Синтез аналитических законов стабилизации орбитальной ориентации космического аппарата при отсутствии информации об измерении углов ориентации

Важность задачи поддержания орбитальной ориентации космического аппарата (КА) [1–3] даже при наличии отказов в системе управления, в т. ч. отказов датчиков измерения параметров вектора состояния углового движения КА [4–8], побуждает авторов проводить исследования по разработке законов управления для этих случаев. В работах [6, 7] рассматриваются отказы датчиков угловой скорости вращения КА. Статьи [5, 8]

посвящены отсутствию измерения некоторых углов или углов и угловых скоростей одновременно. Как правило, основным направлением решения задачи ориентации по неполному вектору состояния является построение наблюдателя состояния. Другим направлением исследований при отказах измерителей является использование методов поиска законов управления, получивших название «управление по выходу» [9]. Применение такого подхода при отказе измерителя углов ориентации и рассматривается в данной статье.

1. Уравнения движения

При малых углах отклонения от орбитальной ориентации и малых угловых скоростях линеаризованные уравнения углового движения на круговых орбитах, с учётом действия гравитационного момента, имеют следующий вид [2]:

. х ₁

. х ₂

. х ₃

. х ₄

. х ₅

.

х 6

0	1	0	0	0	0	х 1	+	0	0	0	u x u y u z
a 21	0	0	a 24	0	0	х 2		Jx –1	0	0
0	0	0	1	0	0	х 3		0	0	0
0	a 42	a 43	0	0	0	х 4		0	J y –1	0
0	0	0	0	0	1	х 5		0	0	0
0 к	0	0	0	a 65	0 7	х 6 к 7		0	0	J z –1 7

где

J_y – J_{z     2}

^a 21       J ^ω 0^;

a ₂₄

Jx + Jy – Jz

Jx

ω ₀ ;

u = – K x

^a 42

Jx + Jy – Jz

Jy

^ω 0^;

a 43

Jx – Jz Jy

_{ω 0} 2_;

определяет следующее выражение для матрицы коэффициентов обратной связи решения задачи стабилизации орбитальной ориентации:

a 65

Jx – Jy

J    3ω ₀ ² ; ω ₀

— орбитальная угловая

скорость; J_x , J_y , ральные моменты

J z

главные

инерции КА;

.

x ₂ = γ;

γ, ψ, ϑ

x ₃ = ψ;    x ₄ = ψ ^. ;    x ₅ = ϑ;

цент- x ₁ = γ ;

x = ϑ;

K = [( B ++ A 1 - Ф 1 B + ) B + B + ( B + A 1 - Ф 1 B + )] A - - Ф о [( B + A i - Ф 1 B + ) B ^ + B + ( B + A i - Ф 1 B + )]  (4)

углы крена, рыскания

гажа соответственно; u_x , ляющие воздействия.

В векторно-матричном записывается следующим x. = Ax + Bu,

u_y , u_z

и тан управ

-

-

B =

х =

виде система образом:

где A =

0	1	0	0	0	0
a 21	0	0	a 24	0	0
0	0	0	1	0	0
0	a 42	a 43	0	0	0
0	0	0	0	0	1
0	0	0	0	a 65	0

;

Jx ^–1

. х ₁

. х ₂

х ₃

. х ₄

;

х ₅

х

J_y –1

^J z ^–1

u =

;

u x

u

y u z

.

2. Синтез закона управления

Применение подхода,

предложенного

в работе [2] и основанного на том, что при полностью измеряемом векторе состояния управление

при условии, что A 1 = B ^ AB T ; В 1 = B AB , где B ^T = null( B ^T ) — ортогональная матрица, удовлетворяющая следующим условиям [9]: B ^ B = 0 3 _x 3 ; B ^ B ^ ^T = 1 3 , здесь I ₃ — единичная матрица размера 3×3; B ⁺ — псевдообратная матрица Мура–Пенроуза [т. е. BB ⁺ B = B ; B ⁺ BB ⁺ = B ⁺ ; ( B ⁺ B ) ^T = B ⁺ B ; ( BB ⁺ ) ^T = BB ⁺ ; B ^ B 1 = 0 2 _x 2 ; B ₁ B ₁ ⁺ B ₁ = B ₁ ; B ₁ ⁺ B ₁ B ₁ ⁺ = B ₁ ⁺ ; ( B ₁ ⁺ B ₁ ) ^T = B ₁ ⁺ B ₁ ; ( B ₁ B ₁ ⁺ ) ^T = B ₁ B ₁ ⁺ ]; Φ₀ , Φ₁ — матрицы размера 3×3 собственных значений замкнутой системы управления, удовлетворяющих следующему равенству:

eig( A – BK ) = _{i =1} eig( Φ _{i –1} ).

