Результаты испытаний для коррекции расчётных динамических моделей летательных аппаратов

Проектирование летательных аппаратов (ЛА) предполагает выполнение требований к динамической нагруженности конструкций и управляемости космических аппаратов (КА), к прочности и аэроупругой устойчивости авиационной техники (АТ). Для решения этих задач используются расчётные динамические модели ЛА, построенные по технической документации изделий. Поскольку такие расчётные модели могут, по известным причинам, недостаточно адекватно отражать динамические свойства проектируемого ЛА, в дальнейшем они подвергаются коррекции по результатам испытаний. Для коррекции расчётных моделей КА применяются модальные испытания, являющиеся составной частью наземной экспериментальной отработки изделий ракетно-космической техники [1]. Для коррекций расчётных моделей АТ также используются результаты экспериментального модального анализа, но производятся они на протяжении всего жизненного цикла изделий: проектирование (динамически подобные модели), опытное производство, серийное производство и модификации конструкций [2; 3]. Обзор методов наземных модальных испытаний изложен в монографии [4]. На этапе опытной эксплуатации коррекция расчётных моделей может производиться и по результатам операционного модального анализа в летных испытаниях [5].

Для устранения погрешностей моделирования были разработаны различные методы коррекции расчётных моделей [6–9]. Известные методы коррекции могут быть разделены на две категории: стохастические и детерминированные. В основе стохастических методов лежит представление о том, что экспериментальные данные являются случайными и содержат неизбежные ошибки [10–11]. Детерминированные методы сводятся к итерационной процедуре минимизации целевой функции, равной сумме квадратов разностей между измеренными в эксперименте данными и данными, полученными с помощью модели [12–14]. Удобство такого подхода заключается в том, что в целевой функции одновременно могут фигурировать разнородные параметры, такие как собственные частоты и отклики конструкций на динамическое воздействие [15].

Методика экспериментального модального анализа

Решается задача экспериментального определения исходных данных для коррекции детерминированным методом расчётной модели ЛА, основой которой являются уравнения собственных колебаний

AY + CY = 0 (1) и обобщённая проблема собственных значений

(С - pA) W = 0.

Здесь Y ( N ) – вектор перемещений точек конструкции; A ( N × N ) и C ( N × N ) – матрицы инерции и жесткости; N – число степеней свободы расчётной модели; p – собственные значения (частоты собственных колебаний); W – матрица собственных векторов. Коррекции могут подлежать матрицы инерции и жесткости. В качестве исходных данных для коррекции такой модели могут выступать такие динамические характеристики, как обобщённые массы, собственные частоты и формы собственных колебаний, являющиеся результатом модальных испытаний. Однако одновременно эти характеристики участвовать в коррекции не могут, так как формы колебаний определяется инерционными и упругими свойствами динамической системы, поэтому могут выполнять только контрольные функции.

Выделение собственных тонов колебаний производится методом многоточечного гармонического возбуждения. При этом для описания вынужденных колебаний ЛА в процессе испытаний используются, как правило, дифференциальное уравнение

AY + HY + CY = E sin ( ® t ) + F cos ( ® t ) , (2)

установившееся решение которого есть

Y = U sin ( ro t ) - V cos ( ro t ) .

Здесь приняты обозначения H ( N × N ) – матрица демпфирования, E ( N ) и F ( N ) – векторы синфазной и квадратурной составляющих сил возбуждения, ω – частота вынужденных колебаний; U ( N ) и V ( N ) – векторы синфазной и квадратурной (действительной и мнимой при комплексном представлении колебаний) составляющих перемещений точек конструкции.

Отметим, что в уравнения (2), в отличие от (1), входит описание диссипативных свойств динамической системы. Поэтому в определении параметров инерции и жесткости по результатам испытаний участвуют характеристики демпфирования, что не предусмотрено исходными уравнениями (1). На этом основании уравнения вынужденных колебаний ЛА в процессе испытаний примем в виде

AY + R + CY = E sin ro t + F cos ro t ,                             (3)

R = HY / ro ,                                         (4)

где R ( N ) – вектор сил демпфирования, к которым отнесены все силы, изменяющиеся в фазе со скоростью колебаний, а свойства матрицы демпфирования выявляются по результатам испытаний.

