Решение задачи строительной механики по определению максимального прогиба для пластинок в форме четырехугольника

Введение. В настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке, развитию и совершенствованию методов расчета строительных конструкций, которые позволяют путем сравнительно несложных инженерных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций.

Цель исследований. В статье на нескольких примерах показать, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба пластинок в форме четырехугольника с комбинированными граничными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.

Материалы и методы исследований. Данный подход впервые предложен Д. Пойа и Г. Сеге [1-3], основой которого является интегральная характеристика – коэффициент формы K f .

При проектировании строительных конструкций во многих случаях их расчётные схемы представляются в виде пластинок сложной формы (треугольные, ромбические, параллелограммные, трапецеидальные) с различными граничными условиями. Они применяются в качестве несущих элементов перекрытий зданий, мостовых конструкций. В настоящее время в строительной механике по-прежнему большое значение придается разработке, развитию и совершенствованию методов расчета строительных конструкций, которые позволяют путем сравнительно несложных инженерных расчётов получать оценки интегральных физических параметров конструкций. Oдним из тaких метoдoв рaсчетa кoнструкций в видe упругих плaстинoк является мeтoд интeрпoляции пo кoэффициeнту фoрмы (МИКФ) [4-6].

Коэффициент формы Kf определяется:

для параллелограммных пластинок а / с + с / а sin a

Kf =

где a, b – стороны параллелограмма; α – угол при основании.

для прямоугольных пластинок

Kf

aс

= 4 - + -

V с a )

= 4 k + -

V k)

,

где a, b – стороны прямоугольника; k = a/b. для ромбических пластинок:

K у = 8/sin a

где α – угол при основании.

Методологическая сущность МИКФ, заключается в нахождении решений для определенного множества областей, полученных в процессе какого-либо непрерывного (или дискретного) геометрического преобразования. При этом в рассматриваемом множестве областей выделяют две области, решения для которых известны (W 0 ) 1 и (W 0 ) 2 , и используя их, строят искомое решение, которое представляется формулой:

W o = ⁽ W o ) i ⁽ K f/ K fi >,

где Kf1 – коэффициент формы первой области с известным решением (W0)1, а параметр n определяется из выражения n = ln[(Wo)2KWo)1 ]/ ln [K^/Kfl),

где индекс «2» относится к физическим и геометрическим параметрам второй опорной области. Структура выражения (2) соответствует структуре формул известных точных задач теории пластинок, представленных в изопериметрическом виде.

Преобразуем аналитические записи двух опорных решений:

F, = KG (Kf i / A)"; F = KG (K, 2 / A2) n;

n

F2 / F1 = ( Kf 2/Kf 1 )( A1 / A2 )  ;

n = ln(F /F)/ln[(Kf//Kf,)(A /A)

Здесь F 1 и F 2 – известные решения для опорных фигур; К f1 /А 1 , К f2 /А 2 , – значения отношений соответствующих этим фигурам геометрических параметров.

В общем случае для любой фигуры из рассматриваемого множества с учетом полученных соотношений решение может быть представлено в виде формулы [7-9]

^F = F 1 ( K f / K f 1 ) ( A 1 / A )

где одно опорное решение удовлетворяется автоматически при К f /А =К f1 /А 1 , а другое – через показатель степени n .

Пример 1. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рисунок 1, нагруженную равномерно распределенной по всей поверхности нагрузкой. Ромбическая пластинка с α = 35; 45; 55; 65; 75; 85, определить максимальный прогиб и оценить погрешность решения.

Рисунок 1 – Условия опирания пластинки

Принимаем в качестве опорных фигур пластинки в виде ромбов с α = 25 (К f = 18,93; 1000W 0 = 0,158) и α = 90 (К f = 8; 1000W 0 = 0,658) по формулам МИКФ находим максимальный прогиб для заданных пластин, найденные данные сведены в таблицу 1.

Таблица 1 – Значения максимального прогиба ромбических пластинок

W, = K ■ qA2 Id с комбинированными граничными условиями 0

Характеристики пластинок	α
	25	35	45	55	65	75	85	90
1000 W 0 (МКЭ)	0,158	0,251	1,992	0,483	0,5599	0,622	0,641	0,658
1000 W 0 (МИКФ)		0,259	0,375	2,364	2,529	2,735	2,866
К f	18,93	13,947	11,314	9,766	8,827	8,282	8,03	8
Разница,%		4,49	1,55	1,73	1,79	3,41	0,1

Пример 2. Рассмотрим пластинку постоянной толщины, комбинированно опертую рисунок 2, нагруженную равномерно распределенной по всей певерхности нагрузкой. Ромбическая пластинка с α = 35; 45; 55; 65; 75; 85, определить максимальный прогиб и оценить погрешность решения.

Принимаем в качестве опорных фигур пластинки в виде ромбов с α = 25 (К f = 18,93; 1000W 0 = 0,256) и α = 90 (К f = 8; 1000W 0 = 1,173) по формулам МИКФ находим мaксимaльный прoгиб для зaдaнных плaстин, нaйденные дaнные свeдeны в тaблицу 2.

Рисунок 2 – Условия опирания пластинки

Таблица 2 – Значения максимального прогиба ромбических пластинок с

W = K • qA ID комбинированными граничными условиями 0

Характеристики пластинок	a
	25	35	45	55	65	75	85	90
1000 W 0 (МКЭ)	0,256	0,452	0,615	0,735	0,966	1,117	2,186	1,173
1000 W 0 (МИКФ)		0,454	0,659	0,854	0,992	1,143	1,153
К f	18,93	13,947	11,314	9,766	8,827	8,282	8,03	8
Разница,%		0,96	1,92	0,15	0,74	2,21	0,965

Анализируя результаты, представленные в таблицах 1 и 2 можно сделать вывод о том, погрешность решения, полученного с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы (строка 2 табл. 1 и 2) и метода конечных элементов (строка 1 табл. 1 и 2) мала и не превышает 5%.

Выводы. Применение МИКФ позволяет получать простые аналитические зависимости для oпределения максимальнoго прогиба в задачах максимального прогиба ромбических пластинок. Методика решения указанных задач с помощью МИКФ протестирована на многочисленных примерах, и результаты тестирования показали хорошую точность решений, полученных с помощью МИКФ.