Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ
Бесплатный доступ
В статье ведется речь о рациональных неравенствах и равносильных им неравенствах. В тексте статьи представлены задачи, встречаемые в едином государственном экзамене по профильной математике, и их решение.
Неравенства, рациональные неравенства, равносильные неравенства, метод интервалов, профильная математика
Короткий адрес: https://sciup.org/140288625
IDR: 140288625
Текст научной статьи Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ
Неравенство - это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤ (меньше или равно).Неравенства, содержащие знак > или <, называют строгими, а содержащие знак > или <, - нестрогими [1].
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Неравенство, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно x, называют рациональным неравенством х.
Например, являются рациональными неравенства
х — 1
х2 — 5х + 5 1
х + 1 > х + 5 + ^"
(х —1)(х + 3) > 0, — <0,
При решении рациональных неравенств приходится умножать или делить обе части неравенства на неравное нулю число, переносить члены неравенства из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате получается неравенство, равносильно предыдущему, т.е. неравенство, имеющее те же решения [2].
Рассмотрим рациональное неравенство
^) >0, В(х)
где Л(х) и 5(х) - многочлены относительно x .
Любое решение неравенства (1) есть решение неравенства
Л(х)^(х)>0, (2)
Если x 0 – решение неравенства (1), то справедливо числовое неравенство ^у^) > 0 , означающее, что числа Л(х0) и В(х0) имеют B(X q )
одинаковый знак, то есть справедливом числовое неравенство Л(х0) • 5(х0) > 0. Из этого следует, что число х0 - решение неравенства (2).
Если многочлены Л(х) и 5(х) разлагаются в произведение разных двучленов вида х — х0, то все решения неравенства (1) можно получить, решив методом интервалом неравенство (2). Учитывая это обстоятельство, часто не переходят от неравенства (1) к неравенству (2), а говорят о применении метода интервалов к неравенству (1).
Пример 1:
Решите неравенство
х2-6х+8
х-1
х-4 х2-3х+2
< 0 [3].
Решение:
-
1) Необходимо разложить квадратные трехчлены, входящие в неравенство, на линейные множители:
х2 — 6х + 8 = (х — 4)(х — 2)
х2 — 3х + 2 = (х — 2)(х — 1)
Неравенство принимает вид:
(х-4)(х-2) х-4 „
--7----77----Г < о. х-1 (х-2)(х-1)
-
2) После приведения дробей к общему знаменателю, вычитания дробей и вынесения общего множителя неравенство преобразовывается к
следующему виду:
(х-4)(х-2)2-(х-4) <
(х-2)(х-1) <
(х-4)((х-2)2-1) <
(х-2)(х-1) <
( х-4)(х-1)(х-3) <
(х-2)(х-1) _
-
3) В последнем выражении можно сократить дробь на многочлен x-
- 1, при условии, что х ^ 1.
(х-4)(х-3) < Q
(х-2)-
-
4) Решая с помощью метода интервалом, приходим к ответу:
- + -+
о----о----•----•>-
1 2 3 4х
Рис. 1. Решение примера 1.
Множество решений исходного неравенства: (—^; 1) и (1; 2) U [3;4].
Ответ: (—^; 1) U (1; 2) и [3; 4].
Пример 2:
Решите неравенство х3 + 2x 2
—
24х2-х+3
х-3 .
Решение:
-
1) Необходимо перенести члены неравенства из одной части в
другую, применить правила сложения и вычитания алгебраических дробей:
х4+2х3-3х3-6х2-24х2+х-3-х+3 ^ q х-3 — х4-х3-30х2
х-3 —
-
2) При вынесении общего множителя и последующем разложение
числителя на множители получаем неравенство:
х2(х+5)(х-6) < q х-3
-
3) Решая с помощью метода интервалов, приходим к ответу:
Рис. 2. Решение примера 2.
Множество решений исходного неравенства: (—^; —5] и {0} и
(3; 6].
Ответ: (—^; —5] и {0} и (3; 6].
Пример 3:
Решите неравенство ^- + ^1^ <5 [3].
Решение:
-
1) Необходимо перенести члены неравенства из одной части в
другую, применить правила сложения и вычитания алгебраических дробей:
5х2-15х+11 < q
(х-1)(2-х) _ "
-
2) При разложении числителя на линейные множители получаем следующее неравенство:
15-У5 15+У5\
У 10 Д% 10 ) < 0
(х-1)(2-х) _'
-
3) Применяем метод интервалов для неравенства: — + — +—
-----о-------•--------•------о*■
-
1 15-V5 15 + V5 2 х
Рис. 3. Решение примера 3.
Таким образом, решить рациональные неравенстве, встречаемые в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ по профильному уровню математики, можно с помощью тождественных преобразований, переходу к равносильному неравенству и дальнейшему применению метода интервалов.
Список литературы Решение рациональных неравенств в задачах ЕГЭ
- Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры в средней школе / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. - М.: Просвещение, 2004. - 167 с.
- Никольский, С. М. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. - М.: Просвещение, 2019. - 464 с.
- Решу ЕГЭ [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/test?theme=242(дата обращения: 16.05.2021).