Силы Кориолиса как движущие силы в плавании морских животных

Силы Кориолиса как движущие силы в плавании морских животных

1.    Вступление

Кит движется со скоростью 30 км/час, благодаря волнообразным движениям хвоста в вертикальной плоскости [3, 4]. Для жителя прерий такое движение кажется необъяснимым, т.к. он не видел животных, несущихся по прериям, благодаря волнообразным движениям хвоста в вертикальной плоскости. У других морских обитателей хвосты поменьше и поэтому они «в дополнение к хвостам» извиваются всем телом, но в плоскости, перпендиклярной направлению движения - дельфины извиваются в вертикальной плоскости, а рыбы – в горизонтальной . “ Частота изгибов тела рыб, или ундуляция, довольно высока. Она в основном и определяет относительную скорость рыб. Чем чаще рыба совершает изгибы тела, тем большую скорость она развивает ” [11].

В сущности, идея та же: нужно двигать чем-нибудь перпендикулярно направлению движения и тогда поплывешь вперед! Добавим, что человек давно уже (но много позже, чем кит) тоже освоил метод движения вперед вертикальным движение весла – см. упоминания о венецианских гондольерах и др. в [5]. А в приложении 2 рассказывается, как ребенок инстинктивно научися плыть, по-видимому, таким же способом.

Вода творит чудеса! Это впервые доказали в независимых исследованиях, проведенных в 1909 и 1912 годах, Кноллер [1] и Бетц [2]. Они обнаружили что наклонное крыло создает эффективный угол атаки, что приводит к появлению силы тяги и подъемной силы. Это явление было названо эффектом Кноллера-Бетца. Этот эффект лежит в основе многих изобретений в водном и воздушном транспорте [5].

В [6] была предпринята попытка создания математической модели этого эффекта. Нельзя сказать, что она завершилась успехом. Но кроме объяснения механизма появления силы, необходимо (и более важно) найти источник энергии , который помогает морским обитателям неустанно двигаться, преодолевая

Доклады независимых авторов 2023 выпуск 58 сопротивление воды. Акула двигается беспрервно всю жизнь, а мощность, равиваемая китом, многократно превышает мощность подводной лодки при сравнмых размерах и скорости - см. приложение 1. Обнаружение источника энергии необходимо (естественно) и для технического конструирования. Отметим еще, что киты, акулы, подводные лодки и дирижабли поставлены в условия, намного более тяжелые, чем те, которые создавали авторы эффекта Кноллера-Бетца. Экспериментаторы создавали вертикальные колебания объекта (крыла) внешней силой , а животные и техника должны создавать эти колебания собственными силами .

В [11] читаем: « В физиологии известен так называемый "парадокс Грея". Еще в 30-е годы американский исследователь Дж. Грей при сопоставлении расчетных энергетических затрат, необходимых для движения в воде дельфина, с реальными затратами энергии животного обнаружил парадоксальное явление. Для движения со скоростью 40 км/ч дельфину длиной 180 см необходимо развить мощность не менее 2,5л. с. Реально дельфин не способен развить мощность даже в 0,5 л. с. Подобный парадокс обнаружен и у рыб. … Следует признать, что способность рыб к снижению гидродинамического сопротивления до сих пор остается во многом загадочным явлением природыУ

В приложении 1 приводится расчет мощности кита в сравнении с мощностью аналогичной по размерам и скорости подводной лодкой. Показано, что мощность, необходимая для движения кита, в несколько раз превосходит мощность, вырабатываемую самим китом.

Суммируя вышесказанное, можно предположить, что плывущий объект должен создавать вертикальную силу (как дельфины) или горизонтальную (как рыбы), чтобы вода создавала продольную силу.

2.    Математическая модель «рыбьего» способа плавания

Мы будем решать поставленную задачу, как задачу гидродинамики с массовыми силами, зависящими от скорости — подобно задачам расмотренным в [8]. Наиболее близкой к этой задаче является расчет морских течений и цунами — см. раздел 3 в [8].

