Решение расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах

Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1]-[3]

известны и их численные значения приведены в [1]-[3]. Уравнение (4) часто называют основным уравнением распространения. Его решение в лабораторной системе отсчёта с исходными параметрами имеет вид [4]

E ⁽ r , t ) = e x F ⁽ x , y ) A ⁽ z , t ) exp { i ( 3 o z - to ot ) } ,        (1)

где F ( x , y ) - обычно гауссовская функция вида exp { - ( x ² + y ² )/ w ² } с характерным размером моды w , A ( z , t ) - комплексная огибающая импульса, го_о - несущая частота, в о = ®_оп ( ® о )/ c - волновое число. Предполагается, что огибающая A ( z , t ) является медленно изменяющейся функцией своих аргументов, что означает малость её относительных изменений на интервалах времени порядка 1/ ю_о и расстояниях порядка 1/ в_о .

Для этой функции выведено уравнение [1]-[3]

дA о дA --+ В,--+ i д z    1 д t

в ₂ д ² A

2 д 11

= i ( АР ) A ,

называемое уравнением распространения. Правая часть этого уравнения описывает оптические потери и нелинейные эффекты посредством функции АР (| A |²), которая выражается через нелинейную часть показателя преломления А n с помощью фор-

мулы ко I"|"аnF(x, y)|2 dxdy

Ав =     ------- -₂ --------,

II | F ( x , y )| dxdy

где к_о = to _о I c . Коэффициенты в (2) имеют простой физический смысл: в | = 1/ v g - величина, обратная групповой скорости, а в 2 - дисперсия групповой скорости. В области прозрачности волновода А в является вещественной функцией от | A |². Уравнение (2) справедливо для импульсов длительностью >0,1 нс , что соответствует квазимонохроматическому приближению.

1. Постановка задачи

Для кварца нелинейность имеет керровский тип

А n = n ₂ E ² и из (2) и (3) следует уравнение

дA 1 дA iв2 д2A -+--+ —-г дz vg д t 2 д 11

=i y| Ai 2 A,

где y - коэффициент нелинейности. Для одномодовых кварцевых волокон все приведённые выше параметры

A = — ch

E_o ^ex P { ^iz Y E ²/² } ^Ео Vy ^{( z - z}o ^- v g t )

_        v g

где Е_о и z_o - произвольные постоянные, имеющие физический смысл пикового значения напряжённости и начального положения импульса.

Выражение (5) ущербно потому, что распределение импульсов по скоростям имеет вид Дельта-функции и что эта фиксированная для всех импульсов скорость не зависит от пикового значения напряжённости импульса. Физическая интуиция подсказывает, что чем больше пиковое значение напряжённости, тем больше величина скорости. Вызывает недоумение и отсутствие волнового числа в о .

Понимая серьёзность высказанных выше критических замечаний, авторы приведут подробный вывод расширенного уравнения распространения и его развёрнутое решение.

2. Вывод расширенного уравнения распространения

Исходным пунктом служит уравнение для напряжённости поля в спектральном представлении [1]

V ² E ( r, to-to о ) + e ( to ) k 2 E ( r, to-to о ) = 0,               (6)

M где E(r,to-toо) = | E(r,t)exp{i[to-toо]t}dt, e(to) -

-M диэлектрическая проницаемость, представимая в виде

£ = ( n + А n ) ² = n ² + 2 n А n .

Уравнение (6) решается стандартным методом разделения переменных:

E (r, to-to о) = F (x, y) A (z, to- to о) exp {ipyz} .(7)

Подставляя (7) в (6) и обозначая постоянную разделения как в ² , получим два уравнения:

²р а²/?

+     + [e(to) ко2-в2 ] F = 0,(8)

дx    дy

2 ^л^

|A + 2 i в о |A + (в2-в о2) ^A = 0.(9)

д z        д z

Уравнение (8) определяет распределение поля моды F ( x , y ) и поправку А в к постоянной распространения

в ( го) в линейном приближении в ( to ) = в ( to ) + Ав , о которых говорилось выше. Нашей дальнейшей задачей является рассмотрение уравнения (9). Мы не станем следовать указанию [1]–[3] пренебречь второй производной в (9) в силу предположения о медленной изменяемости функции A ( z , to-to _о ), а получим решение полного уравнения, следующего из (9), и все сравнительные оценки проведём в решении. Начнём с множителя при последнем слагаемом:

( в ² -в 2 ) = ( в-в о )( в+в о ) =

= ( в + Ав-в о )( в + Ав + в о ).

Разложим функцию в ( to ) в ряд Тейлора в окрестности точки to _о :

в(to) = в о +в1(to-to о ) + 2 ^(Ю-Ю о )2 +...., где степенями выше второй пренебрегаем, что соответствует квазимонохроматическому приближению. Подставляя это разложение в предыдущее выражение и обозначая to-toо = Ato, имеем:

(в2 - вО) = fв1Ato+ 2в2(Ato)2 + Ав jх хf2во + в1Ato+ 2в2 (Ato)2 + Авj г

= f в 1 Ato+ 2 в 2 ( Ato ) ² +Ав ^ 2 р о .