Полагается, что подбором возбуждения реализуется режим вынужденных монофазных колебаний

U = X V,                                         (5)

где λ – действительное число. В этом случае дифференциальным уравнениям (3) с учетом (4) и (5) соответствует система алгебраических уравнений

( 1 + V )( C -ro ² A ) V = X E - F ,                             (6)

( 1 + X ² ) HV = E + X F .

Уравнения (6) и (7) позволяют независимо определять упруго-массовые характеристики ЛА и характеристики демпфирования. В статье [16] изложены свойства вынужденных монофазных колебаний, способы подбора возбуждения и порядок проведения экспериментального модального анализа, а также методика выявления свойств матрицы демпфирования.

Обобщённые характеристики L собственных тонов колебаний ( L ≤ N , обычно всегда L <<  N ) определяются в модальных испытаниях для условий:

• 1)    если монофазным возбуждением ( F = 0) реализуется режим фазового резонанса (λ = 0), то из (6) следует, что монофазные колебания есть собственные колебания ω = p i , V = W i , i = 1, 2, …, L ;

• 2)    если в окрестностях фазовых резонансов (ω ≠ p i ) при монофазном возбуждении монофаз-ные колебания совпадают с собственными колебаниями, то, как следует из (6), обобщённые массы тонов определяются по формуле

X V ^T E

( 1 + V )( p " -ro ² ) V"

При этом демпфирование описывается обобщённым коэффициентом (7)

h i =

ViT E

(1 + v) V

Здесь V i ^* – квадратурная составляющая перемещений в точке нормирования тона колебаний.

Если принять, что демпфирование мало и частоты собственных и свободных колебаний равны между собой, то для оценки обобщённого декремента колебаний можно получить формулу

δi =

2π

4 p i ⁴ λ ²

\ ( p_i ² - ω ²)²

;

- 1

• 3)    если в окрестностях фазовых резонансов при монофазном возбуждении монофазные колебания не совпадают с собственными колебаниями, то для определения обобщённых масс необходимо введение квадратурной составляющей возбуждения

V i ^Τ ( λ E - F ) (1 +λ ²)( p i ² -ω ²) V i ^*2

а демпфирование уже не описывается обобщённым коэффициентом.

Относительно рассмотренных условий испытаний необходимо сделать следующие замечания:

– реализация условия 1 является обязательной для определения частот и форм собственных колебаний методом фазового резонанса;

– на основании опыта модальных испытаний ЛА можно утверждать, что условие 2 практически всегда реализуется, т. е. в окрестностях фазовых резонансов можно выделить диапазон частот, в котором вынужденные монофазные колебания при монофазном возбуждении совпадают с собственными колебаниями (рис. 1, ῶ – отношение частоты колебаний к частоте фазового резонанса). Это означает, что обобщённые динамические характеристики определяются по формулам (8–10).

Рис. 1. Монофазные колебания в окрестности фазового резонанса

Fig. 1. Monophase oscillations in the vicinity of the phase resonance

Результаты модальных испытаний для коррекции расчётных моделей

Для обоснования назначения результатов модальных испытаний – обобщённых масс и частот собственных колебаний – в качестве целевых параметров для коррекции расчётных моделей ЛА необходимо установить степени достоверности экспериментального определения этих параметров. В работах [17; 18] отмечается, что погрешности результатов испытаний являются, как правило, следствием случайных ошибок в измерениях вынужденных колебаний и подборе возбуждения, а также взаимного влияния тонов с близкими собственными частотами.

Исследования погрешностей результатов модальных испытаний из-за случайных ошибок измерений показали, что погрешности определения собственных частот методом фазового резонанса на порядок ниже погрешностей измерения амплитуд колебаний. При этом погрешности в оценках обобщённых масс известными методами (методом монофазных колебаний (8), методом введения квадратурной составляющей возбуждения (11), методом фиктивного фазового резонанса, методом комплексной мощности) могут более чем в 1,5 раза превосходить погрешности измерения амплитуд колебаний. В статье [17] изложена методика определения обобщён- ных масс по амплитудно-частотным характеристикам ЛА, позволяющая снизить погрешность определения масс, но она все-таки значительно выше погрешностей в собственных частотах.

