Решение статических и динамических трехмерных задач линейной электромагнитоупругости с помощью МГЭ
Автор: Марков И.П.
Статья в выпуске: 3, 2016 года.
Бесплатный доступ
Взаимосвязанность электрического, механического и магнитного полей вызывает повышенный интерес к электромагнитоупругим материалам. Благодаря своей способности преобразовывать один вид энергии в другой, электромагнитоупругие материалы находят широкое применение в различных областях науки и техники. В данной работе представлен прямой подход метода граничных элементов в пространстве Лапласа для решения статических и нестационарных динамических трехмерных задач линейной теории электромагнитоупругости. Использована стандартная система сокращенных обозначений для записи связанной задачи. Подход основан на интегральном уравнении для перемещений. Обобщенные фундаментальные решения в изображениях по Лапласу записаны в виде суммы сингулярной и регулярной частей. Динамическая часть выражена как интеграл по единичной полусфере, сингулярная статическая часть - как интеграл по единичной окружности. Для пространственной дискретизации применен классический узловой метод коллокаций вместе со смешанными граничными элементами. На каждом граничном элементе обобщенные перемещения и поверхностные усилия аппроксимируются линейными и постоянными функциями формы. Для уменьшения времени вычислений динамические части фундаментальных решений и их производные интерполируются по граничных элементам. Для получения решения во временной области используется схема численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Представлены два численных примера: задача о статическом поведении прямоугольного параллелепипеда под действием заданной нагрузки и задача о нестационарном отклике единичного куба под действием равномерно распределенной нагрузки в виде функции Хевисайда по времени. Представлено исследование на наличие сеточной сходимости в случае динамической задачи, и получено очень хорошее соответствие гранично-элементных решений с аналитическими результатами для статической задачи.
Статика, динамика, интегральное уравнение, метод граничных элементов, электромагнитоупругость, преобразование лапласа, метод дурбина, метод коллокаций, связанные задачи, фундаментальные решения
Короткий адрес: https://sciup.org/146211618
IDR: 146211618 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.08
Static and dynamic analysis for 3d problems of linear magneto-electro-elasticity using BEM
Magneto-electro-elastic materials have drawn increasing attention due to their magnetic-electric-mechanical coupling effect. They have the ability to convert the energy from one type to another and have a wide range of technical applications. This paper presents a Laplace domain direct boundary element formulation for static and transient dynamic problems of three-dimensional linear magneto-electro-elasticity. The standard contracted notation is used to express the coupled problem in the elastic-like fashion. The formulation is based on the displacement boundary integral equation. The Laplace transformed generalized fundamental solution is represented as a sum of singular and regular parts. Dynamic part is expressed as the surface integral over a half of a unit sphere and singular static part as an integral over a unit circumference. Classical collocation scheme is employed along with the mixed boundary elements for spatial discretization. The boundary is discretized with quadratic quadrilateral elements. Generalized displacements and tractions are approximated by linear and constant shape functions in each boundary element. In order to accelerate the integration process, regular dynamic parts of the fundamental solutions and their spatial derivatives are interpolated over a boundary element. Time domain solutions are retrieved via a numerical inversion technique. Two numerical examples are presented: static behaviour of the rectangular prism under prescribed tension and transient response of the unit cube under uniform uniaxial impact loading. A convergence study is presented for the dynamic problem and excellent agreement with the analytical solution is achieved for the static problem.
Список литературы Решение статических и динамических трехмерных задач линейной электромагнитоупругости с помощью МГЭ
- Pan E., Heyliger P.R. Exact solutions for magneto-electro-elastic laminates in cylindrical bending//Int. J. Solids. Struct. -2003. -Vol. 40. -No. 24. -P. 6859-6876 DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2003.08.003
- Heyliger P.R., Pan E. Static Fields in Magnetoelectroelastic Laminates//AIAA J. -2004. -Vol. 42. -No. 7. -P. 1435-1443.
