Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ

Автор: Черняк М.М.

Журнал: Форум молодых ученых @forum-nauka

Статья в выпуске: 5 (57), 2021 года.

Бесплатный доступ

В статье ведется речь о рациональных неравенствах и равносильных им неравенствах. В тексте статьи представлены задачи, встречаемые в едином государственном экзамене по профильной математике, и их решение.

Неравенства, рациональные неравенства, равносильные неравенства, метод интервалов, профильная математика

Короткий адрес: https://sciup.org/140288625

IDR: 140288625

Текст научной статьи Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).Неравенства, содержащие знак > или <, называют строгими, а содержащие знак > или <, - нестрогими [1].

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно x, называют рациональным неравенством х.

Например, являются рациональными неравенства

х — 1

х2 — 5х + 5    1

х + 1   > х + 5 + ^"

(х —1)(х + 3) > 0,   — <0,

При решении рациональных неравенств приходится умножать или делить обе части неравенства на неравное нулю число, переносить члены неравенства из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате получается неравенство, равносильно предыдущему, т.е. неравенство, имеющее те же решения [2].

Рассмотрим рациональное неравенство

^) >0, В(х)

где Л(х) и 5(х) - многочлены относительно x .

Любое решение неравенства (1) есть решение неравенства

Л(х)^(х)>0,                    (2)

Если x 0 – решение неравенства (1), то справедливо числовое неравенство ^у^) > 0 , означающее, что числа Л(х0) и В(х0) имеют B(X q )

одинаковый знак, то есть справедливом числовое неравенство Л(х0) • 5(х0) > 0. Из этого следует, что число х0 - решение неравенства (2).

Если многочлены Л(х) и 5(х) разлагаются в произведение разных двучленов вида х — х0, то все решения неравенства (1) можно получить, решив методом интервалом неравенство (2). Учитывая это обстоятельство, часто не переходят от неравенства (1) к неравенству (2), а говорят о применении метода интервалов к неравенству (1).

Пример 1:

Решите неравенство

х2-6х+8

х-1

х-4 х2-3х+2

< 0 [3].

Решение:

  • 1)    Необходимо разложить квадратные трехчлены, входящие в неравенство, на линейные множители:

х2 — 6х + 8 = (х — 4)(х — 2)

х2 — 3х + 2 = (х — 2)(х — 1)

Неравенство принимает вид:

(х-4)(х-2)      х-4      „

--7----77----Г <  о. х-1      (х-2)(х-1)

  • 2)    После приведения дробей к общему знаменателю, вычитания дробей и вынесения общего множителя неравенство преобразовывается к

следующему виду:

(х-4)(х-2)2-(х-4) <

(х-2)(х-1)    <

(х-4)((х-2)2-1) <

(х-2)(х-1)   <

( х-4)(х-1)(х-3) <

(х-2)(х-1)   _

  • 3)    В последнем выражении можно сократить дробь на многочлен x-

  • 1,    при условии, что х ^ 1.

(х-4)(х-3) < Q

(х-2)-

  • 4)    Решая с помощью метода интервалом, приходим к ответу:

    -   +   -+

о----о----•----•>-

1     2    3    4х

Рис. 1. Решение примера 1.

Множество решений исходного неравенства: (—^; 1) и (1; 2) U [3;4].

Ответ: (—^; 1) U (1; 2) и [3; 4].

Пример 2:

Решите неравенство х3 + 2x 2

24х2-х+3

х-3              .

Решение:

  • 1)    Необходимо перенести члены неравенства из одной части в

другую, применить правила сложения и вычитания алгебраических дробей:

х4+2х3-3х3-6х2-24х2+х-3-х+3 ^ q х-3             — х4-х3-30х2

х-3    —

  • 2)    При вынесении общего множителя и последующем разложение

числителя на множители получаем неравенство:

х2(х+5)(х-6) < q х-3

  • 3)    Решая с помощью метода интервалов, приходим к ответу:

    Рис. 2. Решение примера 2.


Множество решений исходного неравенства: (—^; —5] и {0} и

(3; 6].

Ответ: (—^; —5] и {0} и (3; 6].

Пример 3:

Решите неравенство ^- + ^1^ <5 [3].

Решение:

  • 1)    Необходимо перенести члены неравенства из одной части в

другую, применить правила сложения и вычитания алгебраических дробей:

5х2-15х+11 <  q

(х-1)(2-х) _   "

  • 2)    При разложении числителя на линейные множители получаем следующее неравенство:

15-У5     15+У5\

У 10 Д%  10 ) < 0

(х-1)(2-х)     _'

  • 3)    Применяем метод интервалов для неравенства: —     +      —     +—

    -----о-------•--------•------о*■

  • 1     15-V5 15 + V5 2 х

Рис. 3. Решение примера 3.

Таким образом, решить рациональные неравенстве, встречаемые в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по профильному уровню математики, можно с помощью тождественных преобразований, переходу к равносильному неравенству и дальнейшему применению метода интервалов.

Список литературы Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ

  • Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры в средней школе / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. - М.: Просвещение, 2004. - 167 с.
  • Никольский, С. М. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - М.: Просвещение, 2019. - 464 с.
  • Решу ЕГЭ [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/test?theme=242(дата обращения: 16.05.2021).
Статья научная