Регуляризация вырожденного оператора Шредингера и минимизация семейства полунорм

В настоящей работе изучается влияние вырождения характеристической формы гамильтониана. L квантовой системы на некотором подмножестве

координатного пространства, па. корректность задачи Коши для уравнения Шредингера:

i dt u ( t ) = L u ( t ) , t> 0 . (1)

u (+0) = u о , u о € H. (2) Здесь L — линейный дифференциальный оператор второго порядка, с неотрицательной характеристической формой в гильбертовом пространстве H = L2 (R). Нарушение корректности задачи Коши проявляется в том, что оператор Шредингера L с вырожденной характеристической формой является симметрическим, по не самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве H с нетривиальными и различными конечными индексами дефекта n± = dim(Ker(L ± i I)). Это приводит к разложению гильбертова, пространства, начальных данных H в ортогональную сумму под

пространства. корректности и подпространства, некорректности задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Шредингера. (1), (2) с вырожденным гамильтонианом L, заданным дифференциальным выражением

L u ( x ) = ^d ( g ( x ) ^d u + i a ( x ) u ) + i a ( x ) ^d u OX dx 2        2 dx

на области

определения:

D (L) = | u

€ W 2¹ : u | r.

€ W 22 (R - ) ,

(g ^{( x} ) lx ⁺ 2 a ^{( x} ) ^u)^{€ W 1 ( R )} У

Здесь и далее R _- = ( —те , 0). R+ = (0 , + те ). Согласование метода, квазирешепий (см. [1]) и метода, эллиптической регуляризации (см. [2]) исследова

ния задачи Коши (1), (2) рассмотрим на. модельной задаче с вырожденным на. полупрямой гамильтонианом, в котором функции g ( x ) и a ( x ) заданы равенствами g ( x ) = 9 ( — x ), a ( x ) = a9 ( x ), г де a € R и 9 ( x ) — функция Ховисайда. Оператор L является плотно определенным замкнутым симметрическим оператором с индексами дефекта. (1,0) при a <  0. (0.0) при a = 0 и (0.1) при a >  0 (см. [4]).

Под регуляризацией вырождающегося линейного дифференциального оператора, второго порядка. понимается такая последовательность операторов второго (или более высокого) порядка, каждый член которой является равномерно эллиптическим самосопряженным оператором в пространстве H, и такая, что последовательность характеристических форм (символов) регуляризованных операторов сходится к характеристической форме вырожденного оператора, равномерно па. каждом компакте. В работах [3], [4], [5] исследовано поведение последовательности решений регуляризованных задач и получены необходимые и достаточные условия ее сходимости (или компактности) в сильной и в слабой топологиях пространства. H.

С другой стороны, существует подход к определению квазирешепий некорректно поставленных задач вида. A x = f (где x — неизвестный, a f — заданный вектор некоторого банахова, пространства X, a A — линейный оператор в пространстве X ), связанный с минимизацией функционалов невязки — функционалов, измеряющих отклонение от нуля величии A x — f по всем допустимым значениям x € D (A). Задача Коши с вырожденным гамильтонианом может быть различными способами представлена в виде уравнения A x = f в различных банаховых пространствах. От ука-

"Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ .№ 09-01-265 и .№ 10-01-395, при поддержке АВЦП РНПВШ проект .№ 2.1.1/11133 и при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы.

занного произвола, в выборе функционала, невязки зависит как поведение минимизирующей последовательности (сходимость, компактность), так и ее предельная точка, (если существует) (см. [6], [7]).

В связи с указанными свойствами последовательностей решений регуляризованных задач и минимизирующих последовательностей функционалов невязки возникает задача, согласовать метод невязки и метод аппроксимаций в следующем смысле. Связать выбор последовательности регуляризованных операторов задачи Коши, аппроксимирующих вырожденный, с выбором функционала. невязки так, чтобы последовательность регуляризованных решений и минимизирующая последовательность функционала, невязки имели общий предел.

