Решение задачи стабилизации трехсекторной модели отрасли

Введение. Актуальность исследования математической модели горнометаллургического производства [1] как многосвязной нелинейной динамической системы обусловлена тем, что рассматриваемая модель может быть применена при изучении переходных процессов, происходящих при смене одного варианта экономической политики другим.

В соответствии с [2] рассмотрим трехсекторную модель отрасли в абсолютных показателях, которая включает:

1) четыре линейных динамических элемента первого порядка:

Cекторы трехсекторной модели экономики (1)–(3) имеют следующее назначение: материальный (нулевой) сектор производит предметы труда (топливо, электроэнергию, сырье и другие материалы); фондосоздающий (первый) — средства труда (машины, оборудование, силовые устройства, производственные здания и сооружения); потребительский — предметы потребления (продовольственные и непродовольственные товары, непроизводственные здания и сооружения, вооружение и другие предметы конечного непроизводственного назначения).

Постановка задачи. Решается следующая задача: оценить структурную устойчивость (гиперболичность) неподвижных точек для каждой области параметров ( 9 _i ,s _i ) , обеспечивающих экономический рост фондовооруженности секторов.

Определение области параметров ( 9 _i ,s _i ) для обеспечения экономического роста. Пусть использованы производственные функции (3) Кобба — Дугласа

X i = F i ( K i ,L i ) = AK a L] ^{- a} i , i = 0 , 1 , 2 , (4)

где A i — коэффициент нейтрального технического прогресса; α i — коэффициент эластичности по фондам.

Обозначим через 9i = Li/L, si = li /X1 (i = 0, 1, 2) доли секторов в распределении трудо вых и инвестиционных ресурсов (2), удовлетворяющих условиям сбалансированности

9о + 91 + 92 = 1, sо + si + s2 = 1, 9i > 0, si > 0.(5)

Тогда уравнение материального баланса принимает вид

(1 - a о) x о = a i x 1 + a 2 x 2,(6)

а производственные функции (4) определяются в относительных показателях:

Xi = 9Aik“i, i = 0, 1, 2,(7)

i где xi = Xi/L, ki = Ki/Li (i = 0, 1, 2) — производительность труда и фондовооруженность в расчете на одного занятого в i-м секторе соответственно.

Уравнения (1) для фондовооруженности секторов запишем в следующем виде:

dk _i dt

s i                                K _i ⁰     ₀

^-^ i k i + x", 1 , X i = Ц г + ^v, k i ⁽⁰⁾ = 0 = k i , i = ⁰ , ¹ , ² .

θ _i                                  L _i

Используя производственную функцию из (7), дифференциальные уравнения (8) пред- ставим в виде [2]

^k о = ^—Л о к о + — ⁹ 1 A 1 k ^ ¹ , k о ⁽⁰⁾ = к 0 ,

θ 0

k 1 = — л 1 k 1 + s 1 A 1 k ^{a 1} , k 1 (0) = k о ,                              (9)

k 2 = —X 2 k 2 + — 9 1 A 1 k ^ ¹ , k 2 (0) = k ^о ,

θ 2

где k i ( i = 0 , 1 , 2) — фондовооруженность в расчете на одного занятого в i -м секторе; s i — доли секторов в распределении инвестиционных ресурсов; θ _i — доли секторов в распределении трудовых ресурсов; X i , A 1 , a i ( i = 0 , 1 , 2) — заданные постоянные величины.

Стационарные положения равновесия (особые точки) для системы (9) определим из нелинейной системы уравнений

—X о k о + —6 1 A i k । ¹ — 0 , —X i k 1 + s 1 A 1 k “ ¹ — 0 , —X 2 k 2 + —6 1 A 1 k ^{a 1} — 0 .       (10)

Решая данную систему уравнений, получаем следующие особые точки:

k c — ( sA ) ¹ " ” ¹ , k 0 — УТ A 1 ( k 1) ^{a 1} , k » — I T A ^{1 (} k ‘ ) ^{a 1} •             (11)

λ 1                   λ 0 θ 0                    λ 2 θ 2

Для обеспечения роста фондовооруженности секторов необходимо выполнение неравенства dk

-> > 0,    i — 0, 1,2, dt из которого следуют условия

λ ₀ θ ₀ k ₀ ⁰

s ⁰ > A 1 6 1 ( k 0 ) a 1 ’

Используя (11) , (12) , получаем

_      X1 (-a 1     s s1 > A k1       , s2

>

λ 2 θ 2 k ₂ ⁰

6 1 A 1 ( k 0 ) ^{a 1} •

k 0 < k 0 , i — 0 , 1 , 2 .