Взаимное влияние тонов с близкими собственными частотами проявляется, в первую очередь, в смещении частот фазовых резонансов, по которым делаются оценки этих собственных частот. Отметим, что имеются в виду не только тона колебаний конструкций ЛА: для проведения модальных испытаний АТ используется системы упругого вывешивания изделий, а для космических конструкций – системы обезвешивания. Это означает, что если в условиях эксплуатации объекты испытаний имеют тона колебаний как твердого тела с нулевыми частотами, то в условиях испытаний появляются тона колебаний как твердого тела на упругой подвеске. И частоты колебаний уже не равны нулю. Поэтому при проектировании таких систем вывешивания и обезвешивания необходимо учитывать, что влияние колебаний ЛА как твердого тела на их динамические характеристики не должно превышать задаваемого.

Будем полагать, что на колебания ЛА в окрестности тона с номером i оказывает влияние некоторый тон с номером j так, что g = gi+wjgj, где g – перемещения контрольной точки объекта испытаний; gi и gj, – обобщённые координаты i-го и j-го тонов; wij – коэффициент, характеризующий вклад j-го тона в колебания системы. Определим собственную частоту и обобщённую массу i-го тона, считая, что влиянием j-го тона можно пренебречь. Полагаем, что демпфирование каждого тона можно описать обобщённым декрементом колебаний.

Введем обозначения:

_w 2 _a к = — , a j

p,         h     §,

& =— , n = - =—, n —

Pi        Pi a i   ⁿ

hj p2j aj

8. _ и

—, и = — .

^п       Pi

Получим выражение для параметра вынужденных монофазных колебаний при монофазном возбуждении из решения задачи о вынужденных колебаниях системы с двумя степенями свободы:

Х(й) =

^т 1 ^{( и )}

^Т 2 ^{( И} )’

где

( И ² -1 ) ^[ ( И ² - л) ² + n ²& 4 ^] + к (И ² - л ² )^[ ( И ² -1 ) ² + n ² ]

Т 1( и ) =---------------------------—2--------------2---------,

^Т 2 ^(И) =

n , ( и ² - л )² + n — ® ² к( ® ² - 1)² +n , n j ж ² ( n i к + n — & ² ) ^{[ к(}< %> ^{2 -} 1) + ⁽< %> ^{2 - л} 2 ) ] ² + ( ^k n i +n J & ² ) ²

По переходу λ через нуль от положительных значений к отрицательным найдем относительные собственные частоты системы, для чего решим уравнение f (И) = (И2 -1)[(И   л: ) +n>4] + к (И2-ж2)[(И2 -1) 2+ ni2] = 0.          (12)

На основании анализа корней уравнения (12) сделаны следующие выводы об оценке собственной частоты i-го тона pi*, определяемой по переходу через нуль параметра λ, в предположении, что j-й тон мало влияет на колебания системы: если pi > pj, то pj < pi* < pi; если pi < pj, то pj > pi* > pi; если pi = pj, то pi* = pi. Если уравнение (12) имеет только один действительный положительный корень, что имеет место, когда параметры ξ, æ, ηi и ηj удовлетворяют неравенству где

4 d ³ + 27 c ² >  0,

d — — b + b~>, c —

3 1     227

^^^^B

3 b i b 2 + b ₃, b ^—

£⁴ П ² + 2£ 2 (1 + q ) + q ( 1 + П 2 ) , b ^—-------—-------, b ^—

1 + q

£ 2 (2 + q ) + 1 + 2 ^

1 +q       ’

,

£ n j + £ qn i

^^^^B

1+q

,

то собственная частота, определяемая по переходу λ через нуль ( p i ^*), может быть частотой как i -го, так и j -го тона. Частота p i ^* соответствует i -му тону, если при æ < 1 оба корня уравнения

f 'R — 0

меньше, а при æ > 1 больше корня уравнения (13). В противном случае i -й тон не будет обнаружен в процессе испытаний.

На рис. 2 и 3 представлены результаты расчёта относительной частоты p͂ i = p i ^*/p i для различных значений параметров ξ, æ, δ _i и δ j , из которых следует, что собственная частота i -го тона определяется достаточно точно. Например, при δ _i ≤ 0,2 и ξ ≤ 0,5 погрешность определения p_i не превышает 0,5 % независимо от отношения собственных частот i -го и j -го тонов.

