Решение задачи выбора наилучших вариантов дронов с помощью аппроксимации равноценных векторных оценок

В последнее время проблемы многокритериального принятия решений становятся все более актуальными. Возможность получения и необходимость обработки большого объема исходной информации не позволяют осуществить выбор, основываясь только на интуиции лица, принимающего решения (ЛПР).

Появилась потребность в разработке математически обоснованных методов и алгоритмов, позволяющих доверить процесс выбора оптимальных вариантов программной системе.

Часто в качестве решающего правила в программных системах многокритериального выбора необоснованно выбирают аддитивную свертку оценок по критериям. В работе показано, как правильно выбрать решающее правило на основе предпочтений лица, принимающего решения, и на его основе упорядочить рассматриваемые альтернативы по предпочтению.

Дано.     Рассматривается задача, в которой альтернативы из множества Л = {a1,a2,.,an} оцениваются по критериям качества К = {К1,К2, ..,Кт} с числовыми шкалами Х = {Х1,Х2, ... ,Хт} и каждой альтернативе ставится в соответствие векторная оценка, т.е. существует отображение

у: Л ^ (Х1 ХХ2 X .хХт).

Требуется. Обосновать выбор решающего правила и на его основе упорядочить альтернативы по предпочтительности.

Определение. Функцией ценности (полезности)                    v(x₁, х₂, ..., Х_т)

называется функция, которая каждой точке (векторной                       оценке)

< Х1, Х2, ..., Хт > G (Х1 X Х2 X . X Хт)

ставит в соответствие действительное число, причем:

<Х1,Х2, .,Хт> ~ <У1,У2,.,Ут> ^V(Х1,Х2,.,Хт) =="У(У1,У2,.,Ут),

<Х1,Х2,.,Хт > > <У1,У2,.,Ут >^V(Х1,Х2,.,Хт) > ^(у1,у2,.,Ут).

Таким образом, значения функции ценности используются для ранжирования альтернатив по предпочтительности. Ранжирование, если значения функций для некоторых векторных оценок альтернатив совпадают, может быть нестрогим.

Выделяют особый вид функции ценности – свертка оценок по критериям. Сверт- ка локальных критериев бывает аддитив- весовых коэффициентов выполнялось ной, параболической, мультипликативной   условие Ет^к = 1.

и т.д.                                        Приведём примеры свертки критериев

Свертка может содержать весовые ко- (таблица 1).

эффициенты    важности    критериев

• к₁,к₂, . ,к_т . Обычно требуется, чтобы для

Таблица 1. Примеры свёрток

Мультипликативная	т V(X i ,X2,.,X m ) = H(X i )ki 1=1
Аддитивная	т V(X 1 ,X 2 , .,Х т ) = ^ к ; Х ; 1=1
Параболическая (в случае двух критериев)	т V(X 1 ,X 2 ,.,X m ) = ^к^(X^)(m+1)-1 1=1

Выбор вида свертки и нахождение весовых коэффициентов важности критериев

Будем использовать такой метод:

• 1.    ЛПР выбирает из специально подобранных векторных оценок равноценные.

• 2.    Оценки приводятся к единой шкале по формулам (и те, что изначально были получены от ЛПР, и равноценные, которые были получены в результате диалога с ЛПР):

X y _ogH = ^x\ l^x max , если оценки по шкале критерия максимизируются.

^X ;ogH

• = X ^

• 3.    Аппроксимируются     полученные

• 4.    Находятся весовые коэффициенты.

• 5.    Подставляются коэффициенты в выбранную свертку и получается ранжирование альтернатив по предпочтительности.

Xmm

/Х р если оценки по шкале критерия минимизируются. j = 1, ...,п (строки — альтернативы); i

= 1, ..,т (столбцы — критерии).

оценки с заданной точностью кривыми, поверхностями и т.д.

Выбор вида свертки, а также нахождение весовых коэффициентов важности критериев осуществляется в диалоговом режиме с ЛПР. Вторая сторона диалога – аналитик, специалист по теории принятия решений (программная система).

Выбор вида свертки

• 1.    Полученные от ЛПР равноценные векторные оценки, представляющие собой точки в многокритериальном пространстве, аппроксимируются с определенной точностью прямой линией и параболой (в случае двух критериев). Возможность применения мультипликативной свёртки определяется прямой, которая аппроксимирует логарифмы векторных оценок. В случае трёх критериев сами оценки и логарифмы оценок аппроксимируются плоскостью. Аппроксимация выполняется с заданной точностью. Используется метод наименьших квадратов. Точность оценивается с помощью среднеквадратичной ошибки MSE.

• 2.    Выбор свёртки осуществим следующим образом: при какой аппроксимации получилась наименьшая ошибка MSE, такой вид свёртки и выбираем для ранжирования альтернатив по предпочтительности.

• 3.    Если заданная точность не была достигнута, то при необходимости точность аппроксимации может быть уменьшена.

• 4.    Если ЛПР согласен с выбором метода решения, то упорядочиваются альтернативы согласно формулам сверток, предварительно приведя шкалы критериев к однородным.

Выявление равноценных векторных оценок. Диалог с ЛПР

Равноценные векторные оценки альтернатив находим в диалоге с ЛПР: задаём значения оценки альтернативы по одному из критериев, а затем ЛПР устанавливает компенсацию (уступки) по шкале другого критерия, чтобы полученные векторные оценки были равноценны.