I.    Постановка задачи Коши. Условия корректной разрешимости

Оператор L, заданный равенством (3) на области определения (4) является плотно определенным замкнутым симметрическим оператором в пространстве H. Это позволяет превратить его область определения D (L) в гильбертово пространство, наделенное нормой графика оператора L. Оператор L не самосопряжен и его сопряженный оператор L * имеет более широкую область определения D (L * ) (см. [3]).

Определение 1. Решением (сильным) задачи (1), (2) назовем функцию u ( t, x ) е е C (R+ , D ( l )) nC 1(R+ , L ₂ (R)), которая удовлетворяет уравнению (1) почти всюду на R+ х R и условию (2) в том смысле, что ||u ( t, x ) — u ₀( x ) ||ь ₂,R) ^ 0 при t ^ +0.

Функцию u(t,x) е C(R+ ,L2(R)) назовем обобщенным решением задачи (1), (2), если существует последовательность начальных условий {uqn(x)}. lim ||uqn(x) — uq(x)||L2(r) = 0 такая. n→∞ что при каждом n е N существует решение un(t,x) задачи (1), (2) с начальными данными uon(x) и выполняется условие lim ||un(t,x) — — u (t,x ) «С

Заметим, что если u(t,x) есть обобщенное решение задачи (1), (2), то тогда lim ||u(t,x) — ' '     ' '                 '' t^+q

— uq(x)||ь₂(.) = 0. Действ!гтельно. u(t,x) — u₀(x) = = u(t, x) — un (t, x) + un (t, x) — uq,n (x) + uq,n (x) — — u_q(x), откуда следует требуемое утверждение.

Из определения 1 вытекает, что обобщенное решение u(t, x) задачи (1), (2) удовлетворяет интегральному тождеству

T

г э

i / ((idtv(t) + L*v(t)),u(t)) dt =

q

= (v(T),u(T)) — (v(0),u(0)) VT> 0 (5) при любом выборе v(t,x) е C(R+, D(L*)) П П C1 (R+ ,L2(R)). где через, v(t) ii u(T) обозна чены функции v(t, x) и u(T, x) как элементы пространства. L2 (R) - а через (u(T), v (T)) — их скалярное произведение в указанном пространстве.

В работе [3] доказана, приведенная ниже теорема 1 о том, что пространство H разлагается в прямую ортогональную сумму двух подпространств Hо 11 H 1. причем для любого uq е Hо задача. Коши имеет единственное решение со значениями в H₀, а при любом u₀е H 1 решения задачи Коши не существует.

Теорема 1. При a 6 0 оператор —iL является генератором изометрической полугруппы Ul(t) = = e-iLt, t > 0, в простраистве H и задача Коши имеет единственное решение UL(t)u0. Если же a > 0, то оператор iL генерирует изометрическую полугруппу U-L(t) = eiLt. t > 0. в пространстве H, сопряженная к которой является сжимающей полугруппой (U-l(t))* = e-iL t, t > 0, с генератором —iL*. Задача Коши в этом случае имеет решение тогда, и только тогда, когда, вектор начальных данных uо лежит в подпространстве Hq = Q Im(U-l(t)). Е<:-ли uq е H0. то решение t> о единственно, и u(t) = UL* (t)u0.                  □

II.    Аппроксимационный подход. О понятии регуляризации

Различные определения регуляризации некорректных краевых задач изучались в работах [8], [9]. Следуя подходу указанных работ, мы дадим следующее определение регуляризации задачи Коши (1), (2).

Наряду с задачей (1), (2) с вырожденным оператором рассмотрим семейство регуляризованных задач Коши (2), (3), аппроксимирующих задачу (1). (2) при n ^ го:

i dt u(t) = Lnu(t), t > 0, n е N. (C)

Определение 2. Будем называть последовательность линейных операторов L_n, n е N, действующих в гильбертовом пространстве H, самосоп-ряснсенной (максимальной симметрической) регуляризацией порядка q е N вырождающегося оператора L, если выполнены условия:

• 1R) для любого n е N опоратор L_n является самосопряженным (максимальным симметрическим) оператором в пространстве H, гене

рирующим полугруппу изометрических операторов e^-iLnt. t > 0:

