Решение плоской задачи теории упругости об изгибе шарнирно закреплённой многослойной панели с круговой осью
Автор: Букатый С.А., Осадчий Н.В.
Статья в выпуске: 2, 2022 года.
Бесплатный доступ
Предложен метод решения плоской задачи теории упругости об изгибе шарнирно закрепленной многослойной панели с круговой осью, основанный на полиноминальной аппроксимации перемещений по толщине панели. В отличие от известных решений этой задачи, в данном случае коэффициенты аппроксимирующих полиномов находятся из условий равновесия и равенства перемещений и поперечных напряжений при переходе через границу раздела слоёв и выполнения дифференциальных уравнений равновесия в нескольких точках по толщине слоёв. Окончательно задача сводится к решению системы линейных уравнений относительно коэффициентов аппроксимирующих полиномов. Достоверность данного метода продемонстрирована путем сравнения результатов расчётов, полученных на его основе, и результатов, полученных с помощью эталонной конечно-элементной модели. Задача решена в два этапа. На первом этапе для однослойной панели выполнено исследование зависимости степени полинома от отношения среднего радиуса панели к её толщине и отношения модуля поперечного сдвига к модулю продольной упругости, характеризующих нелинейность изменения перемещений. На втором этапе на примере трёхслойной панели рассмотрено применение предлагаемого метода для расчёта многослойных панелей. При этом результаты, полученные на первом этапе, использованы при выборе начальной степени полиномов, аппроксимирующих перемещения по толщине слоёв. Предложенный в работе метод позволяет получить аналитическое решение без введения упрощающих гипотез о характере перемещения слоёв и их упругих характеристик в широком диапазоне изменения геометрических размеров и упругих характеристик слоёв панелей. Данный метод может найти применение как для верификации численных моделей, так и при выполнении расчётов на прочность многослойных панелей.
Упругость, многослойная панель, круговая ось, шарнирное закрепление, степень полинома, конечно-элементная модель
Короткий адрес: https://sciup.org/146282471
IDR: 146282471 | УДК: 539.3: | DOI: 10.15593/perm.mech/2022.2.05
Solution of the plane problem of the theory of elasticity on bending of an articulated fixed multilayer panel with a circular axis
This article suggests a method for the solution of the plane problem of the theory of elasticity on the bending of an articulated fixed multilayered panel with a circular axis based on the polynomial approximation of displacements through the thickness of the panel. In contrast to the known solutions of this problem, in this case the coefficients of the approximating polynomials are calculated from the equilibrium conditions and equality of displacements and transverse stresses at the transition across the layer interface and solution of differential equations of equilibrium at several points through the thickness of the layers. Finally, the problem is reduced to the solution of a system of linear equations with respect to the coefficients of approximating polynomials. The validity of the method is confirmed by comparing the results of calculations obtained on its basis and the results obtained with the help of the reference finite element model. The problem is solved in two stages. At the first stage, for a single-layer panel, we investigate the dependence of the polynomial degree on the ratio of the average panel radius to its thickness and the ratio of the transverse shear modulus to the modulus of longitudinal elasticity, which characterize the nonlinearity of displacements. At the second stage, on the example of a three-layered panel, we consider the application of the proposed method for the calculation of multilayered panels. In such case, the results obtained at the first stage are used in selecting the initial degree of polynomials approximating displacements through the thickness of layers. The method proposed in this article makes it possible to obtain an analytical solution without introducing simplifying hypotheses about the nature of displacement of layers and their elastic characteristics in a wide range of variation in geometric dimensions and elastic characteristics of panel layers. This method can be used both for verification of numerical models and for carrying out strength calculations of multilayer panels.
Список литературы Решение плоской задачи теории упругости об изгибе шарнирно закреплённой многослойной панели с круговой осью
- Pagano N.J. Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending // Journal Composite Materials. - 1969. -Vol. 3. - P. 398-411.
- Pagano N J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates // Journal of Composite Materials. -1970. - Vol. 4. - P. 20-34.
- Pagano N. J, Wang A.S.D. Further study of composite laminates under cylindrical bending // Journal of Composite Materials. - 1971. - Vol. 5. - P. 521-528.
- Demasi L. Three-dimensional closed form solutions and exact thin plate theories for isotropic plates // Composite Structures. - 2007. - Vol. 80. - P. 183-195.
- Wuxiang L., Zhong Z. Three-Dimensional Analysis of Simply Supported Functionally Graded Plate with Arbitrary Distributed Elastic Modulus // Tsinghua science and technology. -2009. - Vol. 14. - P. 58-63.
- Zhong Z, Shang E.T. Three-dimensional exact analysis of a simply supported functionally gradient piezoelectric plate // International Journalof Solids Structures. - 2003. - Vol. 40. - P. 5335-5352.
