Решение показательных уравнений методом обратных действий

Наблюдая за развитием мыслительной деятельности обучаемых, пришли к выводу что, решая задачи, учащийся повторяет запрограммированные кем-то алгоритмы. Разумеется, и в этом процессе происходит формирование знаний, но это идет медленно. Когда человек сам решает задачу, он встречается с различными ситуациями, которые пытается преодолеть, сопоставляя и сравнивая структуры поставленной задачи со структурой известных формул, выражений, содержащих в теоремах и другие математических предложениях. Другими словами, он думает, мыслит, ищет решение. Процесс решения показательных уравнений методом обратных действий развивает творческую деятельность, упорядочивает мышление. В этом процессе формируется собственная логика мышления [1, 2].

Равенства, в которых неизвестное входит в показатель степени, называются показательными уравнениями. Мы умеем решать рациональные уравнения, поэтому при решении показательного уравнения воспользуемся знаниями и умениями решать рациональные уравнения [3]. Например, равенство 3 x = 27 (1) является показательным уравнением. Для решения уравнения применим метод обратных действий, т.е. из обеих частей равенства (1) берем логарифм по основанию 3. Тогда получим:

log₃ 3 x = log ₃ 27 , ^ x = log₃ 3³ , ^ x = 3.

Дадим общий вид показательного уравнения: a ^{ф (}x ) = c

Решение показательных уравнений методом обратных действий можно записать так:

a f ⁽x ) = c , ^ log a a f ⁽x ) = log a c ,

^ f ⁽ x ) = log a c .

Если функция f выражена действиями сложения, вычитания, умножения и деления, действиями степени и обратными степенными действиями, то можно продолжить метод обратных действий [2].

Приведем примеры на решение показательных уравнений методом обратных действий.

Пример 1.   5³ x - 1 = 125 ^ x — ?

Решение. Из обеих частей равенства берем логарифм по тому основанию, какое имеет степень.

3 x = 4 ^ 3 x : 3 = 4:3, ^ x = —.

Ответ: x = 1,(3).

Числа с и основание степени могут быть разными числами или структура уравнения может иметь более сложную структуру. В этом случае возникает необходимость в поиске из структуры числа с простого числа, являющегося общим для всех степеней.

Пример 2.   4^{3 x} = 8^{1 — x} ^ x — ?

Решение. В качестве ориентира (О) мы будем пользоваться обобщенной структурой показательного уравнения:

O : a f ^{( x} ) = b .

Начальным объектом (Н) является равенство:

₄3 x

Н :

= 8

1 — x

Далее надо привести структуру (Н) в соответствие со структурой (О). Согласно ориентиру в равенстве должна содержаться только одна степень. Это уста- новка направляет нашу мысль, во-первых, на сравнение оснований показательных функций, а именно чисел 4 и 8, во вторых, к представлению этих чисел в виде степеней с основанием 2. Вышесказанное запишем в виде начального объекта.

H : (2²)^{3 x} = (2³)^{1 — x} ^ H ₂ : 2 6 ^x = 2^{3 — 3 x}

.

Возможность для спуска показателей степени на уровень знака равенства появилась. Поэтому можно прологарифмировать обе части равенства по основанию 2. Имеем log2 26x = log2 23 3x ^ 6x = 3 — 3x, ^

6 x + 3 x = 3 — 3 x + 3 x

9 x = 3 ^ 9 x :9 = 3:9, ^ x = 1.

Ответ: x = 0, (3).

В этом примере мы не сводили правую часть уравнения к постоянному числу, хотя такая возможность была. Если бы мы создали структуру ориентира, тогда оказались бы перед необходимостью выполнить ряд дополнительных операций. Другими словами, труд был бы не рациональным. Для рационализации труда введем другую структуру уравнения, которая позволяет воспользоваться методом обратных действий:

a^{f (} x ) = a ^ ⁽ x ) ^ log_a a f ^{( x} ) = log_a a ^ ^{( x} ) ^

^{f (} x ) = ^ ⁽ x ).