2R) линейное многообразие

Dq = D (Lq) n

(\ D (Ln)) n∈N

плотно в пространстве H;

• 3R) lim ||(L_n— L)u^H = 0 для лтобого u е Dq; n→∞

• 4R) для любого n е N существует линейный оператор Q_n в гильбертово!i пространстве H с областью определения D(Q_n) = D(Lq^-1),

который отображает линейное многообразие D(Lq) С D(Qn) в гильбертово пространство D(Ln), при этом последовательность операторов {Qn} такова, что существует бесконечно малая последовательность положительных чисел {6n}, удовлетворяющая при любых u е D (Lq) 11 n е N неравенству k Qnu-ukH + IILnQnu-QnLukH 6 ^nkukD(Lq).

Замечание. Если оператор L имеет максимальную симметрическую (самосопряженную) регуляризацию {L_n}, то его график лежит в сильном граф-пределе (см. [10], гл. 8) последовательности { Ln}-

Примеры самосопряженных регуляризаций вырожденного дифференциального оператора, в гильбертовом пространстве приведены в работах [3], [4], [11]. В качестве примера, регуляризации оператора L задачи Коши (1) - (4) мы приведем последовательность операторов {L_е, е е E}, задаваемых в пространстве H = L₂ (R) равенством

L_eu(х) =

= д(дЕ (x) ^u + ia(x)u) + ia(x) ^u (7) OX      OX 2         2 OX па области определения

D(Le) = |u е W1 : u|R_±е W2 (R_±),

(ge (X) dx + 2 a (X) u) е W2¹(R)}.

Здесь g(x) = g(x) + е, е е (0,1). В статье [4] доказано следующее утверждение.

Для любого e_nе (0, 1) оператор L_en самосопряжен и генерирует унитарную полугруппу e i^Lent, t > 0, в пространстве H. Нетрудно проверить, что для последовательности гамильтонианов {L_en } выполнены условия определения 2 при q = 2 (проверка, условий в подобной ситуации проведена, подробно в работах [3], [4], [5]).

В работе [3] исследована, сходимость семейства, решений задач (2), (6) при e_n^ 0 и является ли решение задачи (1), (2) пределом решений семейства, задач (2), (6).

Теорема 2. Если оператор L является максимальным симметрическим оператором, то последовательность {u_e (t)} решений регуляризованных задач (2), (6), (7) сходится в пространстве H равномерно на любом отрезке [0, T], T > 0, тогда и только тогда, когда, задача. Коши (1), (2) для вырожденного оператора имеет решение u(t), причем решение задачи Коши (1), (2) является пределом последовательности решений вырожденных задач, т.е. lim sup ||u_e(t) —u(t)||_H = 0длялтобогоT > 0.

• ^e'⁰te [o,т ]

В случае отсутствия решения задачи Коши (1), (2) последовательность {ue(t)} решений регуляризованных задач сходится слабо в пространство H равномерно на. любом отрезке [0 ,Т]. T > 0. к вектор-функции u*(t) = UL* (t)u0. кото рая является решением задачи Коши для уравнения Шредингера с сопряженным оператором L* и начальным условием (2), т.е. для любых T > 0 и у е H выполняете я равенство lim sup | (ue (t) — e ' 0 te [o ,т ]

• — u* (t), ^)h | = 0.                                     □

Теорема 3. Пусть оператор L задачи Коши (1), (2) является симметрическим с конечными индексами дефекта (n-,n₊) и пусть {L_n, n е N} — самосопряженная регуляризация некоторого порядка q е N. Тогда справедливы следующие утверждения.

• 1)    Если последовательность регуляризованных полугрупп {e^-iLnt, t > 0} сходится в сильной операторной топологии равномерно на. любом отрезке [0, T], то предельная операторнозначная функция F(t), t > 0, является изометрической полугруппой в пространстве H, генератором которой служит одно из максимальных симметрических расширений оператора L, причем выполняется неравенство n- > n₊.