- Meyer-Piening H.R. Application of the elasticity solution to linear sandwich beam, plate and shell analyses // Journal of Sandwich Structures and Materials. - 2004. - Vol. 6. - P. 295-312.
- Fan J., Ye J. An exact solution for the statics and dynamics of laminated thick plates with orthotopic layers // International Journal of Solids Structures. - 1990. - Vol. 26. - P. 655-662.
- Алексеев А.Е. Изгиб трёхслойной ортотропной балки // Прикладная механика и техническая физика. - 1995. - № 3 (36). -С. 158-166.
- Алексеев А.Е., Алёхин В.В., Анин Б.Д. Плоская задача теории упругости для неоднородного слоистого тела // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. - Т. 42, № 6. -С.136-141.
- Волчков Ю.М., Дергилева Л.А., Иванов Г.А. Численное моделирование напряжённых состояний в плоских задачах теории упругости методом слоёв // Прикладная механика и техническая физика. - 1994. - Т. 35, № 6. - С. 129-135.
- Волчков Ю.М., Полтавская Е.Н. Моделирование напряжённо-деформированного состояния в слоистых ортотропных пластинах // Математические заметки СВФУ. -2015. - Т. 22, № 2. - С. 62-71.
- Алексеев А.Е. Построение уравнений слоя переменной толщины на основе разложений по полиномам Лежандра // Прикладная механика и техническая физика. - 1994. -Т. 35, № 4. - С. 137-147.
- Khoma I.Y. Integration of the equilibrium equqtions for inhomogeneous, transversely isotropic plates // InternationalJournal of Applied Mechanics. - 2002. - Vol. 11. - P. 1371-1380.
- Vel S.S., Batra R.C. Three-dimensional exact solution for the vibration of functionally graded rectangular plates // Journal of Sound and Vibration. - 2004. - Vol. 272. - P. 703-730.
- Vel S.S., Batra R.C. Three-dimensional analysis of transient thermal stress in functionally graded plates // International Journal of Solids Structures. - 2003. - Vol. 25. - P. 7181-7196.
- Pan E. Exact solution for functionally graded anisot-ropicelastic composite laminates // Journal of Composite Materials. - 2003. - Vol. 37. - P. 1903-1919.
- Алексеев А.Е., Анин Б.Д. Уравнения деформирования упругого неоднородного слоистого тела вращения // Прикладная механика и техническая физика. - 2003. - Т. 44, № 3. - С. 157-163.
- Varadan T. K, Bhaskar K. Bending of laminated orthotopic cylindrical shells an elasticity approach // Composite Structures. - 1991. - Vol. 17. - P. 141-156.
- Chen W.Q, Ding H.J, Xu R.Q. On exact analysis of free vibrations of embedded transversely isotropic cylindrical shells // International Journal of Pressure Vessels and Piping. - 1998. -Vol. 75. - P. 961-966.
- Fan J.R, Zhang J.Y. Exact solutions for thick laminated shells // Science China Life Sciences. - 1992. - Vol. 35. -P. 1343-1355.
- Fan J., Zhang J. Analytical solutions for thick, doubly curved, laminated shells // Journal of Engineering Mechanics. - 1992. - Vol. 118. - P. 1338-1356.
- Brischetto S. Exact three-dimensional static analysis of single- and multi-layered plates and shells // Composites Part B. -2017. - Vol. 119. - P. 230-252.
- Brischetto S. Three-dimensional exact free vibration analysis of spherical, cylindrical, and flat one-layered panels // Journal Shock and Vibration. - 2014. - Vol. 2014. - P. 1-29.
- Brischetto S. An exact 3D solution for free vibrations of mul-tilayered cross-ply composite and sandwich plates and shells // International Journal of Applied Mechanics. - 2014. - Vol. 6. - P. 1-42.
- Brischetto S. A general exact elastic shell solution for bending analysis of functionally graded structures // Composite Structures. - 2017. - Vol. 175. - P. 70-85.
- Brischetto S. A closed-form 3D shell solution for multi-layered structures subjected to different load combinations // Aerospace Science Technology. - 2017. - Vol. 70. - P. 29-46.
- Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: пер. с англ. / под ред. Г.С. Шапиро. - 2-е изд. - М.: Наука; главная редакция физико-математической литературы, 1979. - 500 с.
- Осадчий Н.В., Малышев В.А., Шепель В.Т. Исследование изгиба трёхслойной прямоугольной панели вариационным методом // Деформации и разрушение материалов. -2016. - № 7. - С. 6-11.
- Осадчий Н.В., Малышев В.А., Шепель В.Т. Метод выбора плотности сетки и типа конечных элементов в задачах статической прочности многослойных конструкций // Деформация и разрушение материалов. - 2017. - № 1. - C. 10-17.