Здесь во второй скобке оставлен главный член 2 в _о . Подстановка этого приближённого выражения в (9) даёт 2

A д A                 1

+ 2 « в о 3- + 2 в о I в 1 Ato+-в 2 ( Ato ) +Ав I A = 0.

д z        д z      7        2              )

Обратное Фурье-преобразование приводит к следующему уравнению для огибающей A ( z , t ) :

д ² A „д A „ д A „ „ д ² A ,

3т ^{+ 2 г в} о ^{+ 2} « ^в о ^в 1 "ЧТ ^-в о ^в 2 37" ⁺ 2 ^в о ^{( Ав )} A = ⁰

дz         дz          д t        д t или с учётом (3)

. (дA о дA j   1 д2A в? д2A г I      + в1       I +

( д z      д t ) 2 в _о д z²     2 д t²

+ y| A² A = 0. (10)

Так как в области прозрачности кварца ( % = 1,55 мкм) величина в ₂ =- 20 пс²/км, то (10) является уравнением эллиптического типа. Представляет интерес нахождение его решения и исследование различных предельных случаев.

• 3.    Решение расширенного уравнения

Формально (10) переходит в (4) в пределе в _о ^ ^ . Учитывая этот факт и формулу (5), решение уравнения (10) можно искать в виде

A ( z , t ) = G ( z , t )exp { iz у £ 2 /2 ] , (11)

где G ( z , t ) – вещественная функция.

Подставляя (11) в (10) и приравнивая к нулю вещественную и мнимую части полученного уравнения, находим:

^G + [ Vg (1+ YЕ;/2в о )]-^ . 0, д2 G дz2

вгв^^- т -^ ^ ^ f 2в₀+2 2 ^^j G +

• ^{2 о} д t ²       2 I °⁰     2 I

  
  

+ 2 yP o G 3 = 0.

Таким образом, получена система двух уравнений на одну неизвестную функцию. Уравнение (12), будучи линейным однородным уравнением первого порядка, имеет своим общим решением любую дифференцируемую функцию G = G ( 5 ( z , t ) ) , где

5 (z, t) = z - Zo - vt, v = Vg (1 + yЕ2/2во).

Т.е. уравнение (12) определяет аргумент искомой функции, оставляя её вид произвольным. С учётом сказанного, уравнение (13) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение

G "( 5 ) = aG ( 5 ) - 2 bG ³ ( 5 ), (16)

где

= Y £ ² ( 2 в о +Y E ²/2 ) a" 2 ( 1 + ^2, в o V ² ) ,

b=   Yв о b 1 + ^2| вoV2'

Так как быстрые пространственные осцилляции уже отделены, то величина Y£2 /2 в формуле (11) яв- ляется малой добавкой к волновому числу βo. Поэтому вторым слагаемым в скобках числителя формулы (17) можно пренебречь по сравнению с 2βo:

• Ygo2в о

a "  1 + в21 в oV²'

Автономное уравнение (16) легко решается, и его локализованное решение имеет вид:

G = , Л-V- b ch(s a)

Подставляя сюда (14), (18) и (19), находим

G= ch

E o

( ^{z - z}o

- vt )

Y ^£о 2^в о

1 + ^2| в oV ²

Подставляя это выражение в (11), получим

A ( z , t ) =

ch

( ^{z -} z

Е о exp { « ^z Y Е^г 2 1 2 ]

.

Л     Y ^Е2 ^в о

^Vt M 1 + ^2| в oV ²

Это решение представляет собой волновой пакет, движущийся с постоянной скоростью, зависящей от пикового значения напряжённости согласно формуле (15), и в нём присутствует центральное волновое чис- ло вo, что коренным образом отличает его от формулы

(5). В пределе вo ^ ^ формула (20) переходит в (5), т.е. является более общей. Учитывая, что для кварца

X» 1,55 мкм; в2 =-20 пс2/км; n = 1,45, v = c / n , на ходим, что |в2| вov2 = 0,005. Так как эта величина сто- ит под знаком радикала, то ею можно пренебречь по сравнению с единицей и получить из (20) более простое приближённое решение уравнения (10):

A ( z , t )

E o exp { iz Y E_o ²/2 ]

ch [ ( z ^- z o ^-

^vt ) ^Eo X^V ]

Формула (21) получается из (20) при в ₂ ^ 0 ■ Таким образом, решение (20) уравнения (10) пертурбативно как по β_o , так и по β₂ .

Заключение

В заключение отметим, что, хотя (21) и (5) являются различными предельными случаями решения (20), формула (21) более физична, чем (5).