = (Ho [Z ,V ] )(t,x),

H,(i = 0,1,2) носительно операторов i       ’ ’ ⁷:

H^LH< d,(d < 1), (i = 0,1,2),

±LH^ d < 1,

Hi : Sr(0) > Sr(0) = {Z,V,W:\Z\,\V\,W\ < r, V(t, x) e Do}, система (10) разрешима в

Пикара [10]:

C ( Do)

, причем решение этого уравнения можем найти методом

V+1 = (Ho [Z _n,V_n ] )(t,x),

Wn+1 = (H1 [Z _n,V_n,W_n ] )(t,x),

Zn+1 = (H2 [Z n,Vn,Wn ] )(t), n = 0,1,...; Z0 = O,Vo = O,Wo = 0,

En+1 = Vn+1 - ^V\\_C +1W+1 - WC +1 Zn+1 - ^Z\\c,

Eo = VIC +| WC +| IZIC,

En+, < dE <... < dn+E

• n+1       n                 0    n ^®

Zn+,-------->Z(t), vn+,--------> V(t,x), Wn+,--------> W(t,x), V(t,x) e Dn.

• n+1     n >M       '       n+1     n >M       ' ’        n +1     n ^M        \           \      /       0      /1 <Л\

То, что сказано, возможно, так как ^ можно выбрать таким образом, чтобы выполнялись относительно операторов условия ПБ, т.е. когда указан-

Hi,( i = 0,1,2)

ные операторы являются сжимающими и отображают области определения в себя. А это означает что система (10) разрешима.

Далее, подставляя функцию V = V в (*) имеем

t

U = ф₀ (x + ^f₀1) + j ^₀ (x + ^( (t - s)) + V(s,x + ^() (t - s ))}ds = Y(t,x), ⁰                                                                (13)

где Y⁽t’ x)   известная функция. При этом, если относительно функции Y⁽t^,x) требуем

Y e C²’²(D„)    .        U e C^2J(D„) _Л        Z(t) e C¹[0,T]

0 , то функция          0 . А так как               , то учитывая норму простран- ства

W2c(D₀) = {ф⁰ = (U,Z) :U e C²²(D₀),Z e C[0,T] }

, получим

<

I ^1w,,,D0„=i ^(.0,.^ ^ZlcUT^ ^M0'

II U|U,D0, =gUn,D,+llUt7'U^SM‘= const, |Z|C[0T, < M2 = const,(M, + M2 = Mo; Ф = (U;Z)).

Лемма 1. В условиях (б,(2), (3), (5), (11)) и (15) однозначна существует векторная функция Ф⁰e W₂c(Do).

Ф0 e W^Dj.t,

Замечание 1. В условиях леммы 1 получили векторную функцию      2 C 0 Но по усло- л                 ~       . Ф = (U,u) e W2C(D0).^n    _  _ вию исходной ОЗ должны найти функцию            2 C 0 Поэтому и в следующем пунк те исследуем ИУ, которое следует, с учетом (а,(5)).

• 2.    Решение ИУВФ-1. Пусть выполяются условия леммы 1. Тогда, на основе (а,(5)) имеем:

tT

Ju = j K (t, s Y( s ) u ( s ) ds + ^j K (t, s Y( s )u ( s ) ds = f₀ (t),

где известные функции удовлетворяют условия (в), причем

[ C [0, T ] э f,(t) = Z (t),

[ F( t) = f,(t)(K (t, t))^-1, u (0) = 0.

В указанных условиях требуется доказать регуляризируемости ИУ (16) в пространстве Банаха.

• А) Чтобы ответить поставленный вопрос, сперва ИУ (16) преобразуем к виду:

  z (t) = Gz’

  f K₀(t, s)z(s)ds + ^ K₂(t, s)z(s)ds ^ (G_oz)(t), о                             ⁰

  • < Go z + F ^ Gz,

  f /(s) u (s) ds = z (t),( z (0) = 0, u (0) = 0),

  [IK0I < T0,|K2I < T, V(t,s) € D0.

  
  
  
  

  Отсюда видно, что первое ИУ этой системы является ИУ-2, причем при условиях:

  
  

  ' L0 = (T0 + H T)t< 1,

  • : S_r (0) ^ S(0),

  ,S- = {z :| z< r, Vt € [0,T]},

  
  
  
  

  можем сформулировать лемму:

  Лемма 2. В условиях (17),(19) и

  
  

  IF - F_s\< A^(J), Vt € [0,T],

  
  
  
  

  первое ИУВФ-2 системы (18) однозначно разрешимо в C^{[0, T ]}, причем решение данного ИУ строится методом Пикара (МП): z„+1= Gz„,(n = 0,1,...),       z_n = 0

  ^{n+1      n} ’^v     ’ ’     где ⁰      - начальное

  приближение, и это решение устойчиво отно-

  F (t)

  сительно функции      в указанном про

  странстве.

