Широтно-импульсное управление электрореактивными двигателями при коррекции орбитального движения спутника

Разнообразные возмущающие факторы обуславливают отличие реального траекторного движения информационного спутника (связи, геодезии, землеобзора и др.) от его расчетного движения. Если такое отличие превосходит допустимые отклонения, то возникает необходимость коррекции (исправления) характеристик орбитального движения спутника на основе результатов наземных и космических (ГЛОНАСС/GPS) измерений параметров его фактической орбиты.

При постановке задачи орбитальной коррекции с помощью традиционных реактивных двигателей большой тяги обычно принимают допущение об импульсном характере изменения вектора скорости v ( t ) в некоторой точке движения спутника. Текущее состояние спутника на орбите определяется 6 общеизвестными параметрами кеплерова орбитального движения либо 6 фазовыми координатами – 3 компонентами вектора положения r ( t ) = {r _z .( t ) i = 1 ^ 3} и 3 компонентами вектора скорости v ( t ) = {v _z ( t )} поступательного движения спутника в околоземном пространстве. Для выполнения полной коррекции необходимо 6-ти параметрическое (по числу корректируемых параметров) управляющее воздействие. Однако в случае импульсного характера коррекции управляющими воздействиями могут быть только три компонента вектора скорости v ( t ) . Следовательно, для исправления всех шести параметров орбитального движения спутника требуется как минимум два включения корректирующей двигательной установки (КДУ) на основе реактивных двигателей для выполнения 2 трехкомпонентных коррекций. Реализация таких

Сергей Евгеньевич Сомов, научный сотрудник отдела «Динамика и управление движением».

коррекций наиболее сложна и требует высокоточной ориентации оси действия тяги КДУ в системе координат, в которой вычислялось направление потребного корректирующего импульса этой тяги. Требования к точности ориентации оси действия тяги КДУ значительно ослабляются при выполнении двухкомпонентных и однокомпонентных орбитальных коррекций.

При баллистических расчетах обычно предполагается, что суммарный вектор тяги КДУ проходит через центр масс (ЦМ) спутника C , и решаются задачи оптимизации траекторного движения по существу лишь одной точки C по расходу топлива, энергетическим, временным и др. критериям. Между тем, если принять конструкцию спутника в виде твердого тела со связанной системой координат (ССК) O xyz с началом в фиксированной точке конструкции - полюсе O , то при стандартных обозначениях модель динамики его пространственного движения в ССК имеет вид [1]

m v o - L x ci) - го x (L x m) = R o,

Lxv o + K +mxK = M o , где vo = vo + to x vo, L = mpc - вектор статического момента, K = Jo - вектор кинетического момента (КМ), постоянный вектор pc представляет расположение ЦМ C в ССК, а Ro и Mo - главные векторы внешних сил и моментов, представленные в ССК. В проектном (расчетном) варианте точки C и O совпадают, тогда вектор pc ^ 0, что дает L = 0, уравнение углового движения отделяется, но в уравнении поступательного движения остается зависимость от скорости вращения ССК m в инерциальной системе координат (ИСК). При совпадении точек C и O векторные уравнения поступательного и вращательного движений спутника полностью разделяются только при их представлении в ИСК в виде m v0 = R0; K 0 = M 0, где верхним индексом I отмечено, что указанные векторы определяются их проекциями на оси ИСК. В процессе орбитального полета спутника в силу ряда причин (расход топлива, изменение конфигурации навесных конструктивных элементов, например панелей солнечных батарей (СБ), и др.) вектор pc ^ 0, поэтому поступательное и вращательное движения спутника являются связанными.

Векторы внешних возмущающих сил и моментов, действующих на спутник, физически формируются в отношении его ЦМ C , этот факт следует учитывать при расчете главных векторов внешних возмущающих сил и моментов в полюсе O . С другой стороны, в силу технологических условий установки реактивных двигателей на корпусе космического аппарата (КА) ось действия суммарной тяги КДУ не проходит точно через полюс O и при коррекции орбитального движения спутника возникает возмущающий момент КДУ. При этом система управления ориентацией обеспечивает стабилизацию требуемого углового движения спутника и в ее электромеханических исполнительных органах (ЭМИО) с вектором КМ H происходит накопление вектора суммарного КМ G = K + H механической системы, обусловленного внешним возмущающим моментом.

Для эпизодической разгрузки ЭМИО от накопленного КМ традиционно применяется магнитный привод (МП), который создает механический момент за счет взаимодействия его электромагнитного момента с магнитным полем Земли. Однако здесь имеются общеизвестные ограничения [2,3] на доступные значения модуля и орта направления вектора механического момента МП, поэтому в [4] впервые предложено выполнять разгрузку ЭМИО при одновременном широтно-импульсном управлении как МП, так и КДУ. Одновременное создание внешних сил и моментов с помощью электрореактивных двигателей (ЭРД) является актуальной проблемой управления движением информационных спутников [5] – [9].

