Решение задачи устойчивости вафельной цилиндрической оболочки с использованием вычислительной модели конструктивно-ортотропной оболочки

Вафельные цилиндрические оболочки широко применяются в изделиях ракетно-космической техники в качестве силовых элементов конструкций, работающих в условиях больших осевых сжимающих нагрузок. В основном данные оболочки находят применение в конструкции топливных баков ракет-носителей. В процессе их изготовления возникают отклонения от идеальной формы (начальные несовершенства), обусловленные технологическим процессом гибки, сварки нагартован-ных плит и механической обработкой вафельного фона. Величина критической нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости, может существенным образом зависеть от имеющихся у оболочки начальных несовершенств. Для расчёта величины критической нагрузки используются различные методы. При проектировании изделия основным методом расчёта вафельных оболочек на устойчивость при осевом сжатии является эмпирико- статистический метод [1], который основан на обработке большого количества испытаний соответствующих оболочек (проведённых в 1960-х гг.). Данный метод не учитывает технологию изготовления вафельных оболочек, а влияние начальных несовершенств формы изготовленной оболочки учитывается эмпирическим коэффициентом устойчивости, который снижает величину критической нагрузки более чем в два раза по сравнению с идеальной оболочкой. Однако последние исследования показывают [2], что величина критической нагрузки вафельных оболочек, изготовленных современным методом, снижается, по сравнению с идеальным случаем, в пределах 12% (в зависимости от формы и амплитуды несовершенств). При создании рабочей конструкторской документации и при проведении поверочных расчётов широко используется метод конечных элементов, который позволяет детально анализировать напряжённо-деформированное состояние конструкции, учитывать влияние начальных несовершенств на величину критической нагрузки. Однако использование подробных конечно-элементных моделей при проведении необходимых параметрических исследований может оказаться неэффективным вследствие больших затрат времени на разработку и расчёт отдельного варианта. В публикациях [3, 4] расчёт на устойчивость данного типа оболочек осуществляется с использованием модели конструктивноортотропной оболочки, основанной на гипотезе «размазывания» вафельного фона. Алгоритм численного решения при этом основывается на процедуре ортогональной прогонки с численным интегрированием по схеме Кутта–Мерсона. Подобная вычислительная модель, реализованная на электронной вычислительной машине (ЭВМ), существенным образом упрощает проблему задания требуемых для проведения расчётов исходных данных, касающихся характеристик исследуемой вафельной цилиндрической оболочки, а для проведения расчёта не требуется мощных ЭВМ даже применительно к ситуации крупногабаритной оболочки. Однако недостаточно исследованными остаются вопросы, касающиеся степени согласованности расчётных результатов, получаемых на основе обозначенной модели с результатами подробных конечно-элементных моделей, которые учитывают начальные несовершенства изготовленной оболочки.

В настоящей работе расчёт на устойчивость крупногабаритной вафельной цилиндрической оболочки проведён с применением данной вычислительной модели. Результаты расчёта сравниваются с результатом расчёта модели, построенной в среде конечно-элементного программного комплекса с учётом имеющихся у оболочки начальных несовершенств. Выполнено также сравнение с расчётом на основе эмпирико-статистического метода. Расчёты проводятся в зоне упругих деформаций оболочки. При этом при осевом сжатии оболочки общая форма потери устойчивости реализуется раньше, чем возможная местная форма потери устойчивости.

Результаты численного моделирования устойчивости крупногабаритной вафельной цилиндрической оболочки

Рассмотрена алюминиевая вафельная цилиндрическая оболочка с номинальными геометрическими характеристиками (рис. 1): радиус оболочки R = 2 050 мм; длина оболочки L = 1 705 мм; h = 3,55 мм; a ₁ = 4,5 мм; a ₂ = 4 мм; b ₁ = b ₂ = 21,45 мм;

l ₁ = 107 мм; l ₂ = 110 мм; материал — алюминий с модулем упругости Е = 68 ГПа и коэффициентом Пуассона μ = 0,3. Здесь индексами 1 и 2 отмечены параметры, относящиеся к характеристикам осевых и кольцевых рёбер соответственно.

Рис. 1. Элемент вафельной оболочки [5]

Вафельная оболочка изготовлена из плоских прямоугольных плит, которые в процессе гибки и сварки трением с перемешиванием образуют цилиндр с продольными сварными швами. Для создания вафельного фона внутренняя поверхность цилиндра подвергается механической обработке.

Общий вид 3 D -модели вафельной цилиндрической оболочки представлен на рис. 2.

Рис. 2. Общий вид 3D-модели вафельной цилиндрической оболочки (рисунок создан автором)

Контроль изготовления вафельной цилиндрической оболочки проводят с помощью лазерного трекера и специального программного обеспечения на предмет оценки отклонений размеров внешней поверхности от указанного номинального значения радиуса. На рис. 3 показаны максимальные отклонения наружного контура оболочки от теоретической

Рис. 3. Отклонения наружного контура оболочки (начальные несовершенства) (рисунок создан автором)

линии (Т-контур), которые составляют по радиусу от –3,7 (утяжка в районе сварных швов) до +4,9 мм. Максимальное отклонение образующей контура оболочки от прямолинейности на всей длине составляет 3,3 мм.

