Решение плохо обусловленных задач идентификации линейных динамических систем методом инструментальных переменных

Метод инструментальных переменных находит применение в математической статистике, а именно, в регрессионном анализе для оценки неизвестных параметров регрессии с ошибками в независимых переменных. При применении метода инструментальных переменных в регрессионном анализе мы сталкиваемся с трудностью выбора самих инструментальных переменных. Поэтому метод инструментальных переменных нашел большое применение в области идентификации динамических систем, описываемых стохастическими линейными разностными уравнениями, где задачи идентификации динамических систем относятся к классу регрессионных задач и инструментальные переменные выбираются естественным образом.

Определение параметров по методу инструментальных переменных приводит нас к решению плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, которые обычно решаются методом Гаусса. Метод Гаусса не является наилучшим для решения плохо обусловленных систем. В данной работе рассматривается прямой проекционный метод (ППМ) для решения задач методом инструментальных переменных. Показаны преимущества этого метода по сравнению с другими методами. Применение ППМ основано на использовании расширенной системы линейных алгебраических уравнений [4], эквивалентной системе нормальных уравнений, которая никогда ранее не рассматривалась для решения задач методом инструментальных переменных.

Постановка задачи

Рассматривается скалярный по выходу и входу стационарный линейный динамический объект с дискретным временем t = 1,2,. к , описываемый уравнением

y ^{( t )} = B⁽q-1) ^{u ( t )} + ^{e ( t )},          ⁽¹⁾

A ( q )

где y(t) - выходной сигнал, u(t) - входной сигнал, а e(t) - неконтролируемое возмущение,

A ( q ^{- 1}) = 1 + a q ' + к. + a n q ^- n^a ,

B ( q ^{- 1}) = -ч/ + ... + Ь_пд^п , где q ^{- 1} - оператор сдвига назад:

q ^{- 1} u ( t ) = u(t -1).

Для системы, описываемой уравнением (1) выполняются предположения:

• 1)    объект, описываемый уравнением (1), предполагается устойчивым, т.е.

A(z) = 0 ^ || z || > 1;

• 2)    {e(t)} _t21 - последовательность независимых случайных величин с

M { e ( t )} = 0 , M {e ² (t)} = о ² >  0 ;

• 3)    {u(t )} _{t a1} удовлетворяет условиям постоянного возбуждения.

n

^m1 Ё UT (t)u(t) = Pn n^” t=1

является невырожденной конечной матрицей.

При сделанных предположениях 1) - 3) требуется оценить неизвестный вектор параметров уравнения (1):

9 = (a_x, a₂,..„ a n a ,Ь„Ь₂,..„ Ь_Пь ) ^T e R n a ⁺ n b

Описание алгоритма

Введем обозначение ф t) = (- y t - 1) K.,- y t - na ) -

— u t - 1) ,.., - u t - n b ) T .

Общий класс методов инструментальных переменных может быть представлен с помощью выражения

^{e ( t} ) = y ^{( t} ) ^- ф ^{т ( t ) 9}

^{S ( t ) e ( t} ) = 0

которые можно записать в матричном виде

( E ф^тУ YeY "  (у t " =

V ^s t                  ⁷ V 7

Показано, что исходная задача (2) эквивалентна системе линейных алгебраических уравнений (3).

^)

9 = Argmin

n

£ S t) ф T t)

. t= 1

n

9 - £ S t)y t)

t = 1

2 ’

где ||-| ₂ - евклидова норма , n - число пар данных, S ( t ) - вектор инструментальных переменных, удовлетворяющий условиям:

• 1)    MS(tф (t ) - невырожденная матрица;

• 2)    M ^ (t)e(t) = 0 .

Существует несколько вариантов выбора инструментальной переменной [5,6]. Для системы (1) инструментальные переменные определяются как

S ⁽t) = ⁽u⁽t - ^{1), K} , u⁽t - П а - П ь )) T •

Такой выбор инструментальных переменных для системы (1) является наиболее подходящим [5]. Оценка 9 , соответствующая методу инструментальных переменных, может быть найдена из решения системы уравнений [3]

nn

£ S( ) ф ^т (t ) 9 = £ §У )y(t).    (2)

_ t = 1                   J        t = 1

Известно, что систему уравнений (2) обычно решают с помощью метода Гаусса.

Матрица системы уравнений (2) S t ф)^тtt^, является несимметричной в отличие от задачи наименьших квадратов ( S V = ф ^т tt ), где матрица системы (2) - симметричная. Это осложняет решение системы (2), которая в большинстве случаев является плохо обусловленной [5]. Поэтому предлагается рассмотреть систему линейных алгебраических уравнений

Пусть A =

(E

V S(t)

фт (t) ] 0 J

Собственные числа матрицы A будут

к = 1/2 + 7174+ U i , где U i - собственные

числа матрицы S t ф t .

Пусть о_; - сингулярные числа матрицы A. Так как модули собственных чисел матрицы заключены между наибольшим и наименьшим сингулярными числами [2], то

сопДА = ° ax >  ^k = о к min min

= 1/2 + У1/4 + Д max

1/2 - У 1/4 + Д min

.

Рассмотрим систему уравнений

V«^o    0 jv 6 7 V 0 j

где a > 0 - произвольный варьируемый мно

житель.

Тогда собственные числа матрицы A ( a ) будут k i = a /2 + У a ' /4 + д и

a /2 + Л / a2 /4 + cond2A(a) >-------х          max a/2-7aI + д,. ' (6)

Легко показать, что нижняя граница (6)

достигается при a = a = ---- :

V ^Д min

cond ₂ A a >

+ У + cond ₂ S t ф^т t

. (7)

Рассмотрим пример. Пусть ^(t)= <1000 3 — 2000 ) 4 / фТ (t) = = <3000 ,1 4000 ) 2 тогда cond2(^(t)фТ(t)) = 0.2244107, а = 0.8185, cond2(A) = 0.1267105.

Из (7) и рассмотренного примера видно преимущество использования системы (5) по сравнению с (2) по численной устойчивости.

Для решения (5) предлагается прямой проекционный метод [1]. С помощью данного метода первые n — ( n_a + n_b ) уравнений системы (5) решаются аналитически. Это показывает превосходство рассмотрения системы (5) по числу операций над системой (2), которая обычно решается методом Гаусса [5].

Заключение

Вычисляя оценки параметров динамического объекта, описываемого уравнением (1), по методу инструментальных перемен ных, система (2) обычно решалась методом Гаусса [6]. Использование подхода на основе расширенной системы дает преимущество как по численной устойчивости, так и по числу арифметических операций (при применении прямого проекционного метода).