Это алгебраическое уравнение. Способ решения зависит от структуры f и ф . Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 3. 100^{3 x — 8} = 10^{5 — x} ^ x —

Решение. Для решения этого уравнения в качестве ориентира (O) примем равенство:

O : a’ ⁽ x ) = a ^ x )

Начальным объектом (H) служит вышеприведенное уравнение:

H : 100 3 x - 8 = 10 5 - x

Согласно требованию ориентира в обеих частях равенства должны стоять степени с одинаковыми основаниями. Поэтому число 100 представим как степень 10 ² . Значит, переходим к основанию 10. Имеем:

10 2(3 x - 8) = 10 5 - x ^ lg10²⁽³ x ⁸ⁱ = lg 10^{5 -} x ,

2(3 x - 8) = 5 - x ^ 6 x - 16 = 5 - x ,

6 x - 16 + 16 = 5 - x + 16 ^ 6 x = 21 - x ,

6 x + x = 21 - x + x ^ 7 x = 21 ^

7 x :7 = 21:7 ^ x = 3. Ответ: 3.

/ ^ x 6 x +10- x ²

Пример 4. I —I       = 27 ■ 64 ^{- 1} ^ x -

14 J

Решение. Здесь правая часть уравнения есть число. Поэтому ориентир представим в виде

O : a^{f ( x} ) = b.

Структура уравнения имеет сходство со структурой ориентира. Значит можно прологарифмировать обе части уравнения. Имеем

( _ x 6 x + 10 - x ²

-I        = log з 27 ■ 64 ^{- 1},

4 J

6 x + 10 - x ²

27                2

= log. — ^ 6 x + 10 - x = log,—,

43 64

6 x + 10 - x² = log. | —| ^ 6 x + 10 - x² = 3,

114 J x2 - 6x - 7 = 0 ^ xx = -1, x2 = 7.

Ответ: x_t = - 1, x₂ = 7.

Пример 5.   8³ ■ 0,25 ^{- 2} - 16³ x ^Z 4 = 0 ^ x - ?

Решение. Обобщив структуру уравнения, находим ориентир.

O: af(x) = b.

Из структуры ориентира следует, что показательная функция должна располагаться в одной части равенства. Реализуя это требование ( О ) методом обратных действий из данного уравнения ( Н ), получим

2                    2 x + 3

H :  8³ ■ 0,25 - 2 = 16³ x ^z 4

В уравнении (Н ) содержится три степени с разными основаниями. Требование (О) к сведению их к одному основанию имеется. А именно можно привести степень к простому основаниями.

2                         2 x + 3

H :  (2³)³ ■ (1/4) 2 = (2⁴)³ x ^{- 4}

2 x + 3

2² ■ 4² = (2 4 ) 3 x 4 ^ 2 6 = 2 4(2 x + 3)/(3 x - 4)

Теперь можно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 2. Имеем:

log₂ 2⁶ = log₂ 2^{4(2 x + 3)/(3 x} 4   ^

6 = 4(2 x + 3)/(3 x - 4),

3(3 x - 4) = 2(2 x + 3), ^ 9 x - 12 = 4 x + 6,

5 x = 18, ^ x = 3,6. Ответ: x = 3,6.

Пример 6.

3 ^x + 3 ^{- x}

3 ^x _ 3 ^{- x}

^ x -

Решение. Если введем обозначение 3x = y, тогда получим рациональное уравнение которое решается методом обратных действий.

- 1

y-y zr = 2 , ^

y ^- y

- 1

------=T ■(У - У 1) = 2 ■(У - У 1), У - У

⁽ У ⁺ У ^-1) = ²⁽ У ^- У ^, ^ У ⁺ 1/ У = ² У ^{- 2/} У ,

- У + 3/ У = 0,   ^ У² = 3, ^ У 1,2 =± V3.

Найденные значения подставляем в показательное уравнение, содержащее неизвестную переменную. Тогда получим

1) 3 ^x = V3 , 3 ^x = 3². 2) 3 ^x =- Л , 3 ^x =- 3².

Последнее уравнение не имеет решений, так как степень должна быть положительной, а первое дает 11

x = —. Ответ: x = —.

Для формирования творческих способностей значение математики является особым. Математические задачи помогают в освоении законов и свойств, а также в улучшении процесса мышления. Основой процесса мышления являются математические выражения. Без получения информации о выражении мы не можем мыслить, а также решить задачу. Информация в составе выражения при решении задачи приводит мыслительную деятельность в движение. Математика является абстрактной наукой, поэтому без обучения их мыслить абстрактно не можем сформировать их математические способности. Среди математиков сформировано мнение о том, что чем больше будут решены математические задачи, тем самым и абстрактные мысли сами собой будут развиваться. На сегодняшний день замечается наличие отрицательного впечатления данного мнения. Разумеется, без решения задачи нельзя формировать абстрактное мышление. Это необходимое условие, но оно не является достаточным. Поэтому вместо того, чтобы решить три-четыре различных задачи, полезно решить одну задачу несколькими способами.