Роль акустического резонанса в колебаниях стратифицированной атмосферы

При акустическом резонансе, фазовая скорость волны в газе совпадает со скоростью звука. Такой резонанс и подобные резонансы серьезно могут сказываться на распространении волн в средах. В нашем случае это волны АГВ (акустико-гравитационные волны) и ВГВ (внутренние гравитационные волны), внимание к которым сейчас уделяется как в России, так и за рубежом (например обнаружение ядерных взрывов c помощью инфразвука, к которому относятся АГВ). Кроме того, некоторые явления ионосферы не могут рассматриваться без учета атмосферных волн.

В нашем случае при выводе уравнений политропических колебаний на фоне вертикально стратифицированной атмосферы без вязкости с температурным профилем – T ( z ) выясняется, что уравнения (на компоненты скорости) имеют особенности, именно особенности вида ~ 1) Q A , где Q A = и ² - k Xc² .

Следовательно, встает вопрос о поведении их решения в окрестности точки z A , где скорость звука совпадет с фазовой скоростью волны (т. е. в точке акустического резонанса):

cs (Za ) = и/|kx| , что ведет к

Q A = о.

1. Проблема акустического резонанса

По определению точка z A есть точка акустического резонанса, т. е. точка, где фазовая скорость волны в газе совпадает со скоростью звука.

Аналогичные случаи:

– резонанс в сдвиговом течении (для сдвиговых течений с профилем скорости V ( z )) [Линь-Цзя-Цзяо, 1958] и - kV ( z ) = 0;

– плазменный резонанс в неоднородной плазме [Арцимович, 1979] и - и p ( z ) = 0 ;

– альфвеновский резонанс (для гидромагнитных волн в неоднородной плазме) [Southwood, 1974; Chen, Hasegawa, 1974] и - k_xc_A ( z) = 0 .

В указанных случаях такая особенность в уравнении приводит к особенности в решении – оно обращается в бесконечность в особой точке. Тогда приходится учитывать диссипативные факторы, например вязкость, чтобы получить адекватное (физическое) решение. Поглощение же энергии в точках

резонанса для гидромагнитных волн остается конечным даже в пределе нулевой диссипации.

Цель данной работы – исследование акустического резонанса в атмосфере. Необходимо установить, будет ли сингулярным поведение физических величин в точке акустического резонанса в данной модели, где не учтена вязкость.

2. Исходные уравнения

Изучаемый процесс описывает система трех уравнений гидродинамики: уравнение непрерывности, движения и сохранения удельной энтропии:

| ^P + V • (p U r ) = 0; d t

\№   — — —

P ' + ( U -V)U I d t

——

-V P + p g;

ds = 0, dt

где s = C ( P, p ^Y ) - удельная энтропия.

Уточним, что в данной модели нет течения в состоянии равновесия U ₀ = 0.

Линеаризуем данную систему, затем решаем ее, учитывая, что в силу горизонтальной симметрии для любой из возмущенных осциллирующих величин X имеем X = X ( z )exp( i ( k_xx - и t )). Выражаем все возмущенные параметры (возмущенное давление P 1 , плотность ρ₁, проекцию скорости U_x ) через вертикальную проекцию скорости U z :

P = "^P f gu - c² d | ;

¹ Q A I ^gU z s dz J ;

i ff d P _a ^k X g P c и ^( dz Q A

^Uz. ⁺ p 0

ik ( ,dU \

Ux = —^ gU - cs2---z- , x Q2 | z s J

к²c²    \dU |

-T2^+ 1 1 -r^ ; (3) Q A   J -z )

где c²(z ) = kT ( z )/ m 0 g .

На вертикальную проекцию скорости Uz получаем уравнение d U -f 1+-ОЧоШ 1dU, + dz2 H dz dz

V

Роль акустического резонанса в колебаниях стратифицированной атмосферы

г

+ Q ² + ц

V

d (ln (QA))'

dz

U = o,

N =0 и N =2. Кроме того, в силу значений постоянных и, в особенности, их комбинации

1 γg где — = —

H

c s ²

Q ² = -1г I ® ² + c V

k X ( Y - 1 ) g ² ) ,2

-----73 -----I^- kx

Q ²( zA ) + ^{ц 2} - "WTA = ⁰

H ( z_A )

k x ² g

^Ц 2 ‘ ω ²

В изотермическом приближении уравнение (5) дает дисперсионное соотношение, решениями которого являются волны АГВ и ВГВ [Харгривс, 1982]. Вышеуказанные решения являются базой для построения теории распространения АГВ и ВГВ в произвольной атмосфере, но настоящая работа посвящена исследованию уравнения (5) в особых точках. Обычно в таких точках приближенные методы, например метод ВКБ (Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна), становятся неприменимы, и требуется отыскание точного решения.