Некоторые вопросы оптимального удержания КА на солнечно-синхронной орбите (ССО) при стандартных способах управления шестью ЭРД были исследованы в [10]. При использовании ССО скорость прецессии плоскости этой орбиты равна средней угловой скорости годового движения Земли вокруг Солнца, при этом спутник землеобзора приблизительно в одинаковое солнечное время перемещается над фиксированной широтой земной поверхности. При решении задач космического землеобзора необходимо обеспечить [11,12] синхронность прецессии орбитальной плоскости ССО со средним движением Земли вокруг Солнца, стабильность высоты полета и местного солнечного времени на одной и той же широте, а также повторяемость прохож- дения трассы спутника через смежные районы съемки для полного покрытия заданного района земной поверхности. В статье решается задача разработки алгоритмов широтно-импульсного управления 8 ЭРД в составе КДУ оригинальной схемы [13] при удержании малого спутника зем-леобзора на ССО.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В дополнение к ИСК и ССК стандартным образом вводятся орбитальная система координат (ОСК) и геодезическая гринвичская система координат (ГСК). Ориентация ССК относительно ИСК определяется матрицей направляющих косинусов C , а относительно ОСК Oxoyozo – углами крена ф1 = у, рыскания ф2 = ^ и тангажа ф3 = О. Для простоты предполагается совпадение положений ЦМ C и полюса O в ССК. В процессе полета КА изменяются все шесть элементов его орбиты - долготы восходящего узла (ДВУ) Q , наклонения i , фокального параметра p , экс- центриситета e , углового расстояния перигея мп и момента времени тп его прохождения спутником. В соответствии с общеизвестными законами механики космического полета [14] – [16] значения этих элементов орбиты варьируются под воздействием гравитационного поля Земли и сопротивления ее атмосферы, гравитационных полей Солнца и Луны, сил светового давления Солнца, а также управляющих и возмущающих воздействий КДУ на основе ЭРД.

На рис. 1 представлена схема КДУ на основе восьми ЭРД [13]. Здесь орты ep, p = 1 ^8, осей сопел 8 ЭРД имеют в ССК представления в виде столбцов с с а в

С с ав e1

^- e 8

e ₂

e ₃

;

;

^^^^^^^в

C а S в

C а S в

S а

S а

^- e 7

^- e 6

C “ C "		" C а C в
- C а S ,	;   e 4       e 5	- C а S в
S а		- S а

,

где S_x = sin x , C_x = cos x , x = а ^е, P e .

Пусть p _p является вектором точки O _p приложения вектора тяги p -го ЭРД , причем в ССК векторы p _p , p = 1 ^ 8 , представляются столбцами

	[ b x 1		Г b x 1		Г b x 1		" b x
P 1 =	b>	; p 2	b ,	; p 3	- b,	; p 4	- b y
	. b z .		- b.		. b .		- b z

р5 =

- b x b y b_z

Рис. 1. Схема КДУ на основе 8 ЭРД

; Р б =

- b x b y ^- b z

; ^р 7

^^^^^^^^

^^^^^^^в

b_x b y

b z

^^^^^^^е

; ^р 8

^^^^^^^в

^^^^^^^в

b_x b y b z

.

Пусть также каждый ЭРД имеет широтноимпульсную модуляцию (ШИМ) тяги, что описывается нелинейными непрерывно-дискретными соотношениями pp(t) = Pm PWM(t-TeA,Tm, vpr) Vt e [tr,trJ с периодом Tue и временным запаздыванием Tzeu [17]. Здесь

PWM( t,t r , T m ,v pr ) ^

Signv pr t ^{e [} t r ,t r ^{+ T} pr ) _; 0 t ^{e [} t r ^{+ T} pr , t r + 1 )’

T = s

pr

0 sat( T_u ^e,|v _pr

|)

t r = rT U , t r + 1 = t r + T U

^|v pr | <  ^T m

^|v pr | >  T _m '

; r e N o = [0,1,2,3...) ,

где P^m

–

номинальное значение тяги, одина-

ковое для всех ЭРД в составе КДУ. В ССК вектор тяги p -го ЭРД вычисляется по формуле P _p ( t ) = - p p ( t ) e _p , а векторы силы R ^e и момента M e КДУ - по соотношениям R e = Z P _p ( t ) и M ^e = Z [ p p x ] P p ( t ) .

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается задача удержания малого спутника землеобзора на круговой ССО за счет эпизодической коррекции его траекторного движения с помощью КДУ на основе 8 ЭРД . Пусть такой спутник массой m = 1000 кг движется

на высоте H = 600 км по ССО с наклонением i = 97.8 град. Для условной даты 22.01.2015 и времени прохождения восходящего узла 08:00:00 по Гринвичу над земной поверхностью с геодезической долготой L_п = 90 град (ДВУ Q = 331.36 град) драконический период обращения спутника T = 5801.23 с = 96.68 мин, что дает 14.89 витков в сутки.