Следовательно, условиям (13) удовлетворяют особые точки (11) , для которых матрица Якоби системы (9) принимает вид

	-λ 0	s 0 θ 1 α 1 λ 1	0
		θ 0 s 1
A —	0	—X 1 (1 — а 1 )	0	•                                   (14)
	0	s 2 θ 1 α 1 λ 1	-λ 2
		θ 2 s 1

Если матрица A не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью, то положение равновесия ( k 0 , k c , k 0 ) , определенное в (11) , называется гиперболической, или невырожденной неподвижной точкой и асимптотическое поведение решений вблизи нее (и, следовательно, тип устойчивости) определяется при линеаризации (9).

Характеристическое уравнение для матрицы A (14) имеет вид

	X + X 0	s 0 θ 1 α 1 λ 1 -   θ 0 s 1	0
IXE — A| —	0	X + X 1 (1 — а 1 )	0
	0	s 2 θ 1 α 1 λ 1	X + X 2
		-   θ 2 s 1

— ( X + X о )( X + X 1 (1 — а 1 ))( X + X 2 ) — 0 . (15)

Так как X i >  0 , 0 < а 1 <  1 , i — 0 , 1 , 2 , то получаем отрицательные характеристические корни. Следовательно, положения равновесия ( k 0 , k c , k 0 ) , определенные в (11) , являются гиперболическими, или невырожденными неподвижными точками.

Построение отображений сопряжений для неподвижных точек трехсекторной модели. Эффективный метод исследования дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы их не решать, а преобразовывать к возможно более простому виду. Теория Пуанкаре нормальных форм указывает такие наиболее простые формы, к которым можно привести дифференциальное уравнение в окрестности положения равновесия или периодического движения.

Приведение к нормальным формам осуществляется с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия или периодического движения. Если эти ряды сходятся, то метод нормальных форм оказывается весьма эффективным методом исследования дифференциальных уравнений: несколько первых членов ряда нередко дают информацию о поведении решений, достаточную для построения фазового портрета.

Согласно теореме Пуанкаре в классе формальных степенных рядов “нерезонансное” векторное поле может быть приведено к своей линейной части в особой точке формальным диффеоморфизмом.

Теорема 1. Если собственные числа матрицы A являются нерезонансными, то уравнение x = Ax + ... формальной заменой переменной x = y + ... приводится к линейному уравнению y = Ay ( многоточия означают ряды, начинающиеся с членов выше первой степени ).

Доказательство теоремы Пуанкаре состоит в последовательном исключении членов второй, третьей и т. д. степеней в правой части. Каждый шаг основан на решении линейного гомологического уравнения.

Преобразуем дифференциальные уравнения (9) , используя замену переменных

X i =

k i - k _i ^c

k _i ^c

i = 0 , 1 , 2 .

Тогда получаем x о = —А о x о + А о[( x i + x i = —А i x i + А1 [(x 1 + x 2 = —А 2 X 2 + А 2 [(X1 +

1) ^{a 1} — 1] , x о (0) = x 0 ,

1) ^{а 1} — 1] ,   x 1 (0)= x 1 ,

1) ^{а 1} — 1] , x 2 (0) = x 2 .

В соответствии с [3] выполним преобразования дифференциальных уравнений (17) в окрестности положения равновесия. Приведение к нормальным формам осуществляется с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия:

x о = —А о x о + А о ( a 1 x 1 +	2 a 1 ( a 1	— 1) x 1 +	- a 1 ( a 1 — 1)( a 1 — 2) x 3 + 6	... ) ,	x о (0) = x о ,
x 1 = —А 1 x 1 + А 1 ( a 1 x 1 + ^	a 1 ( a 1 —	1 1) x 1 + ё 6	a 1 ( a 1 — 1)( a 1 — 2) x 1 + ..	. ) ,	x 1 (0) = x 1 ,   (18)
x 2 = —А 2 x 2 + А 2 ( a 1 x 1 +	2 a 1 ( a 1	— 1) x 1 +	- a 1 ( a 1 — 1)( a 1 — 2) x 1 + 6	... ) ,	x 2 (0) = x 2 .

Так как собственные числа матрицы A (15) являются нерезонансными, то уравнение

—A 0      A 0 a 1

A =

0   —A 1(1 — a i)0

0       A 2 a i

Из результатов работы [4] следует, что в случае гиперболичности использование локального анализа является очень эффективным. Из теоремы Хартмана — Гробмана следует, что динамика гиперболического отображения во многом подобна динамике его линейной части.

Рассмотрим систему уравнений (18) и докажем, что вблизи гиперболической неподвижной точки отображение топологически сопряжено со своей линейной частью.

Теорема 2. Пусть fo( X) = —A 0 x 0 + A o[( x 1 + 1)a 1 — 1], x = (x 0 ,x 1 ,x 2), fi( x) = —A1 x 1 + A i[( x 1 + 1)a 1 — 1],                               (23)

f2(x) = —A2x2 + A2[(x 1 + 1)a 1 — 1], такой C^-диффеоморфизм с гиперболической неподвижной точкой {0},что линейная часть {fо(x), f1(x), f2(x)} в точке {0} не имеет резонансов. Тогда в некоторой окрестности точки {0} диффеоморфизм {f0(x), f1 (x), f2(x)} C^-сопряжен со своей линейной частью.