Например, для двух критериев задаются следующие вопросы (методика разработана Р.Л. Кини и Х. Райфа) (табл. 2):

Заполните выделенные графы таблицы так, чтобы полученные векторные оценки альтернатив были для Вас равноценны:

Таблица 2. Диалог с ЛПР при двух критериях

Критерии/альтернативы	К 1	К 2
Векторная оценка 1	1-худшая	1000-лучшая
Векторная оценка 2	4	?
Векторная оценка 3	7	?
Векторная оценка 4	10-лучшая	?

Аналогично выявляется информация о равноценных векторных оценках для трёх критериев. Заметим, что отвечать на подобные вопросы при большом количестве критериев непросто для ЛПР. Для легкости восприятия ЛПР пары векторных оценок различаются по двум критериям, а по остальным берутся одинаковые средние значения.

Например, для трех критериев задаются следующие вопросы (табл. 3):

Заполните выделенные графы таблицы так, чтобы полученные векторные оценки альтернатив были для Вас равноценны:

Таблица 3. Диалог с ЛПР п	и трёх критериях
Критерии/альтернативы	К 1	К 2	К 3
Векторная оценка 1	5-средняя	6000-средняя	5-средняя
Векторная оценка 2	5-средняя	10000-худшая	?
Векторная оценка 3	?	6000-средняя	1-худшая
Векторная оценка 4	1-худшая	?	5-средняя
Векторная оценка 5	5-средняя	?	10-лучшая

Оценка точности аппроксимации при двух критериях (табл. 4)

Таблица 4. Оценка точности аппроксимации при двух критериях

MSS-l^-to+w)2 1=1	Оценка точности аппроксимации при аппроксимации прямой равноценных оценок (для оценки возможности применения аддитивной свёртки)
«$Е=1^Г(у , -(-„, 2+Ь ))г 1=1	Оценка точности аппроксимации при аппроксимации параболой равноценных оценок (для оценки возможности применения параболической свёртки)
■ v = е к2ь	Оценка точности аппроксимации при аппроксимации прямой логарифмов равноценных оценок (для оценки возможности применения мультипликативной свёртки)

Оценка точности аппроксимации при трёх критериях (табл. 5)

Таблица 5. Оценка точности аппроксимации при трёх критериях

I MSE = J^(z t - (az t + by t + c)) 2 1=1	Оценка точности аппроксимации при аппроксимации плоскостью равноценных оценок (для оценки возможности применения аддитивной свёртки)
- v = ek 3 c	Оценка точности аппроксимации при аппроксимации плоскостью логарифмов равноценных оценок (для оценки возможности применения мультипликативной свёртки)

Пример выбора наилучшей модели дрона для наблюдения за местностью на определенном расстоянии

ЛПР даёт оценки восьми моделей дронов по трём критериям качества: стоимость, дальность полёта, качество съёмки (табл. 6).

Таблица 6. Информация о дронах от ЛПР

Критерии/альтернативы	Стоимость, тыс. рублей	Дальность полёта, км	Качество съёмки, баллов
DJI Mavic 3	350	15	7
DJI Mini 3 Pro	110	9	4
Autel EVO Lite Plus Premium Bundle	200	12	6
DJI Mavic 3 Thermal	680	15	9
DJI Matrice 30T	1550	15	10
DJI Phantom 4 RTK	500	7	8
Autel EVO Nano Plus Premium Bundle	112	8	6
Autel EVO II Dual 640T Enterprise	750	13	9
Max/Min	min	max	max

Реализуем вышеописанные действия и проводим аппроксимацию плоскостью полученных равноценных точек и их логарифмов и получаем (табл. 7).

Таблица 7. Результаты проведённых аппроксимаций

Аппроксимации плоскостью равноценных оценок	Аппроксимации плоскостью логарифмов равноценных оценок
Коэффициенты плоскости: a « -0.485, b « -0.66, c « 1.4	Коэффициенты плоскости: a « -0.375, b « -0.8, c « -1.1
Весовые коэффициенты: k 1 « 0.226, k2 « 0.308, k3 « 0.466	Весовые коэффициенты: k 1 « 0.172, k2 « 0.368, k3 « 0.46
Точность аппроксимации: I MSE = y^(zt - (axt + byt + c)) 2 « 0.00327 1=1	Точность аппроксимации: 1V /     кз! ek 3 c \ MSE=iZ(z - - ^ly«J 000115

Ранжируем альтернативы в соответствии со значениями функции полезности в виде аддитивной свёртки:

110              7

v(DJI Mavic 3) = k1 • — + k2 • 1 + k3 • — = 0.7050286085

110      13      9

v(Autel EVO II Dual 640T Enterprise) = k1 • — + k2 • — + k3 • — = 0.7193283618

Итоговое ранжирование: DJI Matrice 30T ⟶ DJI Mavic 3 Thermal ⟶ Autel EVO

II Dual 640T Enterprise ⟶ DJI Mavic 3 ⟶ Autel EVO Nano Plus Premium Bundle ⟶

Autel EVO Lite Plus Premium Bundle ⟶ DJI Mini 3 Pro ⟶ DJI Phantom 4 RTK. Можно сделать вывод, что лучшей является альтернатива DJI Matrice 30T.