Решение в квадратурах уравнения распространения импульсов в оптических волокнах

Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1]

E ( r , t ) = e x F ⁽ x , y ) A ⁽ z , t )exp { i ( P oZ -to o t ) } ,       ⁽¹⁾

где F ( x , y ) – обычно гауссовская функция вида exp { - ( x ² + y 2 )/ w ² } с характерным размером моды w , A ( z , t ) - комплексная огибающая импульса, to _o - несущая частота, в _o - центральное волновое число.

Огибающая A ( z , t ) является медленно изменяющейся функцией своих аргументов, что означает малость её относительных изменений на интервалах времени порядка 1/ to _o и расстояниях порядка 1/ в _o .

Для этой функции выведено уравнение [1], [2]

д A _п д A . в₂ д ² A _v._nx.

^{+ в}1Ч7 ⁺ i . . = ^{1 ( Ав )} A ,                  ⁽²⁾

д z     д t 2 д t

называемое уравнением распространения. Правая часть этого уравнения описывает оптические потери и нелинейные эффекты посредством функции АР (| A |²), которая выражается через нелинейную часть показателя преломления А n с помощью формулы

что согласно (3) приводит к степенному разложению функции Ав :

Ав = у| A|2 +ц| A|4 + •••, (4) где параметры у и ц зависят от характеристик световода. При малых интенсивностях оптического поля вторым слагаемым пренебрегают; с помощью нестандартной замены переменных [1]: т = (t - z / vg) / To, где To -начальная длительность импульса; A(z, t) = P^U(z,т), где Po – пиковая мощность начального импульса; £ = z / LD , где Ld = To2 / |в2| - дисперсионная длина, уравнение (2) обезразмеривается и принимает вид i ^дт=-2 "U - N2 ui 1U, где N2 =yPoTo2/ |P2| . Наконец, после замены U = u / N получается «перевёрнутое» безразмерное нелинейное уравнение Шрёдингера с кубической нелинейностью

. д u 1 д² u I i2       .

i--+--^+ u u = 0, д^ 2 дт2 1 1          , которое решается методом обратной задачи рассеяния. Фундаментальный солитон имеет вид

Ав =

к₀ Ц А nF ( x , y )| 2 d x d y

∫∫ F ( x , y )²d x d y

x exP {i^ /2} u Й, т) =---------- ch т

.

где k₀ = to ₀ / c . Коэффициенты в (2) имеют простой физический смысл: в 1 = 1/ v g — величина, обратная групповой скорости, а в 2 — дисперсия групповой скорости. В области прозрачности волновода Ав является вещественной функцией от A ² . Уравнение (2) справедливо для импульсов длительностью >  0,1 nc , что соответствует квазимонохроматическому приближению.

После всех обратных подстановок находим однопараметрическое семейство решений

A = J9 - exp {

’ Y o ch-

iz /2 L D }

- z / V g

T o

.

Стандартный метод решения

Уравнение (2) обычно решают следующим образом. При малых пиковых значениях интенсивности вводимого излучения нелинейную часть показателя преломления представляют степенным рядом а n = n 2 |e| 2 + n 4 |e|4 +—,

Альтернативный метод решения

Целью данной работы является решение уравнения (2) в квадратурах. Решение будет проводиться в лабораторной системе отсчёта без конкретизации функции нелинейного отклика Ав , т.е. в максимально общем виде. Подстановка

A ( z , t ) = V ? exp { iqz } , (5) где q – малая поправка к центральному волновому числу в _o , в (2) приводит после отделения веществен-

ной и мнимой частей к следующим двум уравнениям для оптической интенсивности огибающей

I ⁽ z , t ) = A ⁽ z , t )|2 ^:

d I _R d I . --+ P>    = 0, d z d t

P = (dI /ds) /41, являющееся следствием первого уравнения системы, и полагая H(I, P) = 0, получим dI = ^2 J(IG(I) - qI2) / ₽2 . ds    v„ v '

в

_ d ² 1 ( д I J

² I * ^- V5 t J

- 8 qI ² + 8 1 ² Ар ( I ).