Пусть КА оснащен 2 панелями СБ суммарной площади 50 м² и нормаль к их рабочей плоскости наиболее близка к направлению на Солнце за счет регулярного одноосного вращения панелей относительно корпуса КА. Примем также, что коэффициент лобового сопротивления c x = 2.5 и при выполнении коррекции орбиты КА имеет фиксированную ориентацию в ОСК: углы крена Y = -10 град, рыскания ^ = 3 град и тангажа 0 = 8 град.

Солнце находится с одной стороны плоскости ССО – угол между направлением на Солнце и плоскостью орбиты равен - 28.11 град, силы аэродинамического сопротивления при указанной фиксированной ориентации ССК в ОСК и вращающихся крупногабаритных панелях СБ имеют несимметричный характер. В силу такой несимметричности притяжение Солнца и давление солнечного излучения приводит к вариациям положения орбитальной плоскости ССО (наклонение i и ДВУ ^ ), а силы аэродинамического сопротивления монотонно изменяют форму этой орбиты (фокальный параметр и эксцентриситет).

Приближенных аналитических соотношений [16], воспроизведенных в [10], недостаточно для достоверной среднесрочной (до 15 суток) оценки возмущений наклонения и ДВУ ССО с учетом

влияния сил солнечного давления и сил аэродинамического сопротивления при вращающихся крупногабаритных панелях СБ. Поэтому было выполнено численное исследование влияния всех внешних возмущающих сил (без включения КДУ) для рассматриваемого малого спутника на ССО с указанными параметрами. При этом влияние гравитационного поля Земли учитывалось 8 компонентами аналитического представления его потенциальной функции. Результаты такого анализа в отношении вариаций ДВУ 8Q и наклонения 5 i на трёх витках полета КА представлены на рис. 2.

Для используемых данных КА и ССО наибольшее влияние оказывают сопротивление земной атмосферы, гравитация Солнца и силы солнечного давления. При этом суточное изменение радиус-вектора ССО равно 13.5 м, за 10 суток полета уменьшение высоты орбиты составит более 100 м. Удержание КА на ССО может быть достигнуто только за счет эпизодической коррекции траектории спутника, в рассматриваемом случае с помощью КДУ на основе ЭРД. В отличие от КДУ с реактивными двигателями большой тяги, здесь коррекция орбитальных параметров выполняется на длительных временных интервалах и поэтому возможно аналитическое определение корректирующих силовых воздействий при различных составах корректируемых параметров орбиты [15, раздел 11.7]. При этом в ССК определяется вектор-функция R ^p ( t ) потребного импульса (pulse) вектора корректирующей силы t

Rp (t) = C( t )J C ‘(t) R е(т) dт, t0

которая должна быть реализована КДУ на основе ЭРД. Естественно возникает вопрос: каким же образом можно создать вектор потребного импульса корректирующей тяги Rp (t) произвольного направления в ССК, если орты ep осей сопел ЭРД фиксированы в ССК и каждый ЭРД может находится только в двух состояниях – включен (тяга pp (t) = Pm) либо выключен (тяга pp (t) = 0) ? Для решения этой проблемы применяется широтно-импульсная модуляция тяги всех 8 ЭРД, которая обеспечивает выполнение заданного значения вектора Rp (t) в моменты времени t = tr = r TU .

Для схемы КДУ на рис. 1 орты rp векторов pp вычисляются как rp =pp/р, где скаляр p = (bX + by + b2)1/2 является единым модулем точек O p приложения векторов тяги ЭРД в ССК. При обозначениях тr = {тpr}; De = {[ep],[rp X ep]};

r p = R p /P^m ; m ^p = M ^p /(P^m p ) ;

tp = {r p, m p }, где векторы Rp и Mp представляют импульсы векторов сил Re = R = {Rx,Ry,Rz} и моментов Me = M = {Mx,My,Mz} КДУ, заданные в ССК, принципиальная проблема заключается в решении векторно-матричного уравнения

D ^e т r = t ^p , т r e R ₊ ⁸ , t ^p e R ⁶ ;      (1)

при условии о

относительно компонентов вектора-столбца т_r= {t_pr}, когда прямоугольная матрица D^eи вектор-столбец t^p e R⁶заданы.

Ставятся задачи синтеза алгоритма управления КДУ на основе 8 ЭРД с ШИМ тяги (1), (2)

0      2000    4000    6000    8000    10000   12000   14000   16000

t,S

Рис. 2. Вариации долготы восходящего узла и наклонения ССО на трёх витках полета

и апробации этого алгоритма при выполнении коррекции ССО в отношении ДВУ.

АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ КДУ

При использовании псевдообратной матрицы (D^e)# = (De^D^D^t)^-1разработанный закон распределения длительностей т_pr тяги всех 8 эрд в составе КДУ на каждом полуинтервале времени t е [tr, tr₊₁) ШИМ управления с периодом TU при указанных условиях имеет следующую простую алгоритмическую форму:

т — (т         e # pg ■ ~ —" Т           Т