Будем рассматривать струю воды, в которой движется вдоль своей оси объект в форме параллепипеда длиной L и квадратным сечением со стороной R . Будем рассматривать математическую модель этой струи в системе прямоугольных координат X, у, z , где

z

—

координатная ось, вдоль которой расположена ось

параллепипеда, у - вертикальная ось, X - горизонтальная ось. В [9, глава 5] показано, что для абсолютно замкнутых систем уравнения гидрродинамики принимают вид

/ • Jv + p • F = 0,

где / - коэффициент внутреннего трения, p — плотность жидкости, F - массовые силы, Jv — лагранжиан, который в прямоугольных координатах определяется формулой вида

A v = Д =

I AVzJ

Э2У х	+	Э2У х	+	Э2Ух "
Эх2		Эу2		Эz2
	+	92 У у	+	9_2 У у
Эх2		Эу2		<)z2
Э2уг	+	92vz	+	Э2уг
- Эх2		Эу2		Эz2 -

•

Массовые силы Кориолиса, создаваемые вращением Земли с угловой скоростью <У_о , определим как

Fx   2p^ovz,                                       (3)

Fz = 2ptooVx.                                         (4)

Для средних широт й)_о ~ 10^-5. Массовую силу тяжести определим как

Fy = -gp.

Запишем уравнение (1) с учетом (2-5):

Г 2

/ • Jv + pl -д I = 0.

2^o^vx-l

При этом наша задача принимает вид системы трех уравнений с тремя неизвестными v_x, Vy, v_z:

/ • AVx + 2pVztoo = 0,

/ • Avy - pg = 0,

/ • Avz + 2pvxtoo = 0.

Вначале будем искать решение в таком виде, который позволит нам объяснить «рыбий» способ плавания (с помощью горизонтальных колебаний тела). Для этого будем искать решение в следующем виде:

^vx = ^bx si, ^vy = ^by.

Vz = bz si, si = sin( Px + ay + /z),(13)

где b, a, P, X — некоторые константы. Подставляя (10-13) в (6), после дифференцирования получаем:

или [ AVxl [P2bxsi+a2bxsi+bxX2sf| lAVyl = |by 1 [ ^Vzj |_P2bz si+a2bz si+bzx2si_| (14) Г Av.]   lb spy! |av;I=IbX    l, (15) где z_|     L^zs1 KJ Y = P2+a2+x2. (16) Подставляя .(10-12, 15) в (7-9), получаем bxsi^Y + 2qbzwosi = 0, (17) by-qg = 0, (18) bzsi^Y + 2qbxcoosi = 0, (19) где q = ^

Одним из решений системы уравнений (17, 19) может быть:

bx = bz,(21)

bx = 2qtoo/y,(22)

Из (11, 18) получаем:

Vy = by = -qg.(23)

Из (3, 4, 10, 12, 21, 22) получаем:

Vx = Vz = (2qw0/Y)si,(24)

Fx = Fz = (2p^o )2si/Y.

Будем полагать, что объект собственными средствами создает еще горизональную силу F_xo. Определим еще плотности потоков

энергии, циркулирующих в струе вдоль осей координат:

^Sx = (^Fx ⁺ ~) ^Vx, ^Sz = ^Fz ^Vz.

Из (24-26) получаем:

Sz = ⁽2pwo⁾³si^2/y², Sx = Sz + Sxo,

где	Sxo = p ^x = py^qFxosi.                        (28)

Мы не рассматриваем вертикальные силы и потоки энергии, поскольку рыбы противостоят земному притяжению с помощью плавательного пузыря.