Полученный в результате замеров массив точек, который описывает начальные несовершенства внешней поверхности оболочки, конвертировался в CAD -систему с идеальной 3 D -моделью данной оболочки, где внешняя поверхность 3 D -модели «притягивалась» к массиву измеренных точек. В итоге получилась подробная 3 D -модель, которая полностью описывает изготовленную оболочку.

Для проведения расчёта рассматриваемой оболочки на устойчивость данная 3 D -модель с начальными несовершенствами импортирована в конечно-элементный программный комплекс. Для расчёта использовался сектор модели, который включает сварной шов с наибольшими начальными несовершенствами. Конечно-элементная модель построена с использованием 10-узлового тетраэдрального элемента. Закрепление выполнено по одному торцу оболочки в виде жёсткой заделки, по другому торцу приложена распределённая осевая сжимающая нагрузка, соблюдены граничные условия симметрии. Общий вид конечно-элементной модели представлен на рис. 4. На рис. 5 показана конечно-элементная модель в разрезе по сварному шву.

Рис. 4. Общий вид конечно-элементной модели (рисунок создан автором)

Рис. 5. Конечно-элементная модель в разрезе по сварному шву (А-А) (рисунок создан автором)

Расчёт с использованием конечно-элементной модели, учитывающей отмеченные начальные несовершенства, проводился двумя способами: в линейной бифуркационной постановке и в нелинейной постановке с применением модифицированного метода Рикса–Рамма. В результате выполненного конечно-элементного моделирования в линейной бифуркационной постановке получено значение критической нагрузки потери устойчивости Q _кр = 13 478,2 кН. Полученная в линейной бифуркационной постановке первая форма потери устойчивости приведена на рис. 6.

Рис. 6. Первая форма потери устойчивости при линейном расчёте [6]

При расчёте с помощью нелинейного модифицированного метода Рикса–Рамма было получено значение Q _кр = 12 926,8 кН, что на 4% ниже, чем при линейной постановке. Форма потери устойчивости, полученная с помощью нелинейного модифицированного метода Рикса–Рамма, представлена на рис. 7.

Рис. 7. Форма потери устойчивости при нелинейном расчёте [6]

При расчёте данной оболочки с использованием вычислительной модели конструктивноортотропной оболочки значение величины критической нагрузки Qкр = 13 218,5 кН, что является средним результатом, по сравнению с результатами расчёта на основе конечно-элементной модели, учитывающей начальные несовершенства в линейной и нелинейной постановке.

В соответствии с работой [7] дана оценка весовой эффективности рассматриваемой вафельной оболочки. При такой оценке используется безразмерный параметр g , представляющий собой отношение массы гладкой изотропной оболочки к массе вафельной оболочки, имеющей такую же несущую способность при осевом сжатии.

В данном исследовании расчёт параметра g осуществляем по следующей схеме:

где 6_ГЛ — эквивалентная толщина гладкой оболочки; 8ва<]> — эквивалентная толщина вафельной оболочки.

Эквивалентная толщина гладкой оболочки определяется, в соответствии с работой [1], следующим образом:

гл

^кр

,

2пкЕ где Qкр — величина критической нагрузки, полученная с использованием вычислительной модели, основанной на гипотезе «размазывания» (в данном случае Qкр = 13 218,5 кН); k = 0,605 — идеальный коэффициент устойчивости гладкой оболочки.

Расчёт эквивалентной толщины вафельной оболочки проводим по следующей формуле:

5_ваф =h + ^ + ^. h Ji

Для данной оболочки получаем δ _гл = 7,15 мм; δ _ваф = 5,2 мм, соответственно, g = 1,37. Таким образом, данная вафельная оболочка на 27% легче соответствующей гладкой оболочки, которая имеет такую же несущую способность. Кроме того, несущая способность данной вафельной оболочки в 1,88 раза выше несущей способности соответствующей гладкой оболочки с таким же весом.

Отмечая хорошее согласование результатов всех вычислительных моделей, использованных при расчёте на устойчивость рассматриваемой оболочки, подтверждаем (как и в работе [8]), что при значении 0,042 параметра, равного отношению толщины продольного ребра к шагу продольных рёбер, расчёт на устойчивость вафельной оболочки с применением вычислительной модели, основанной на гипотезе «размазывания», приводит к адекватным результатам.

При расчёте эмпирико-статистическим методом получаем значение критической нагрузки Q _кр = 11 285,2 кН (при k = 0,34) и Q _кр = 9 293,7 кН (при k = 0,28), что ниже отмеченного результата, полученного с использованием вычислительной модели, основанной на гипотезе «размазывания», на 16,3 и 31,0% соответственно (рис. 8).

Рис. 8. Сравнение результатов расчёта критической нагрузки потери разными методами (рисунок создан автором)

Заключение

При использовании вычислительной модели, основанной на схеме конструктивно-ортотропной оболочки и методе численного интегрирования, получается среднее значение величины критической нагрузки (рис. 8), в сравнении с результатами расчёта на основе конечно-элементной модели, учитывающей начальные несовершенства в линейной и нелинейной постановке. Это подтверждает обоснованность применения данной вычислительной модели для оценки величины критической нагрузки при осевом сжатии крупногабаритной вафельной цилиндрической оболочки с рассмотренным типом начальных несовершенств. Сама эта модель эффективна в том плане, что не требует для своей реализации больших вычислительных ресурсов ЭВМ.