• 2)    Если n- > n₊, то для любого максимального симметрического расширения Л оператора L найдется такая его максимальная симметрическая регуляризация {L_n}, что последовательность регуляризованных полугрупп {е^-гLnt} сходится к полугруппе е^-гЛt, t > 0, в сильной операторной топологии равномерно на. любом отрезке [0, T].                                    □

Следствие 1. Если n- < n₊, то тогда не существует такой максимальной симметрической регуляризации, чтобы последовательность регуляризованных полугрупп {е^-гL"t} сходилась в сильной операторной топологии равномерно па. любом отрезке [0, T].                                       □

• III.    Квазирешения как точки минимума функционалов невязки. Вариационный подход

Несколько иные свойства, проявляют вариационные методы минимизации функционалов невязки. Естественно ожидать, что минимизирующий элемент и свойства, минимизирующей последовательности зависят от выбора, банахова, пространства, в котором рассматривается уравнение. Определим функционалы невязки для случая некорректности задачи Коши (см. теорему 1), когда, оператор L является максимальным симметрическим оператором с индексами дефекта (n-,n +) = = (0, m). m е N.

Фиксируем некоторое число T > 0 и рассмотрим гильбертово пространство H_T = L₂([0,T],Н). Задача. Коши для уравнения (1) на. интервале (0, T) с начальным условием (2) может быть представлена. уравнением вида.

Au — f = 0,               (8)

где вектор u е Нт представляет неизвестную функцию из уравнения (1), A е L(Нт) — иеко- торый линейный оператор в пространстве Ht, f — определяемый начальным условием (2) элемент пространства HT. Изучению начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в форме абстрактного уравнения (8) посвящена, монография [1]. Ниже рассмотрены два. различных представления задачи Коши (1), (2) уравнением (8), использующие дифференциальную и интегральную форму уравнения (1).

Пусть функционал невязки задачи Коши (1), (2), представленной уравнением (8) с замкнутым линейным оператором A в гильбертовом пространстве HT, определен на линейном многообразии D (J) = D (A) равенством

J(u) = kAu - f кнт ,u G D(J). (9)

Определение 3. Квазирешепием задачи Коши (1), (2) с функционалом невязки J называется точка минимума функционала J.

Согласно результатам работы [1, и. 2.3, гл. 1] справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть f0 и f 1 есть проекции вектора f G HT на ортогональные подпространства H 1 T = Ker A* и H0T = HT в H 1 T. Тогда точная нижняя грань функционала есть inf J = kf1 kHT. Точная грань достигается на элементе u* (t) G G D(J). являющимся решопием уравнения Au = = fо тогда, и только тогда, когда, fо G Im A. Стационарная точка u функциопала Jt,_u0 является точкой его локального минимума, (строгого, если Ker(A) = {0}, и нестрогого — в противном случае ). □

В частности, если множество значений оператора A есть замкнутое подпространство, то функционал J достигает своей нижней грани.

Функционал невязки в интегральной форме. Задачу Коши (1), (2) можно представить в форме уравнения (8) различными способами. Рассмотрим задачу (1), (2) в форме интегрального уравнения

u(t) -

t u о + i j L u (s) ds = 0, t G [0,T].

На плотном в пространстве HT линейном многообразии D(A) = {u G HT: u(t) G L₂([0,T],D(L))} зададим линейный оператор A, действующий в пространстве HT по правилу:

t

Au(t) =

u (t) + i j 0

Lu(s) ds.

Рассмотрим связанный с задачей Коши (1), (2) в форме интегрального уравнения функционал невязки jT,u0(u) = kAu - f IIH, u G D(A), где f G Ht — постояииая фшктщя f (t) = uq. t G G [0,T].

Сопряженный оператор A* включает в свою область определения D(A*) плотное в прост ранстве HT линейное миогообразие D* = {u (t) G G C([0,T],D(L*))} и определен на линейном многообразии D* соотношением

A^*u(t) = u(t) -

T i   L*u(s)

t ds.

Следовательно, оператор A замыкаем, его замыкание обозначим через A. Оператор A шире оператора. A: так. если a < 0 i1 u0 G H- то (функция u(t) = U_L(t)u0, t G [0,T], лежит в области определения и в ядре оператора A, но в области определения оператора A лежит только в том случае, если u0 G D (L).