«Рыбий» способ плавания (с помощью горизонтальных колебаний тела состоит в том, что плывущий объект должен создавать горизонтальную силу, чтобы вода создавала продольную силу. Другими словами, в параллепипеде создается горизонтальная сила Fx, действующая на воду, а в воде создается продольная сила Fz, действующая на параллепипед. Эти силы действуют в некоторой области с длиной параллепипеда L и квадратным сечением со стороной R. В этой области распространяется горизонтальный поток с плотностью Sx и продольный поток с плотностью Sz. Это означает, что по горизонтали передается мощность

^Px = ^Sx^Qx                                        (29)

от объекта, а вдоль параллепипеда передается мощность от воды

Pz = SzQz                                        (30)

где Q_x — площадь поверхности одной стороны параллепипеда, а Q_z - сечение указанной области. Следовательно,

Qx = RL^ Qz « nR2.

Найдем отношение

Pz    s_zQ_z

— =--=

-nSzR2

^Px   ^Sx^Qx    ^(Sz^+Sxo ^)RL

Можно предположить, что собственная рыбья сила Fxo намного меньше силы Кориолиса Fx и, более того, горизонтальные колебания рыбы вызваны поддерживаются силой Кориолиса Fx (для этого плоскость их плоского тела расположена вертикально). Тем не менее, этой силой нельзя пренебргать в расчетах.

Предложенный расчет совершенно не учитывает частоту колебаний тела рыбы — частоту изгибов тела рыбы. Однако, как указано в [11], именно она в основном определяет скорость рыб.

Для оценки частоты колебани воды будем полагать, что скрость водных волн, возникающих вокруг движущейся рыбы, равна скорости рыбы. Тогда найденная нами скорость v_z — это скорость (13) синусоидальной волны с аплитудой

Vz = 2qto0/y2 . (34)

Будем полагать, что основную роль играют поперечные колебания тела рыба, создающие в теле рыбы продольную волну вдоль оси z. Будем полагать, что водная волна колеблется только вдоль этой же оси. Тогда (см. (13, 16, 34)):

Y = /2, si = sin( /z),(34)

i = 2q

Длина этой волны

Л = - .(37)

Тогда частота колебаний этой волны f = — = 1 •   1=

V_z - 2q«o/-²2qto₀ "

Найдем Л при изветной скорости i из (36, 37):

Л = <Д /2q

Иванов в [11, табл. 5.5] указывет, что ундуляция рыб 10 — f —

30,

а отношение 0.2 — f — 3.3.

Пример.

В [11] в системе СИ для карпа находим L = 0.25 м, f = 10. i=3.75 м/сек. Для воды, у которой р = 1000, р = 0.0009, находим из (20) q ~ 106. Для средних широт Шо ~ 10 5. Найдем длину волны в теле карпа

Лк = i fk = 37.5.                              (40)

Найдем длину водной волны при данной скорости V_z по (39) и частоту этой волны по (38): Л = 0.43, f = 0.12. Видно, что водная волна, несущая карпа с данной скоростьью, имеет примерно в 100 раз меньшую длину волны и частоты. Такая волна не видна рядом с рыбами.

3.    Математическая модель «дельфиньего» способа плавания

Принципиальное отличие «дельфиньего» способа плавания от рыбьего способа сотоит в том, что у дельфина тело колеблется по вертикали, а не по горизотали, как у рыб. Очевидно, что с математической точки зрения эти спосбы идентчны. Но, кроме того, у дельфинов и китов колеблется в основном только хвост. В приложении 1 показано, для колебания хвоста кит затрачивает около 10% той энергии, которая необходима ему для движения. Это, на наш взгляд, служит неопровержимым доказательством существования дополнительного (а на самом деле основного!) внешнего источника энергии, о которм мы говорили вначале.

4.    Заключение

Отношение (2.33) показывает, во сколько раз мощность поступающая «из воды», превышет мощность, отдаваемую объектом в воду. Мощность, поступающая «из воды», - это та мощность, которую передают силы Кориолиса, черпая энергию из гравитационного поля Земли.

Размер R области, из которой объект черпает энергию, очевидно, должен быть большим. Косвенным подтверждением этого служит тот факт, что для жизни аквариумных рыбок объем аквариума должен существенно превышать объем рыбок. Например, для золотой рыбки требуется 3 литра воды на 1 см длины тела рыбки, а для дельфина объем бассейна равен 500 м³.