Доказательство. Для построения сопряжений сначала рассмотрим отображение f 1 ( x ) , а затем f ₀ ( x ) и f ₂ ( x ) .

Приведем выражения (23) к нормальным формам с помощью рядов по степеням отклонения от равновесия:

fо(x) = —A0x0 + Ao(a 1x 1 + ~ a 1(a 1 — 1)x 1 + 7 a 1(a 1 — 1)(a 1 — 2)x3 + ...), 26

f 1(x) = —A1 x 1 + A 1(a 1 x 1 + — a 1(a 1 — 1)x 1 + — a 1(a 1 — 1)(a 1 — 2)x 3 + ...),(24)

f 2 ( x ) = —A 2 x 2 + A ₂ ( a 1 x 1 + — a 1 ( a 1 — 1) x 1 + — a 1 ( a 1 — 1)( a 1 — 2) x ³ + ... ) .

Для того чтобы получить отображение f 1 ( x ) , построим сопряжение H 1 ( у ) , используя замену переменных (20) x 1 = H 1 ( у 1 ) = у 1 + h 1 ( у 1 ) , где h 1 ( у 1) — однородный многочлен степени n >  2 .

Покажем, что равенство x 1 — —A1 x 1 + A1

a 1 x 1 + 2 a 1 ( a 1

— 1) x 1 + ^_ a 1 ( a 1 — 1)( a 1 — 2) x 1 + ...

1 6                             1

x 1 (0) = x 0

сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (25) подобна динамике линейного уравнения

^/ 1 = —A 1 (1 — a 1 ) у 1 .

Найдем ряд

H 1 ⁽ у 1 ) = у 1 + h 12 у ² + h 13 у ³ + ... + h 1 п у n + ...,

где коэффициенты h _{1 i} подлежат определению. Используя условие сопряженности, из уравнений (25), (26) определяем коэффициенты ряда (27)

_ ^a i          ^а 1 (2 ^а 1 — 1)

¹² - у ,   13 =      ^

Аналогично определяем коэффициенты для fо(х). Построим сопряжение Hо(у), используя замену переменных х о - Hо( у)- у о + h о( у 1),                                (29)

где hо(у 1) — однородный многочлен степени n > 2. Покажем, что равенство х о — —А о x о + А о

а 1 х 1 + ^ а 1 ( а 1

-

1) х ^ + — а ^( а ^ — 1)( а ^ — 2) х ^ + • • • ) , Хо (0) — Х л 6

сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (30) подобна динамике линейного уравнения уо — — А о уо + А о а 1у 1 •

Найдем ряд для (29):

H о ^{( у} ) ^{— у} о + h о2 ^у 2 + h оз ^у 3 + • • • + h о п ^у n + • • •

(коэффициенты h _{0 i} подлежат определению). Используя условие сопряженности, из уравнений (30), (31) определяем коэффициенты ряда (32)

А о а 1 (2 а 1 — 1)             А о а 1 (2 а 1 — 1)(3 а 1 — 2)

^{2( А} о ^{— 2 А} 1 ^{(1 — а} 1 )) ’   ^о 3      ^{6( А} о ^{— 3 А} 1 ^{(1 — а} 1 ))

Аналогично определяем для f ₂ ( х ) . Построим сопряжение H ₂ ( у ) , используя замену переменных х ₂ — H ₂ ( у ) — у 2 + h ₂ ( у 1 ) , где h ₂ ( у 1 ) — однородный многочлен степени n >  2 .

Покажем, что

З С 2 — — А 2 Х 2 + А 2

а 1 х 1 + 2 а 1 ( а 1

-

1) х 1 + — а 1 ( а 1 — 1)( а 1 — 2) х 1 + • • • ), х 2 (0) — х 2

1 ₆                              1                           2

сопряжено со своей линейной частью, т. е. динамика уравнения (34) подобна динамике линейного уравнения у2 — —А 2 у 2 + А 2 а 1 у 1 •

Найдем ряд

H 2 ^{( у} ) ^{— у} 2 + h 22 ^у 2 + h 23 ^у 3 + • • • + h 2 п ^у n + • • • ,

где коэффициенты h 2 i подлежат определению. Используя условие сопряженности, из уравнений (34), (35) определяем коэффициенты ряда (36)

A 2 a 1 (2 a 1 — 1)       ,      A 2 a 1 (2 a 1 — 1)(3 a 1 — 2)

2( A 2 — 2 A 1 (1 — a 1 )) ’           6( A 2 — 3 A 1 (1 — a 1 ))

Теорема доказана.