Определим функционал

Jt,u0 (u) = kAu — f kH           (10)

на линейном многообразии D(Jt,_u0) = D(A), где f(t) = u0, t G [0,T]. Функционал (10) назовем функционалом невязки задачи Коши (1), (2) в интегральной форме.

Функционал невязки в дифференциаль ной форме. Задаче Коши (1), (2) сопоставля

ется линейный оператор i d — L в пространстве

H, заданный на плотном линейном многообразии достаточно гладких функций. Замыкание указанного оператора, определяет функционал невязки вида. (9) задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

На линейном многообразии D (T) = = C ([0, T ], D (L)) С C1 ((0, T) ,Н) определим линейный оператор T G L (H), сопоставляющий вектору v (t) G D (T) век тор Tv (t) = i d v (t) — Lv (t) пространства H. Oneратор T плотно определен и имеет плотно определенный сопряженный оператор T*. Следовательно, оператор T имеет за мыкание T в пространстве HT.

Для каждого u о G D (L) поло жим D ( St,_u 0) = = {u G D(T): u(+0) = u0} и на множестве D (ST,u0) определим функционал

St,u 0 (u ) = kTuk 2HT =

T

= / ^dtk dtu⁽t^{) +}iL^u(t) k H ■⁽¹¹⁾

Функционал S_T,_u0 (u) назовем функционалом невязки задачи Коши (1), (2) в дифференциальной форме.

Замечание 1. Понятию квазирешения некорректной краевой задачи посвящены монографии [1, гл. 1.2], и [12, гл. 2.1], в которых для абстрактного линейного уравнения в банаховом пространстве определяется функционал невязки. Функционалы невязки из [1] совпадают с функционалом (11) для линейных дифференциальных уравнений в пространстве HT. В работе [6] вариационная задача, минимизации функционала, невязки (11) решена, с помощью методов спектральной теории операторов.

Общее утверждение теоремы 2 для замкнутого линейного оператора, в гильбертовом пространстве HT принимает различные формы для различных реализаций представления задачи Коши (1), (2) в форме уравнения (8). В работе [7] рассмотрены функционалы невязки для уравнения Шредингера. в дифференциальной форме (1) и для этого же уравнения в интегральной форме. При этом поведение минимизирующей последовательности функционалов в дифференциальной и в интегральной формах существенно отличаются друг от друга, и от поведения последовательности решений регуляризованных задач.

IV.    Согласование выбора функционала невязки с методом эллиптической регуляризации

В настоящей работе предлагается вместо одного функционала, невязки определить семейство функционалов невязки таким образом, что любая минимизирующая последовательность семейства, функционалов невязки является последовательностью решений регуляризованных задач и наоборот.

Пусть оператор L является максимальным симметрическим: n-n₊ = 0. Через M = = C₀([0, + го), D(L)) обозначим банахово пространство непрерывных финитных отображений полуоси [0, +го) в гильбертово пространство D (L). а для каждого T > 0 через MT обозначим его подпространство, состоящее из функций, обращающихся в нуль на полуоси [T, + го). Через HT и H обозначим гильбертовы пространства L₂([0, T], H) и L2(R+ ,H) соответственно.

С задачей Коши (1), (2) свяжем следующее семейство функционалов:

Ph, h EM,               (12)

определенных на. банаховом пространстве C ([0, + го) ,Н) и принимающих на векторах u E E C ([0, + го) ,Н) значения

Ph (u ) = |(u, Khi-hu 0 ,hi|², h EM,     (13)

где линейный оператор K E L(H) определен на линейном многообразии M равенством Kh(t) = +∞

= h(t) — i J Lh(s) ds. t > 0. 3_rчесь hu, Khi = t

+∞                  T

= J (u (t), K h (t)) _H dt = J (u (t), K h (t)) _H dt 11

+∞             T hu 0, hi = J (u 0 ,h (t)) h dt = J (u 0, h (t)) h dt- где от резок [0, T] содержит hociноль функции u.