Водная волна, создающаяся благодаря колебаниям тела рыбы, имеет длину волны и частоту, которые примерно в 100 раз меньше длины волны и частоты той волны, которая создается в теле рыбы.

Итак, основной способ плавания морских животных состоит в поперечном колебании частей своего тела. При этом вдоль тела возникает продольное течение, несущее тело животного в направлении, перпендикулярном этим колебаниям. Массовыми силами в таком течении являются силы Кориолиса. Энергия, поставляемая этими силами, намного превышает ту энергию, которую затрачивают животные на создание собственных поперечных колебаний. Эта энергия позволяет животным практически беспрерывно и быстро плавать, преодолевая сопротивление воды. Источником энергии является гравитационное поле Земли.

Приложение 1

Далее мы будем сравнивать китов сподводными лодками, но не с атомными (это было бы нечестно по отношению к китам), а с дизельными подлодками времен Второй Мировой Войны - см. табл. 1.

Движитель кита – его хвост. Функционирование такого движителя трудно объяснить, но (в угоду киту) будем считать, что

Доклады независимых авторов 2023 выпуск 58 движители подводной лодки и кита одинаково эффективны и перейдем к сравнению их двигателей.

Будем полагать, что мощности двигателей пропорциональны весу и калорийности топлива, т.е. эффективность двигателя

91 = P/(Q • К) (1) - см. табл. 1. Оказывается, китовый двигатель эффективнее двигателя подлодки в 3.7/0.056=66 раз!

Более скромные показатели будут, если не учитывать калорийность топлива и рассчитывать эффективность двигателя по формуле

92 = P/Q (2) Тогда оказывается, что китовый двигатель эффективнее двигателя подлодки в 7/0.76=6.6 раз.

Если же согласится с тем, что китовый хвост сам по себе – никуда не годный движитель, то надо признать, что есть неведомая стихия, которая развивает для кита мощность 500 л.с. в ответ на его катализационные движения хвостом (требующие сравнительно незначительной мощности).

Таблица 1.

Характеристики	Кит– [3] и [4]	Лодка – [3]	Лошадь
Длина	25 м	77 м
Диаметр		7.3 м
Вес (Q)	100 т	1000 т	1т
Мощность (Р)	500 л.с. =370кВт	760 л.с. =560 кВт	1л.с. =736Вт
Крейсерская скорость (V)	30 км/ч=8м/сек	15 км/ч=4м/сек
Движущая    сила (F=P/V)	46 N	140 N
Калорийность топлива (К)	1 ккал/г (мясо)	10 ккал/г (бензин)	0.4 ккал/г (зелень)
Движитель	Хвост	Гребной винт	Ноги
Эффективность двигателя 91 = P/(Q-K Вт/(г*ккал)	3.7	0.056	1.8
Эффективность двигателя 92 = P/Q л.с./т	5	0.76	1

Приложение 2

В статье [10] рассказывается очень интересная история о мальчике – аутисте Марке Рафаевиче. В частности, там есть такой эпизод. Марку нравилась вода и мама стала водить его в бассейн. «Тренер бился безрезультатно несколько месяцев, а в четыре года Марк вдруг поплыл! Но не как учили – кролем или брасом. И даже не по-собачьи. А скорее как-то по-тюленьи, шевеля всем телом и почти не двигая руками – при этом с дикой скоростью. Посмотреть на стремительно пересекающий бассейн объект пригласили спортивных функционеров. Марку пророчили карьеру в плавании, но эти разговоры. Но мама пресекла: будущий чемпион плавал в направлении собственной мысли, а не по инструкции. И если надоедало – просто вылезал и брел в раздевалку. Но после одного инцидента на море, когда спасатели час гонялись на лодках за резвившимся Марком, с водой пришлось завязать в принципе.» Но вопрос остался: каким способом плыл мальчик?