Роль и место уравнений и неравенств с параметром в школьном курсе математики

На современном этапе развития школьного математического образования становятся приоритетными развивающие цели обучения. Особую актуальность приобретает формирование исследовательских умений учащихся, навыков решения сложных и нестандартных задач.

В теории и практике обучения математике одним из эффективных приемов развития эвристического мышления учащихся является формирование умений решать уравнения и неравенства с параметром. Кроме того признано, что умение решать уравнения и неравенства с параметром обладает определенной диагностической ценностью, так как они дают возможность не только определить уровень владения основным понятийным аппаратом школьного курса математики, но и проверить сформированность математического и логического мышления учащегося и навыки математической исследовательской деятельности.

Уравнения и неравенства с параметром в силу своего богатого потенциала общекультурного и развивающего характера, соответствия целям математического образования стали объектом пристального изучения многих математиков и методистов. Изучением особенностей решения уравнений и неравенств с параметрами, их роли в обучении математике в разные годы занимались М. И. Башмаков, Г. В. Дорофеев, М. И. Зайкин, Т. А. Иванова, Г. Л. Луканкин, А. Г. Мордкович, Г. И. Саранцев и др. Большинство исследователей подчеркивают важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметром, характеризуя их как исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и техники исследования.

Решение уравнений и неравенств с параметром открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов, востребованных в различных областях математики и смежных научных областях и дисциплинах. Кроме того, в уравнениях и неравенствах с параметром получают свое логическое завершение основные содержательнометодические линии школьного курса математики – функциональная, уравнений и неравенств, тождественных преобразований.

Потенциально заложенный в уравнениях и неравенствах с параметром развивающий характер определяется их способностью формировать большинство частных математических видов мыслительной деятельности учащихся, к которым относятся:

• -    нахождение области определения заданного уравнения;

• -    определение наличия и количества корней в уравнении;

• -    выражение одной переменной через другую;

• -    использование словесной и графической аргументации решения.

Вместе с тем в многочисленных учебно-методических пособиях для подготовки к итоговой аттестации школьников рассматриваются отдельные приемы решения конкретных уравнений и неравенств с параметром. Более того уравнения и неравенства, содержащие параметр, не изучаются систематически в школьном курсе математики, а рассматриваются лишь отдельные их простейшие примеры.

Так, например, в учебнике «Алгебра. 7 класс» под редакцией Макарычева Ю. Н. достаточно опосредованно представлены уравнения с параметрами. Тему отражают единичные упражнения, выделенные как упражнения повышенной трудности. При изучении темы «Линейная функция» рассматривается прямая пропорциональность, где не вводят понятие «параметр», но говорят, что расположение графика функции зависит от коэффициента, который и является параметром. Задание с параметром предлагается в разделе «Задачи повышенной трудности» в следующей формулировке: «Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а — 1)х =12 является натуральным числом».

В учебнике «Алгебра. 8 класс» под редакцией того же автора уравнениям с параметром отводится место в разделе «Квадратные уравнения». При этом понятие «параметра» вводится на основе рассмотренного примера: «...каждое из уравнений 7х = 5, —3х = 5,0х = 5 имеет вид ах = 5, где а - некоторое число. Первое уравнение, в котором а = 7, имеет корень 5 . Второе уравнение, в котором а = —3, имеет корень

—. Третье уравнение, в котором а = 0, не имеет корней. Рассматривая —3

уравнения ах = 5, мы придавали буквам а и х различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное число, а буквой а – некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром, а ах = 5 - уравнение с параметром». Далее сделан акцент на том, что решить уравнение с параметром – это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. Изложенную теорию иллюстрирует несколько примеров.

В учебнике «Алгебра. 9 класс» того же автора в отдельном параграфе данная тема не рассматривается, но присутствуют упражнения в пункте «Задачи повышенной трудности» следующего характера: «При каком значении а, сумма квадратов корней квадратного трехчлена х² — (а — 2)х — а — 1 принимает наименьшее значение?»

Анализ учебников алгебры для 7-9 классов под редакцией Алимова Ш. А. позволяет сделать практически аналогичный вывод: тема, отражающая решение уравнений и неравенств с параметром рассматривается опосредованно в контексте отдельных примеров и упражнений. Примером таких заданий может служить следующее: «Найти все значения r , для которых при всех действительных значениях x выполняется неравенство (г² — 1)х² + 2(г — 1)х + 1 > 0».

В учебниках алгебры для 7-9 классов под редакцией Мордковича А. Г. Также отсутствует систематическое изложение данной темы. Лишь в главе «Квадратные уравнения» автор рассматривает примеры, которые обозначается, как «уравнение с параметром». Например: х² — (2р + 1)х + (р² + р — 2) = о или рх² + (1 — р)х — 1 = 0. Рассматривая данные примеры, автор отмечает, что представленные квадратные уравнения отличаются от рассмотренных ранее уравнений тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными коэффициентами или уравнениями с параметрами.

Анализ действующих учебников алгебры и начал математического анализа для 10-11 классов позволяет констатировать, что уравнения и неравенства с параметром также не являются предметом изучения в рамках отдельно обозначенного раздела. Исключение составляет учебник алгебры и начал математического анализа для 10-11 классов Колягина Ю. М., в котором раздел «Уравнения неравенства с двумя переменными, содержащие параметры» завершает изложение курса. В данный раздел включены разобранные примеры уравнений, неравенств и их систем, содержащие параметр. Теоретическое обоснование методов решения рассмотренных примеров не представлено.

Вместе с тем, уравнения и неравенства с параметром традиционно являются неотъемлемой составляющей контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике, например,

«Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции /(х) = 2ах + |х2 — 8х + 7| больше 1», «Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система

( (|х —5|)² + (у —4) 2 = 9, ( (х + 2)² + у² = а²

имеет единственное решение». При этом задание с параметром (уравнение, неравенство или их системы) относится к алгебраическим   заданиям повышенного уровня сложности и ориентированно для конкурсного отбора в вузы с повышенным требованием к математической подготовке абитуриентов. Задание данного типа требует от учащихся владения целой совокупностью методов решения уравнений неравенств и их систем, что может быть достигнуто дополнительной подготовкой учащихся по изучению методов решения уравнений и неравенств с параметром что, к сожалению, не является предметом систематического школьного курса математики.