Определение 4. Будем говорить, что точка. u E C([0, + го), H) является точкой минимума (стационарной точкой) семейства, функционалов (12), если она. является точкой минимума, (стационарной точкой) функционала Ph для каждого h E M.

Замечание 2. Пусть па. пространстве C([0, + го),Н) задано семейство полунорм gh. h E E M. пршшматотпих значения gh(x) = |hx, hi|, x E E C ([0, + го) ,H). г,де hx,hi = J°°(u (t) ,h (t)) h dt. 0

Тогда, значение функционала. (13) на. функции u(t) E C([0, T],D(L)) есть квадрат¹ полунормы gh невязки (10) для функции u(t) (учитывается то, что D (L) С D (L *) 11 L *h = Lh для любого h E E D(L)).

Лемма 1. Если L — максимальный симметрический оператор в пространстве с индексами дефекта. H (n—,n₊) = (0,m). то точка, u*(t) = = UL* (t)u₀ есть точка минимума семейства функционалов Ph. h E M.                         □

Доказательство. Утверждение леммы следует из того факта, что Ph (u* (t)) = 0 для любого h E M. Действительно. оператор L является максимальным симметрическим, поэтому оператор —iL* есть генератор сжимающей полугруппы в пространстве H (см. теорему 1).

Тогда для любого u 0 E D (L *) функция u* (t)  = Ul * (t) u 0 принадлежит прост ранству C (R+, D (L*)) A C 1(R+ ,H) и удовлетворяет равенству (u* (t), h(t)) — (u0, h(0)) +

+ i(J L*u* (s) ds,h(t)) = 0 для любого элемента 0

h E M и любого t > 0. Следовательно, из условий u0 E D(L*) 11 h E MT следует, что

T dt

u^* (t), h(t) — i

T

Lh(s) ds

— (u0,h(t))h = 0, t E [0,T],

и поэтому Ph(u* (t)) = 0 при лтобом h E M.

Если u0 E H ii u* (t) = UL* (t)u0- то (функция u* (t) есть обобщенное решение задачи Коши с оператором L*, поэтому является пределом в пространстве C (R+, H) последовательности сильных решений uk(t) = Ul* (t)u0k, каждое из которых при любом выборе элемента h E Mt удовлетворяет равенству вида. (14) с неоднородным слагаемым (u0_k,h(t))_H. В пре,теле при к ^ го получаем, что для любого h E Mt выполняется равенство

T

(u(t), h(t))Ht + i(u(t), t Lh(s) ds)Ht — (u0,h(t))Ht =

= 0. то есть Ph(u*(t)) = 0 при лтобом h E M.

Лемма 2. Если n- = 0, то ядро оператора K тривиально.                                 □

Действительно, всякий элемент h ядра тождественно равен нулю на полуоси [T, + го) при некотором T > 0. а на. отрезке [0, T] удовлетворяет дифференциальному уравнению i -d u(t) = Lu(t) и условию u(T) = 0. Поскольку при n- = 0 оператор —iL генерирует изометрическую полугруппу e^-iLt, t 6 0, то тогда решение указанной задачи единственно и тривиально, поэтому тривиально и ядро оператора. K.

Лемма 3. Если п- = 0, то стационарная точка семейства функционалов Ph, h е М, удовлетворяет семейству равенств hu, Khi — huо,h = 0 Vh еМ.     □ (15)

Доказательство. Если точка u е е C([0, + го), H) является стационарной точкой каждого из функционалов Ph, h е М, то тогда для каждого h е М_т обращается в нуль первая вариация

5P_h(u, 6u) = h^u, Khi [hu, KThi — hu₀, hi]+

• + h§u, Khi [hu, Khi — huо,hi].

Эти условия выполняются тогда, и только тогда, когда.

• hu, Khi — huо, hi = 0.

Достаточность очевидна, докажем необходимость. Действительно, пусть найдутся такие векторы u е еН и h е М, что hu, Khi — hu₀, hi = 0.

