Решение краевых задач уравнений двумерной теории упругости с помощью законов сохранения
Автор: Аннин Б.Д., Сенашов С.И., Гомонова О.В.
Журнал: Сибирский аэрокосмический журнал @vestnik-sibsau
Рубрика: Информатика, вычислительная техника и управление
Статья в выпуске: 3 т.21, 2020 года.
Бесплатный доступ
Плоская задача для уравнений упругости достаточно хорошо изучена. Это объясняется ее важностью для приложений и тем, что уравнения сводятся к системе Коши - Римана. Несмотря на это, точных решений, которые описывали бы напряженно-деформированное состояние тел конечных размеров, не так много. Законы сохранения для дифференциальных уравнений появились более ста лет назад, но, как правило, они не использовались для решения конкретных задач, а представляли «чисто академический» интерес. Ситуация изменилась с развитием техники построения законов сохранений для произвольных систем дифференциальных уравнений, а затем - с использованием законов сохранения для решения краевых задач теории пластичности и упруго-пластичности. В этой статье построены новые законы сохранения для уравнений плоской теории упругости в стационарном случае. Эти законы образуют бесконечную серию, которая тесно связана с решениями уравнений упругости. Именно этот факт позволил свести решение краевых задач в терминах перемещений к вычислению контурных интегралов по границе области, ограниченной изучаемым упругим телом. Из данной методики следует, что область может быть многосвязной, а граница - кусочно-гладкой .
Законы сохранения, краевая задача, уравнения упругости
Короткий адрес: https://sciup.org/148321977
IDR: 148321977 | УДК: 539.374 | DOI: 10.31772/2587-6066-2020-21-3-303-306
Solving boundary value problems of equations of two-dimensional elasticity theory using conservation laws
The plane problem for elasticity equations is well studied. It can be explained by its importance for applications and by the fact that the equations can be reduced to the Cauchy-Riemann system. In spite of this importance, exact solutions that would describe the stress-strain state of bodies of finite dimensions are not numerous. Conservation laws for differential equations have been appeared more than a hundred years ago, but, as a rule, they were not used to solve specific problems, but were of purely academic interest. The situation changed with the development of the technique of construction of conservation laws for arbitrary systems of differential equations, and then with the use of conservation laws to solve boundary value problems of the theory of plasticity and elastic-plasticity. In this article, new conservation laws are constructed for the equations of the plane theory of elasticity in the stationary case. These laws form an infinite series, which is closely related to the elasticity equations solving. This fact made possible to reduce solving of boundary value problems, in terms of displacements, to the calculation of contour integrals along the boundary of a domain bounded by the studying elastic body. As it follows from the proposed technique, the studied area can be multiply connected, and the considered boundary can be piecewise-smooth.
Список литературы Решение краевых задач уравнений двумерной теории упругости с помощью законов сохранения
- Timoshenko S. P., Goodier J. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 576 p.
- Novatsky V. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975. 872 c.
- Olver P. Conservation laws in elasticity 1. General result. Arch. Rat. Mech. Anal. 1984, No. 85, P. 111-129.
- Olver P. Conservation laws in elasticity 11. Linear homogeneous isotropic elastostatic. Arch. Rat. Mech. Anal. 1984, No. 85, P. 131-160.
- Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. Sistemy kvazilineynykh uravneniy [Systems of quasilinear equations]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 688 p.
- Annin B. D., Bytev V. O., Senashov S. I. Grup-povye svoystva uravneniy uprugosti I plastichnosti [Group properties of equations of elasticity and plasticity]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1983, 143 p.
- Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. Matematicheskiye voprosy dvumernykh uravneniy idealnoy plastichnosti [Mathematical problems of two-dimensional equations of ideal plasticity]. Krasnoyarsk, 2012, 137 p.
- Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozheniye simmetriy i zakonov sokhraneniya k resheniyu differentsialnykh uravneniy [Application of symmetries and conservation laws to solving differential equations]. Novosibirsk, 2001, 192 p.
- Senashov S. I., Vinogradov A. M. Symmetries and conservation laws of 2-dimensional ideal plasticity. Proc. EdinburgMath. Soc. 1988, P. 415-439.
- Vinogradov A. M. Krasilshchik I. S., Luchagin V. V. Simmetrii i zakony sokhraneniya [Symmetries and conservation laws]. Moscow, Factor Publ., 1996, 461 p.
- Annin B. D., Cherepanov G. P. Uprugoplas-ticheskaya zadacha [Elastic-plastic problem]. Nocosi-birsk, Nauka Publ., 1983, 126 p.
- Cherepanov G. P. Mekhanika khrupkogo razrush-eniya [Mechanics of fragile fracture]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 640 p.
- Senashov S. I., Savostyanova I. L. [Elastic state of a plate with holes of arbitrary shape]. Vestnik Chuvash-skogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta im. U. Ya. Yakovleva. Seriya: Mekhanika predelnogo sostoyaniya. 2016, No. 3 (29), P. 128-134 (In Russ.).
- Senashov S. I., Filyushina E. V. [Conservation laws of the plane theory of elasticity]. Vestnik SibGAU. 2014, No. 1(53), P. 79-81 (In Russ.).
- Senashov S. I., Filyushina E. V. Uprugo-plasticheskiye zadachi dlya ortotropnykh sred [Elastic-plastic problems for orthotropic media]. Krasnoyars, 2016, 116 p.