- Ding H., Jiang A. A boundary integral formulation and solution for 2D problems in magneto-electro-elastic media//Comput. Struct. -2004. -Vol. 82. -No. 20-21. -P. 1599-1607 DOI: 10.1016/j.compstruc.2004.05.006
- Green’s functions for two-phase transversely isotropic magneto-electro-elastic media/H.J. Ding, A.M. Jiang, P.F. Hou, W.Q. Chen//Eng. Anal. Bound. Elem. -2005. -Vol. 29. -No. 6. -P. 551-561 DOI: 10.1016/j.enganabound.2004.12.010
- Li X.-C., Yao W.-A. Virtual boundary element-integral collocation method for the plane magnetoelectroelastic solids//Eng. Anal. Bound. Elem. -2006. -Vol. 30. -No. 8. -P. 709-717 DOI: 10.1016/j.enganabound.2006.03.004
- Daga A., Ganesan N., Shankar K. Harmonic response of three-phase magneto-electro-elastic beam under mechanical, electrical and magnetic environment//J. Intel. Mat. Syst. Str. -2009. -Vol. 20. -No. 10. -P. 1203-1220 DOI: 10.1177/1045389X09103307
- Daga A., Ganesan N., Shankar K. Transient Dynamic Response of Cantilever Magneto-Electro-Elastic Beam Using Finite Elements//Int. J. Comput. Meth. Eng. Sci. Mech. -2009. -Vol. 10. -No. 3. -P. 173-185 DOI: 10.1080/15502280902797207
- Milazzo A., Orlando C., Alaimo A. An analytical solution for the magneto-electro-elastic bimorph beam forced vibrations problem//Smart. Mater. Struct. -2009. -Vol. 18. -No. 8. -P. 085012 DOI: 10.1088/0964-1726/18/8/085012
- Fast multipole boundary element analysis for 2D problems of magneto-electro-elastic media/X. Zhu, Z. Huang, A. Jiang, W.Q. Chen, N. Nishimura//Eng. Anal. Bound. Elem. -2010. -Vol. 34. -No. 11. -P. 927-933 DOI: 10.1016/j.enganabound.2010.06.006
- Milazzo A., Orlando C. A beam finite element for magneto-electro-elastic multilayered composite structures//Compos. Struct. -2012. -Vol. 94. -No. 12. -P. 3710-3721 DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.06.011
- Three-dimensional BEM for transient dynamic analysis of piezoelectric and anisotropic elastic solids/L. Igumnov, I. Markov, I. Vorobtsov, S. Litvinchuk, A. Bragov//EPJ Web Conf. -2015. -Vol. 94. -P. 04025 DOI: 10.1051/epjconf/20159404025
- Igumnov L.A., Markov I.P. Boundary-element modeling of three-dimensional anisotropic viscoelastic solids//Springer Proc. Phys. -2016. -Vol. 175. -P. 517-526 DOI: 10.1007/978-3-319-26324-3_36
- Pan E. Three-dimensional Green’s function in anisotropic magneto-electro-elastic biomaterials//Z Angew Math. Phys. -2002. -Vol. 53. -P. 815-838.
- Buroni F.C., Saez A. Three-dimensional Green's function and its derivative for materials with general anisotropic magneto-electro-elastic coupling//Proc. R. Soc. A -2010. -Vol. 466. -No. 2114. -P. 515-537 DOI: 10.1098/rspa.2009.0389
- Time-harmonic Green’s functions for anisotropic magnetoelectroelasticity/R. Rojas-Diaz, A. Saez, F. Garcia-Sanchez, Ch. Zhang//Int. J. Solids Struct. -2008. -Vol. 45. -No. 1. -P. 144-158 DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2007.07.024
- Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. -М.: Физматлит, 2008. -352 с.
- Matsumoto T., Tanaka M., Ogawa Y. A simple technique for efficient evaluations of boundary integrals of time-harmonic elastodynamic BEM analyses for anisotropic solids//Proceedings Second MIT Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics. 2003. -P. 2071-2073 DOI: 10.1016/B978-008044046-0.50508-X
- Durbin F. Numerical Inversion of Laplace Transforms: An Efficient Improvement to Dubner and Abate's Method//Comput. J. -1974. -Vol. 17. -No. 4. -P. 371-376 DOI: 10.1093/comjnl/17.4.371
- Zhao X. An efficient approach for the numerical inversion of Laplace transform and its application in dynamic fracture analysis of a piezoelectric laminate//Int. J. Solids Struct. -2004. -Vol. 41. -No. 13. -P. 3653-3674 DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2004.01.006
- Xue C.-X., Pan E. On the longitudinal wave along a functionally graded magneto-electro-elastic rod//Int. J. Eng. Sci. -2013. -Vol. 62. -P. 48-55 DOI: 10.1016/j.ijengsci.2012.08.004
- Qin Q.-H. Green's Function and Boundary Elements of Multifield Materials. -Elsevier Science, 2007. -266 с.
- Wang C.-Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green's functions and time-domain BIEs for piezoelectric solids//Eng. Anal. Bound. Elem. -2005. -Vol. 29. -No. 5. -P. 454-465 DOI: 10.1016/j.enganabound.2005.01.006