Поскольку Ker(K) = {0}. то для любого h е е М- h = 0. выполняется неравенство Kh = 0. Поэтому найдется такой вектор 5u е C([0, + го), H) П ПН. что 5Ph (u,5u) = 2 ^5u^«h K h^«K^u> Khi -— huо, hi| = 0 и. следоватселыю. точка, u(t) не является стационарной для семейства, функционалов Ph, h е М. Полученное противоречие доказывает лемму 3.

Теорема 5. Если п- = 0, то семейство функционалов Ph, h е М, имеет единственную стационарную точку — точку минимума u* (t).       □

Доказательство. Существование указанной точки минимума, установлено в лемме 1. Если предположить, что семейство функционалов имеет две различные стационарные точки, то в силу леммы 3 их разность w е C([0, + го), H) удовлетворяет семейству равенств

• hw(t), Kh(t)i = 0, h еМ.         (16)

Лемма 4. Функция w(t) е C([0, + го),H), удовлетворяющая семейству равенств (16), равна, нулю.                                     □

Доказательство. Покажем, что образ оператора K плотен в пространстве Н. Покажем, что образ оператора K содержит линейное многообразие C 1(R+, D(L)) непрерывно дифференцируемых финитных функций, значения которых и производной от которых лежат в пространстве D (L).

Пусть функция д е C1(R+ ,D(L)) и ее производная д' е C(R+, D(L)). При этом существует такое число T > 0. что носите.ли функций д и д' лежат в отрезке [0, T ]. Тогда, у равнение h (t) — T

• — i^ Lh (s) ds = g (t), t е [0 ,T ], имеет единствен

ное удовлетворяющее условию д (T) = 0 решение T h (t ) = /U - L(s—t)д'(s) ds. t е [0, T]. так как опера-t тор — L является генератором изометрической полугруппы U-l(t), t > 0. Продолженная нулем на интервал (T, + го) функция h является элементом множества. М. такт и что Kh = д. Следовательно.

T линейное многообразие функций h(t) —i J Lh(s) ds, h е M. плотно в пространстве H. подтому v(t) = 0. Лемма. 4 доказана.

Таким образом, семейство интегральных тождеств (15) определяет точку минимума, семейства, функционалов невязки полунорм Ph(•), h е М, однозначно. Теорема. 3 доказана.

Замечание 3. Если оператор L удовлетворяет условию п- = 0, то семейство равенств (15) при всевозможных h е М однозначно определяет решение задачи Коши с начальным условием (2) для уравнения i dt u(t) = L*u(t), t > 0.

Поэтому его выполнение для всех пробных функций h е М можно положить за определение решения задачи Коши. Такое определение решения является операторной формулировкой определения обобщенного решения краевой задачи с помощью интегрального тождества, выполнение которого справедливо для всех пробных функций из подходящего класса, (см. [2]), в данном случае из класса. М.

Замечание 4. Если оператор L удовлетворяет условию п + = 0, то множество функций, удовлетворяющих семейству равенств (15) при всевозможных h е М, определено лишь с точностью до ядра оператора AT. В случае симметрического оператора L множество функций, удовлетворяющих семейству интегральных тождеств вида. (15) при всевозможных h из более широкого класса пробных функций М* = C([0, T],D(L*)). состоит нс более чем из одного элемента. Этот факт нетрудно доказать теми же аргументами, что и лемму 4. Если симметрический оператор L удовлетворяет условию п + = 0, то множество функций, удовлетворяющих семейству равенств вида. (15) при всевозможных h е М*, состоит из единственного элемента. — обобщенного решения задачи Коши (1), (2) (см. (5) и теорему 1).

Таким образом, установлено следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть оператор L имеет конечные индексы дефекта, и является максимальным симметрическим. Тогда в случае п + > 0 последовательность регуляризованных решений сходится слабо в пространстве H равномерно на любом отрезке, а семейство функционалов невязки {Ph, h е е M} имеет единственную точку минимума, которая совпадает с пределом последовательности регуляризованных решений.

В случае п + = 0 последовательность регуляризованных решений сходится по норме пространства H равномерно на любом отрезке к обобщенному решению задачи Коши (1), (2), а. семейство функционалов невязки {Ph, h е M*} имеет единственную точку минимума, которая совпадает с обобщенным решением задачи Коши. □