  
  

  Доказательство. В самом деле, первый часть леммы 2 очевидно, на основе теории ИУ-2, где допускаются условия принципа Банаха. Далее, учитывая МП и выводы этого метода относительно ИУ-2, имеем, что построенные последовательности функции jzi:

  ¹ n’⁰ сходящейся и фундаментально, причем, начиная, с некоторого номера в рассматриваемой области получим:

  
  

  ^limzn

  n ^:

  
  

  = z, Vt € [0’ T]

  .

  
  
  
  

Далее, при условии (19) оценивая ИУ, т.е. имеем z  G0z + F1, z8 = G0 z8 + F1S,

Jz-z_s\< (1 -L0)^-1 &(£) = A0^), Vt € [0,T].

Значит, из (22) следует устойчивости решение указанного ИУ-2 [1]. Устойчивость решения ИУВФ-2 относительно свободной

F (t)

функции 1 v 7 означает, что при малых возмущениях этой функции и мало возмущается само решение ИУ (устойчивость понимается непрерывной зависимости решение от свободной функции). ЧиТД.

Б) Далее, исследуем второе ИУ системы

• (18)    на основе метода МР.

Для этого, требуя, что имеет место условия леммы 2, получим ИУ-1:

с условиями

t

J Y( 5 ) u (s ) ds = z (t),

Lu(0)= 0

' C>, T] э z: z(0) = 0,

J^z(t) - ^z(s)| < L1 ^ф(t) - H^s)|, Vt € ^[0,T^].

<

Поэтому, учитывая малые параметры, имеем ИУ:

t dus + J /(s) us (s) ds = zs (t),

I                 ⁰

J u_s (0) = 0, z_s (0) = 0.

Тогда, на основе теории резольветы (25) эквивалентно преобразуется к ИУ

1 t              i                                                         1                    1

us(t) = -ТУ Ыs)exP(-T(фt)-Ф(s)))[z8(s)-z(t)]ds + Tz8St)exP(-N^t)) 0*0                               о            о

Отсюда имеем оценку

It..

I^us^(t)<| JI J Y^(s)e^P^(--(tft)^-Ф⁽s⁾)^)[Z8^Ss)^{- z(s)}+ ^{z(s) - z(t)]ds} | +

+1 zs(t) - z(t) | + | z(t) \xpp( - - rft)) |< 2 4° + 2L < No, V t € [0,T], о                            оо

4^0.

т.е:

||us(t)\Сс < No.

_n                u/t) = u(t) + &(t), Vt € C[0,T],

Далее, с учетом:   ^о' ⁷   > / ^м          l > j> получим

Где

^(S,u) = -1 Jy(s)exp(-^(ф(t)-ф(s W|u(t)-u(s)]ds -u(t)exp(-1 ^(t)).

⁰0          ^{0                                     0}       (29)

Поэтому, с учетом (29) из оценки (28) следует:

I f.| C < 2 ^ + 1 I^MIc  ' 1^.) -^ 0,(    -^ 0)

д                                d

‘ \\((3,U)\\_C< 3HC exp(-—) + Wu(f ) = Qo(d),(0 < в< I), sup \u(ф-¹ (t)) - и(ф" 1(s)) = w_u(d^e)(модуль непрерывности).

В итоге, из полученных результатов следуют:

Лемма 3. При условиях леммы 2 и (24), и (30) допустимая погрешность между решениями

“                       O(Д(д))  C[0,T ].

уравнений (23), (25) будет порядка    ¹     в

Теорема 1. Если выполняются условия лемм 1-3, то ОЗ (1)-(3) регуляризируема в

W2,C(D0)

, причем:

IIФ11 , .

^{11    11} W2,C ( Do)

IC²²(D₀) ⁺ Ilullc[0,T] < ^N*^,

Ic[o,t] < М^3.

Заключение

В работе изучена ОЗ гиперболического типа, вырождающаяся в ИУВФ-1 с ядром специального типа. При этом доказаны вопросы однозначной разрешимости и регуляризируемости исследуемой задачи в пространстве Банаха. Полученные результаты регуляризации ИУВФ-1 могут применены и условно-корректным ИУВФ-1.