Решение уравнения неразрывности консервативным полулагранжевым методом с разными шагами по времени в разных частях вычислительной области

Течение газа, вытекающего из сопла ракеты, описывается системой уравнений Навье - Стокса. Для поиска решения уравнений Навье - Стокса в общем случае используются численные методы. Однако даже современные численные методы не позволяют осуществить моделирование течения газа с учетом всех особенностей течения. Это связано со сложными физическими процессами, возникающими при течении газа из сопла, и ограничением вычислительных возможностей. Существует как минимум два пути решения этой сложности: разрабатывать численные методы, использующие меньшую вычислительную сложность, или повышать производительность вычислительных систем. В связи с этим, целью многих научных исследований является разработка численных методов, которые по отношению к существующим методам требуют меньше вычислительных ресурсов и, одновременно с этим, позволяют находить решение без потери точности. В 1959 г. Aksel C. Wiin-Nielsen представил новый численный метод для решения задачи прогнозирования погоды, названный методом траекторий. В 1966 г. К. М. Магомедов использовал аналогичных подход при разработке численного алгоритма для поиска численного решения задачи, моделирующей трехмерное течение газа. В 1982 г. O. Pironneau развил этот метод для построения численного решения двумерных уравнений Навье - Стокса. В настоящее время эти методы интенсивно развиваются и у них устоялось общее название: полулагранжевы или эйлеролагранжевы методы. Чтобы использовать преимущества этого подхода, ученые раскладывают уравнения Навье - Стокса на три составляющие: конвективная часть (гиперболическая часть уравнений), эллиптическая часть и часть известных величин, которая записывается в правой части уравнений. При решении уравнений Навье - Стокса полулагранжевы методы используются для аппроксимации конвективной части. К этой части относятся все слагаемые уравнения неразрывности. Для разработки численного метода мы будем искать решение уравнения неразрывности. Консервативные версии полулагранжевых методов основаны на теореме Гаусса - Остроградского (теорема о дивергенции в зарубежной литературе). Такой подход позволяет достигнуть выполнения закона сохранения для численного решения задачи в норме пространства L1. Целью нашего исследования является разработка численного алгоритма с использованием разных шагов по времени в разных частях вычислительной области. Это позволит добиться выполнения одновременно трех важных свойств: сходимости численного решения задачи к точному ее решению, снижения вычислительной сложности метода, выполнения закона сохранения без использования поправочных (весовых) коэффициентов. Чтобы построить такой алгоритм, мы разбили одномерную вычислительную область на две части (подобласти), в которых мы используем разные шаги по времени. Основная сложность при разработке алгоритма состоит в поиске численного решения на границах двух подобластей. Одномерное (по пространству) уравнение неразрывности является тестовым уравнением для разработки алгоритма, на котором показана принципиальная возможность создания алгоритма с указанными свойствами. В дальнейших исследованиях этот алгоритм будет обобщен для решения двумерной и трехмерной задач. При моделировании реальных задач описанный подход позволит более точно моделировать течение газа без искусственного размывания, связанного с вычислением интегралов на нижнем слое по времени, в частях вычислительной области с высоким уровнем изменения численного решения