Найдем решение x 1 ( t ) и y 1 ( t ) и определим асимптотическое поведение решений линеаризованной системы вблизи положения равновесия из системы уравнений (17) и (26) в следующем виде [5]:

x 1 ( t ) = (1 + с e ^{А 1 ( а 1} - 1) t ) ¹ "  1 — 1 , c =( x 0 + 1) ^{1 а 1} — 1;                    (38)

y 1 ( t )=e ^{А 1 ( a 1 -} 1) t y 1 (0) .                                       (39)

Решения (38), (39), связанные соотношением x 1(t)=f1 + cy<)   1 — 1, c =(x 1(0)+ 1)1-a 1 — 1, y 1(0) =

y 1 (0)

запишем в виде ряда x 1(t) = y 1(t) + у y2(t) + a 1(2“1  y3(t), ■■■■

Отметим, что коэффициенты ряда (40) соответствуют коэффициентам (28) ряда (27) . Из системы уравнений (17) и (31) находим решение x ₀ ( t ) и y ₀ ( t ) :

t xо(0) + A0   eА0т((x 1 + 1)а 1 — 1)dT I ;                   (41)

A 0 a 1 y 1 (0)                A 0 a 1

y ^{0 (} t ’ = e ° ( y ^{0 (0) —} A 0 — A 1 (1 — a 1 )) ⁺ A 0 — A 1 (1 — a 1 ) y 1 ⁽ t ) '             ⁽⁴²⁾

Решения (41), (42) связаны соотношением x0(t) = y0(t) +

A 0 a 1 (2 a 1 — 1)      2

^{2( A} 0 ^{— 2 A} 1 ^{(1 — a} 1 )) ^1

A 0 a 1 (2 a 1 — 1)(3 a 1 — 2) ^{6( A} 0 ^{— 3 A} 1 ^{(1 — a} 1 ))

y ₁ ³ ( t ) + ■ ■ ■ ,

в котором учтено соотношение (40) , представленное в виде

α ₁

⁽ x 1 ⁽ t ^{) + 1) а 1} =(¹⁺ cyl ) ¹ ■ * ¹ ,

и начальное условие y0(0) = x0(0) —

A ₀ a ₁ (2 a ₁ — 1)     ₂

^{2( A} 0 ^{— 2 A} 1 ^{(1 — a} 1 )) ^1

-

^A 0 ^a 1 ^{(2 a} 1 ^{— 1)(3 a} 1 ^{— 2)} 3 (0) + ^{6( A} 0 ^{— 3 A} 1 ^{(1 — a} 1 )) ^1

Отметим, что коэффициенты ряда (43), для определения которых учтены условия (44), (45), соответствуют коэффициентам (33) ряда (32).

Из системы уравнений (17) , (35) находим решение x ₂ ( t ) , y ₂ ( t ) :

x 2 ( t ) = e ^{л 2} *

t x 2 (0) + A 2 1 0

e ^{л 2 T} (( x 1 + 1) ^{a 1}

— 1) dT

;

У 2 ( t ) = e -^{л 2} *

y 2 (0) —

λ 2

A 2 a 1 y 1 (0)   A

^{— A} i ⁽¹ — ^a 1 )

+ x---- X W      У 1 ( t ) •

A 2 — A 1 (1 — a 1 )

Решения (46), (47) связаны соотношением x 2( t) = У 2( t) +

^A 2 ^a 1 ⁽ 2 ^a 1 ^— 1)      2 ( ) +

2( A 2 — 2 A 1 (1 — a 1 )) ^1

A 2 a 1 (2 a 1 — 1)(3 a 1 — 2) 6( A 2 — 3 A 1 (1 — a 1 ))

^{y 3 (} t ) ⁺ •••,

в котором учтено соотношение (40) , представленное в виде

( x 1 ( t ) + !) ^{a 1} =^+ с^ )

и начальное условие

У 2 (0) = x 2 (0) —

^A 2 ^a 1 ^{(2 a} 1 ^— 1)     2 (о)    ^A 2 ^a 1 ^{(2 a} 1 ^{— 1)(3 a} 1 ^{— 2)} з

2( A 2 — 2 A 1 (1 — a 1 )) ^1          6( A 2 — 3 A 1 (1 — a 1 )) ^1

Отметим, что коэффициенты ряда (48) , для определения которых учтены условия (49) , (50) , соответствуют коэффициентам (37) ряда (36) .

Заключение. Рассмотрена математическая модель трехсекторной экономики. Путем преобразований исходная система сведена к системе дифференциальных уравнений (17) . Найдено стационарное положение равновесия (11) в определенной области параметров, обеспечивающих экономический рост фондовооруженности секторов. Показано, что локальная гладкая классификация диффеоморфизмов в окрестности гиперболической неподвижной точки сводится к классификации их линейной части.