Рис. 2. Оценки собственной частоты при различных значениях ξ и æ

Рис. 3. Оценки собственной частоты в зависимости от параметра æ

• Fig. 2.    Estimates of the natural frequency at different values of ξ and æ

• Fig. 3.    Estimates of the natural frequency as the function of the parameter æ

Для определения обобщённой массы i -го тона при монофазном возбуждении колебаний используем формулу (8). Вместо частоты ῶ введем другой параметр частоты Ω = ω/ p_i ^*, связанный c ῶ соотношением Ω = ῶ/ p͂ _i . Это объясняется тем, что по результатам модальных испытаний определяется не точное значение собственной частоты i -го тона, а величина p_i ^*. Для практических целей представляет интерес оценка точности определения обобщённых характеристик тона вблизи найденной собственной частоты. При этом для расчёта относительной обобщённой массы получена формула ( a͂_i – отношение определяемой обобщённой массы к точному значению):

t(O) ^^^^B ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^B p-(1 -^)’

Из представленных на рис. 4 и 5 результатов расчёта относительной обобщённой массы следует, что с ростом ξ уменьшается диапазон частот вынужденных колебаний, на которых обобщённая масса определяется с наперед заданной точностью. Кроме того, с увеличением ξ этот диапазон смещается от частоты pi* в дорезонансную область при pi>pj и послерезонансную при pi < pj. При сближении собственных частот i-го и j- го тонов снижается точность определения обобщённой массы и обобщённого коэффициента демпфирования вблизи собственной частоты тона. Наибольшее отличие обобщённых характеристик от точных значений для Ω ≈ 1 наблюдается при æ =1 и в случае одинаковых декрементов колебаний тонов определяется выражением

л/

ai =

1 +ξ ^,

т. е. найденная обобщённая масса всегда меньше её точного значения.

Сравнивая рис. 2 и 3 с рис. 4 и 5 приходим к выводу, что влияние j -го тона больше сказывается на точности определения обобщённой массы, чем на точности собственной частоты i -го тона. Для получения a i с погрешностью в 5 % независимо от соотношения собственных частот необходимо, чтобы величина ξ не превышала 0,05.

Рис. 4. Оценки обобщённой массы при различных значениях параметров ξ и æ

Рис. 5. Оценки обобщённой массы при различных значениях параметра æ

Fig. 4. Estimates of the generalized mass at different parameter values of ξ and æ

Fig. 5. Estimates of the generalized mass at different values of the parameter æ

Результаты исследований погрешностей определения обобщённых характеристик предполагают, что численные значения параметров ξ , æ , δ i и δ j известны. Величины p i и p j можно оценить по частотам фазовых резонансов, δ _i и δ j вычисляются по формуле (10), а параметр ξ определяется по измеренному значению λ. Например, при возбуждении колебаний на частоте, отличающейся от резонансной частоты, приходим к следующему выражению для оценки параметра ξ:

α (1 -Ω ² -λη _i )             _{2    2 2    2 4             2 2    2}

s =   ---- 2--- ^а = ^(ж -^ ) ⁺ⁿ j ^ж ; ^e = ^{( 1-}“ ) ⁺ⁿ i •

β ( λη _j æ ² - æ ² + Ω ² )

Итак, на примере системы с двумя степенями свободы определялись обобщённые характеристики собственного тона колебаний в предположении, что влиянием другого тона можно пренебречь. Поэтому использовалось одноточечное возбуждение, а собственная частота и обобщённая масса рассчитывались по отклику в точке приложения силы. Возникающие при этом погрешности расчёта характеристик объяснялись несоответствием чисел степеней свободы модели и исходной системы (модель с одной степенью свободы для системы с двумя степенями свободы).

На этом же примере рассмотрим другой случай: число степеней свободы модели равно числу степеней свободы системы, а одноточечное возбуждение является следствием ограниченности возможности экспериментального оборудования или доступа к местам установки силовоз-будителей. В отличие от предыдущего случая здесь в анализе участвуют перемещения двух точек, а погрешности в определении обобщённых характеристик объясняются тем, что возбуждением колебаний в ограниченном числе точек не удается точно выделить исследуемый тон.

Решив задачу о вынужденных колебаниях системы с двумя степенями свободы, получим выражение для параметра монофазных колебаний при ограниченном числе сил возбуждения:

X ( % ) =

^^^^^^в

t ₁ t ₂ + ( d ₂ t ₂ - d ₁ t ₁ )( d 2 t ₁ + d ₁ t ₂ ) t ₂ ² + ( d 2 t ₁ + d ₁ t ₂ )

где

d1 = -21— [blb2 + «(^n, + ж'пJ )(^ni + aw2.nJ)]; d2 = J— [bl (^i + ^'nJ)- ab2 (^ni + aw2nj)];

ji                                                                                                                                      ji b1 = X^(«>2 -1) + X2 w2Jl ((%>2 - ж2); b2 =^((%2 -1) + ((%2 - ж2); c = b12 + (^n, + ж2 n J) ; a = wiJ / wJi.