оказывается, что ни одно из решений не содержит логарифмов, т. е. все q n равны нулю.

Таким образом, оба решения регулярны. Приведя решения к более простому виду (по построению решение с N =0 содержит в себе дополнительную лишнюю часть – уже полученное решение с N =2), получим:

U_t 1 = p o (1 + Ц^ + K 3 ^ 3 + k )

>2 2 = p 0 (^ ² + K ₃r + k )

где K ₃ = — |- k²x + ц ² 7 + (у - 1) ц ³, ^L A V ²          7

к 3

² 1 в     Г

-    + ц у

³ V ^{2 L} A    V

3. Метод Фробениуса

Метод Фробениуса – отыскание решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с помощью рядов [Коддингтон, 1958]. Чтобы применить метод, необходимо разложить коэффициенты уравнения в ряды. Для этого достаточно разложить скорость звука в ряд Тейлора вблизи интересующей нас точки z A , поскольку все коэффициенты уравнения (5) пропорциональны ей:

p ₀, p 0 - произвольные постоянные.

Решения регулярны, значит нельзя исключить, что и само уравнение может быть преобразовано к регулярному виду.

c

s

⁽ ^ ' -

i + A. +в x Г A. 1

V L a 2 V L a 7

⁺ K

4. Регуляризация уравнения

Вводя замену, следуя Лэмбу [Лэмб,1947], x = div (tr ) = Ш2 U^^iU,                    (11)

^ A

или

м

C 2 ( ^ ) = Z a „ ^ ⁿ , n = 0

исключим вторую производную из (5) с помощью (11). Получаем систему уравнений на χ, U и их первые производные. Вид этой системы позволяет исключение U , U ′. В итоге имеем:

где ^ = z - z A , a L A , p - параметры, характеризующие функцию c_s .

Тогда члены, составляющие особенность в уравнении (5), будут иметь разложение d (ln (QA)) = i + p + dz ^ 2 LA K

Подставим это разложение в (5). В результате постановка задачи будет такой: мм и ‘-|Z fn£n IU ‘ + |Z gn£n IU = 0,(7)

Vn=-1      7      Vn=-1

где U = U z .

Такой вид уравнения (с конечным числом членов с отрицательными степенями в коэффициентах) предполагает поиск решения в виде ряда

м

U = Z ( P n ^ ⁿ + q n ^ ^{n to}©) ■                    (8)

n = N

Произведя подстановку (8) в (7), получаем систему соотношений на неизвестные коэффициенты ряда (8). Первое из этих соотношений является характеристическим уравнением, из которого следует, что существует два линейно независимых решения с

Г/              1 1 Г               ‘xV x +1(ln(cx)) -h]x +1Q + ц(in(cx)) Ix = 0,(12)

где, в отличие от Q A , c 2 нигде не обращается в нуль. Уравнение стало регулярным.

Значит, его решение будет конечным в точке z A .

Проекции же скорости примут вид:

U z

U x

22 k_xc_s

® ² ( k X -

-3v| x ‘ ⁺ x | Ц

Ц ) ^{V V}

ik x ³ c s ²

® ² ( k X - Ц ² )

H

4 x ‘+11 -^ g 2T I x to V c_x to 7

т. е. конечны во всей атмосфере. В нашем случае решение не обращается в бесконечность в точках акустического резонанса – резонанса нет, а значит и нет особых областей, в которых происходит активная диссипация энергии волны и разогрев воздуха.

Заключение

Из вышеизложенного становится понятно, что вопрос о наличии или отсутствии акустического резонанса не тривиален и полученный результат (отсутствие резонанса) вовсе не очевиден.

Можно было бы сразу ввести замену (11) и исключить вопрос о резонансе. Но сама необходи-

Д.А. Чуйко мость поиска замены возникает только после вывода уравнения (5), то есть получения уравнения колебаний естественным путем.

Итак, новым в работе являются постановка вопроса о существовании резонанса и исследование уравнения (5) методом Фробениуса.

Выражается благодарность В.А. Мазуру за постановку задачи и полезное обсуждение.