Силы, действующие между двумя одинаковыми сферами, окружёнными двойным электрическим слоем

Толщина ДЭС определяет дальность электростатических взаимодействий в растворе и характеризуется величиной κ ^–1 [1; 2].

При описании таких взаимодействий особый интерес представляют силы, которые возникают между частицами с перекрывающимися ДЭС. Вычислению сил, возникающих между двумя одинаковыми частицами посвящена данная работа.

Математическая модель. В неподвижной сплошной среде расположены две неподвижные сферические частицы Ω (1) и Ω (2) радиуса a . Для простоты введем декартову прямоугольную систему координат Ox 1 x 2 x 3 с началом O в центре первой частицы. Вектор * = (х 1 ,х₂,х₃) задает положение произвольной точки пространства относительно центра первой частицы, а вектор х — Г - относительно центра второй, который находится на оси x 3 на расстоянии г от начала координат.

Рис. 1.

В данном случае для описания поля нам достаточно указать его потенциал гр. Вне частиц он удовлетворяет уравнению Пуассона - Больцмана:

△р = к2р, где △ - это оператор Лапласа.

На поверхности частиц потенциал постоянен, а вдали от частиц равен 0: ^р1 аа(1) = ^р1 аа(2) = ^р а ,

р| „ = 0.

На произвольную частицу Q действует сила с компонентами

F i = j Pi jKj dS. an

В среде с неоднородным распределением потенциала компоненты тензора напряжений pij вычисляются по формуле:

£ _F д у д у      £ _F д у д у

8^ dx _s dx _s ^{ij +} 4л dx _i dx j ’

d ij есть символ Кронекера, s f - диэлектрическая проницаемость среды, по повторяющимся индексам идет суммирование в пределах от 1 до 3 [3].

Наша задача - из уравнений (3) и (4) вычислить силу F i , действующую на частицу Q (1), а для этого необходимо найти функцию у , удовлетворяющую уравнению (1) и краевым условиям (2).

Решение задачи. В [4] распределение потенциала было найдено в виде разложения по мультиполям:

Ф = С о ⁽1⁾Л о ⁽Х⁾ + C j ⁽1^ j ⁽X)+C jk ⁽1)A jk ⁽X) + С о (2)Л о (% - г) +

^{+ C} jkl ⁽¹^ jkl ^(X} + ^C jklm ⁽¹^ jklm ^{(X) +}----⁺ (^С²)^^ ^{-г) + С} jk ^(2)Л jk ^{(X — г)} +

^{+ С} jkl ⁽²'^)Л jkl ^(х■   ^г) + ^С jklт ^(2)Л jklт⁽■ ^   f^)+. ..

Функция Л0 определяется следующим образом:

ЛоСО

ехр(—к|Х|) й

а мультиполи более высокого порядка суть частные производные Л о :

.         д д. _

Aj^x) = — ... — А^х).

¹          dx j   дх_к

Искомыми величинами служат тензорные коэффициенты C о ( N ) , C j ( N ) , C jk ( N ) ,... в этом разложении. Номер N = 1,2 указывает на частицу, к которой относится тот или иной коэффициент.

Принцип построения общего решения (5) является достаточно общим и может быть применен для моделирования ДЭС в системах с произвольным количеством и конфигурацией частиц. Эти частицы могут, например, образовать бесконечную трехмерную периодическую решетку [5]. В любом случае структура коэффициентов определяется группой симметрии, которую имеют граничные условия исходного уравнения в частных производных.

В нашей работе конфигурация частиц имеет осевую симметрию, поэтому

C i = CB • b i , О / = CC • b i b j , O k = CD • b i b j b k b i.....

где b i - компоненты единичного направляющего вектора оси симметрии Ox 3 .

Чтобы найти коэффициенты C о , CB, CC, CD и им подобные, вводятся малые безразмерные параметры, характеризующие расстояние между частицами и толщину ДЭС по сравнению с их радиусами:

г =  ,     $ = _КГ = 2— .

г                 к 1

В работе [4] коэффициенты разложения были найдены с точностью до восьмой степени малых параметров.

Пользуясь этим решением, мы в начальном приближении нашли силу, действующую на частицу с центром в начале координат.

С точностью до второй степени малых параметров коэффициенты имеют вид:

Со(1) = Со(2) = Ф - еФ +

СВ(1) = -СВ(2) = аг²Ф

Остальные коэффициенты имеют более высокий порядок малости и потому считаются равными нулю. Здесь и далее Т = агра / ека.

Подставив (5) и выражения для коэффициентов (6) в (4) и (3), получим:

7 £F£2

Pi = ^-

^2 — b:, а2

что равносильно pi = - ^2^-

Анализ решения. Можно показать, что при г ^ 0и 5^0 заряд Q, сосредоточенный на поверхности частицы 0(1), равен

Q = £f^.

Поскольку частицы одинаковы, на поверхности 0(2) сосредоточен такой же заряд.

Выражая отсюда ^ и подставляя в (7), получаем известный закон Кулона:

Fi =

О. £_FT²

bi.

Это означает, что выражение (7) верно. В пределе, когда сферы, окруженные ДЭС, расположены далеко друг от друга, их можно считать точечными зарядами.

Так как вектор b сонаправлен с осью Ox3, то знак «-» в выражении (7) говорит о том, что сила действует со стороны частицы 0(2) на частицу 0(1) в направлении (-x3), а значит, является силой отталкивания. Именно такие силы должны действовать между частицами с одноименными зарядами.

Заключение. Итак, полученный результат согласуется с законом Кулона. В пределе при r ^ да, £ ^ 0 частицы, окруженные ДЭС, ведут себя как точечные заряды. Так как распределение ^ симметрично, заряды частиц равны; поэтому они должны отталкиваться.

Выражение (7), полученное вручную, можно использовать в качестве теста при проведении более сложных расчетов на ЭВМ, например, в системе Wolfram Mathematica. Результаты, найденные с более высокой степенью точности, в пределе должны переходить в формулу (7).

Саму найденную силу Fi можно применять для детального описания суспензии, например, исследовать движение частиц и жидкости под действием такой силы.