Индекс «Т» определяет операцию транспонирования матриц.

Воспользовавшись значениями матриц, полученными в работе [2]:

	1	0	0	0	0	0
B t =	0	0	1	0	0	0	;     (5)
	0	0	0	0	1	0
						л
	0	Jx	0	0	0	0
B 0 + =	0	0	0	Jy	0	0	;      (6)
	0	0	0	0	0	Jz
						7
				\
	0	0	0
A 1 =	0	0	0	;			(7)
	0	0	0
				7
	Jx –1	0	0
B 1 =	0	Jy –1	0	;			(8)
	0	0	Jz –1

B 1 + = B 1 –1 =	J x	0	0
	0	Jy	0
	0	0	Jz

при задании матриц Φ0, Φ1 в следую f11 + ig11 ем виде: 0 0 Φ0 = 0 f22 + ig22 0 ;                                   (10) 0 f11 – ig11 0 0 f23 + ig23 0 Φ1 = 0 f22 – ig22 0 ,                                   (11) 0 1 0 f23 – ig23 7 где f11, f22, f23 — действительные части корней замкнутой системы; g11, g22, g23 — мнимые части корней замкнутой системы; i — мнимая единица, — на основании выражения (4) с учётом значений матриц, приведённых в формулах (5) – (11), получим

По приведённой постановке задачи исследования отсутствуют измерения углов ориентации. Следовательно, если использовать матрицу K , определяемую выражением (12), то необходимо рассмотреть условия равенства нулю первого, третьего и пятого столбцов этой матрицы. В результате будем иметь три независимых друг от друга уравнения:

g ₂₃ = ± – a ₆₅ – f ² ₂₃ ,

а соответственно, значения действительных частей корней f ₁₁ , f ₂₂ , f ₂₃ собственных значений замкнутой системы управления ограничены следующими нестрогими неравенствами:

a ₂₁

+ f 1 ² 1 + g 1 ² 1 = 0;

a ₄₃ + f ₂₂ + g ₂₂ = 0;

–a21 ≥ f121;(16)

–a43 ≥ f222;(17)

–a65 ≥ f223.(18)

a65 + f23 + g23 = 0, решение которых относительно переменных g11, g22, g23 имеет следующий вид:

g ₁₁

– a ₂₁ – f ² ₁₁ ;

g ₂₂ = ± – a ₄₃ – f ₂₂ ;

Таким образом, если действительные части корней f ₁₁ , f ₂₂ , f ₂₃ собственных значений замкнутой системы управления задавать с учётом ограничений, задаваемых выражениями (16)–(18), а комплексные части определять на основании выражений (13)–(15), то матрица коэффициентов обратной связи решения задачи стабилизации орбитальной ориентации при отсутствии измерения углов ориентации будет иметь следующий вид:

K =	Jx ( a 21 + f 2 11 + g 2 11 )	– Jx f 11	0	Jxa 24	0	0	. (12)
	0	Jya 42	Jy ( a 43 + f 2 22 + g 2 22 )	–Jy f 22	0	0
	0	0	0	0	Jz ( a 65 + f 2 23 + g 2 23 )	–Jz f 23

K =

0	– J x f 11	0	Jxa 24	0	0
0	Jya 42	0	–Jy f 22	0	0
0	0	0	0	0	–Jz f 23

и собственные значения eig(A – BK), соответственно, равны eig(A – BK) = ( f11 ± i – a21 – f211; f22± i – a21 – f222; f23 ± i – a21 – f223).

Предложенный подход позволяет получить решения и для ряда других значений матриц Φ0, Φ1. В частности, если

ф = 0 f11 0 0 ; Φ1 = g11 0 0 0 f22 0 0 g22 0 0 1 0 f23 7 0 0 g23 7 то имеем следующее решение: K = 0 –Jx (–f211 + a21) / f11 0 Jxa24 0 0 , (20) 0 Jy a 4 2 0 – J y ( – f 22 2 + a 4 3 ) / f 2 2 0 0 0 0 0 0 0 –Jz (–f223 + a65) / f23 и собственные значения eig(A – BK), соответственно, равны eig(A – BK) = ( f11; f22; f23; –a21 /f11; –a43 /f22; –a65 /f23).

Все другие комбинации решения поставленной задачи, в зависимости от заданных значений полюсов замкнутой системы управления, можно построить на основании выражений (19) и (20) с учётом задаваемых матриц Φ₀ , Φ₁ , которые могут включать в себя различные сочетания действительных и комплексно сопряжённых корней, возможные для системы 6-го порядка.