Здесь величины w ij есть элементы матрицы собственных векторов.

Величины безразмерных параметров в результатах расчётов перемещений не зависят от способа нормирования тонов, поэтому для упрощения выкладок положим w ii = w jj = 1.

Собственную частоту i -го тона определим по переходу λ через нуль, а для относительной обобщённой массы a͂ i получим формулу аналогично (14):

X I. +t

.

a =            ^{1    2}

ⁱ 1 + X ² p ²(1 Q ^; ) t .

Отметим принципиальное различие формул (14) и (15): в формуле (15) присутствуют перемещения всех точек системы, поэтому результаты расчётов зависят не только от w_i j , но и от w j _i . Так как в выражении для λ имеются нечетные степени этих параметров, то влияние ограниченности числа сил возбуждения на точность определения обобщённых характеристик зависит как от величин, так и от знаков w_i j и w j _i .

В расчётах, результаты которых приведены на рис. 6–8, полагалось w j _i =1 и рассматривался случай совокупности симметричного и антисимметричного тонов (α = – 1), а затем тон j делался отличным от антисимметричного (α >  – 1).

Обсуждение полученных здесь результатов проведем в форме сравнения.

Для упрощения изложения примем условные наименования: при равенстве числа сил возбуждения L числу степеней свободы модели N – «случай L = N », а при использовании ограниченного числа сил возбуждения – «случай L < N ».

Рис. 6. Оценки собственной частоты при различных значениях ξ и æ

Рис. 7. Оценки собственной частоты в зависимости от параметра α

• Fig. 6.    Estimates of the natural frequency at different values of ξ and æ

• Fig. 7.    Estimates of the natural frequency as the function of the parameter α

Рис 8. Оценки обобщённой массы при различных величинах ξ и æ

Fig 8. Estimates of the generalized mass at different magnitudes of ξ and æ

При определении собственной частоты по условию λ = 0 в случае L = N получено, что относительная собственная частота p͂ i > 1 при æ > 1, p͂ i = 1 при æ = 1 и p͂ i < 1 при æ < 1. Здесь же, при L <  N , отношение собственной частоты тона, найденной по переходу λ через нуль ( p i ^* ), к точному значению этой частоты ( p i ) зависит от величины и знака параметра α. При α = – 1 (совокупность симметричного и антисимметричного тонов) и декрементах колебаний тонов, меньших 0,15, p_i^* практически совпадает с p_i независимо от параметров æ и ξ. При – 1 < α < 0 соотношения между p_i^* и p_i при æ < 1 и æ > 1 меняются на противоположные соотношениям для случая L = N .

Наибольшее влияние величина α оказывает на точность определения обобщённой массы. Сравнивая результаты для случая L <  N с расчётами при L = N видим, что если система имеет симметричный и антисимметричный тона, то обобщённая масса определяется точнее по формуле (15), чем по (14). С нарушением симметрии колебаний, погрешности расчёта массы резко увеличиваются вблизи собственной частоты тона. Так, при α = 0,5; 0,9 ≤ æ ≤ 1,1 и ξ ≥ 0,8 погрешности a_i превышают 10 %, если частота вынужденных колебаний отличается от собственной частоты менее чем на 0,1 %. При æ = 0,975 и ξ ≥ 0,1 отсутствуют частоты вблизи Ω = 1, на которых a͂_i > 0,9.

Заключение

Представлены результаты исследований погрешностей определения обобщённых динамических характеристик в модальных испытаниях, используемых для коррекции расчётных математических моделей ЛА вида (1). Установлено, что достоверность экспериментальной оценки собственных частот является основанием считать их параметрами целевой функции для коррекции матрицы жесткости расчётной модели. При этом коррекция матрицы инерции, построенной на этапе проектирования ЛА, нецелесообразна в виду больших погрешностей в оценках обобщённых масс. Такого подхода к решению задачи коррекции расчётных динамических моделей конструкций придерживаются, например, в работах [19; 20].

Коррекцию расчётной матрицы инерции достаточно производить отслеживанием изменений массово-инерционных характеристик ЛА на этапах их создания и эксплуатации. Учёт этих изменений отражается в соответствующих актах и справках.