Интегрируя это выражение, найдём решение уравнения (9) в квадратурах:

Таким образом, на одну функцию получено два уравнения. Уравнение (6) является линейным и однородным, что позволяет написать его общее решение, являющееся произвольной дифференцируемой функцией I = I ( 5 ), где

dI272

—1             =

IJ(G(I)/1 - q) / P2

Аддитивная постоянная интегрирования в (12) учтена в значении z o из (8). Формула (12) в неявном виде определяет двухпараметрическое семейство решений.

5 ( z , t ) = z - Z o - v_gt .                                     (8)

Здесь учтено, что Р, = 1/ vg. Иными словами, уравнение (6) определяет аргумент искомой функции, оставляя её вид произвольным. Так как дI dI д s      dI

--—--— — V  ;

д t ds д t     g ds д21 _ 2d2I at2=Vg dS2 ’ то (7) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:

2 1 d? - f J = .8 I [ Ав ( I ) - q ] .                (9)

d s V d s )    P ₂ v_g

Приложения альтернативного метода

Применим полученный результат к кварцевому волноводу в случае керровской нелинейности: Ав = у I ; G = у 1 ² / 2 . Тогда из (12) имеем

J

d I    = 2 ^qs

I^q -y I ^/2" V g

Вычисляя интеграл [5] и обращая полученное выражение, находим

I =

chh

² q / y

" 2 qs s

_ v g aS

Уравнение второго порядка (9) эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:

— = 4 IP , d s

Из (4) следует, что числитель в последней формуле имеет размерность B ²/ m ² и является наибольшим значением функции I ( s ). Поэтому 2 q / y = Р ², где E_o - пиковое значение напряжённости. Следовательно,

= - 2 р 2 - Л+ + АР ( 7 ). ^{d s            в} 2 v g ₽ 2 v g

Последняя система является гамильтоновой с га-

мильтонианом вида

H ( I , P )

V

^{2 P} ^g )

I -

G ( I ) в V g

где

G ( I ) = J Ар ( I )d I ,                              (11)

т.е. G ( I ) является первообразной функции нелинейного отклика.

Следовательно, для уравнения (9) существует частица-аналог, подчиняющаяся классическим уравнениям динамики. Иными словами, (9) является уравнением Эйлера-Лагранжа для механической частицы-аналога.

Хорошо известно [3], [4], что решения I ( s ), асимптотически стремящиеся к нулю на бесконечности, существуют (если они, конечно, существуют) при нулевой энергии механической частицы-аналога, т.е. при H =0. Подставляя в (10) выражение

I = E ²/ chh

E o Vy ^s . vg

По формуле (5) находим окончательный результат

A = — ch

E o exp { iz Y E , ^2/2 ]

^Eo VY'^{( z -} z o ^{- V}g^t ) .       vg \^в ;

В допированных волокнах с многослойной оболочкой второй член в формуле (4) сравним с первым, а при достаточно больших интенсивностях вводимого излучения становится доминирующим. В этом случае имеем некерровскую нелинейность: Ар = ц 1 ²; G = ц 1 ³ / 3 . Вычисляя интеграл (12) для этого случая и обращая полученное выражение , находим

E ²

I =--F-----

, где E o = 3 q / ц .

ch

g

И,  наконец, для смешанной  нелинейности:

АР = у I + ц 1 2 ; G = Y 1 2 /2 + ц 1 3 /3, вычисляя интеграл в (12) с помощью подстановки 1 / 1 = ^ , получаем

I =

E o ²

1 + /1 + 4^ E- ch 3 Y

T2Y ^Eo S

где Е^г_о = 4 q / y .

Отметим пертурбативность этого результата относительно ц и непертурбативность относительно y .

Заключение

Таким образом, решение задачи о распространении оптических импульсов в одномодовых волоконных световодах, описываемой дифференциальным уравнением в частных производных (2), сводится к вычислению первообразной в левой части уравнения (12) и обращению полученного выражения, что является, несомненно, более простой задачей.

Для графического анализа обращение полученного выражения не требуется.