System of two-dimensional Monge-Ampere equations: reductions and exact solutions

Исследована система двух двумерных неоднородных уравнений Монжа~--- Ампера. Такие системы находят применение в задачах гидродинамики несжимаемых двухжидкостных сред. Получены простейшие редукции этой системы к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью методов аддитивного разделения переменных в случае, когда правые части системы представлены в виде произведений сомножителей, зависящих от производных искомых функций по каждой переменной, и мультипликативного разделения переменных в случае, когда правые части системы содержат степенные нелинейности по искомым функциям и их производным. Также построены редукции и некоторые точные решения в случаях, когда решение имеет заданную зависимость от одной из переменных. В частности, рассмотрены решения, линейные по одной из переменных в случае, когда правые части системы линейно зависят от искомых функций и их производных. Также рассмотрены решения, экспоненциально зависящие от одной из переменных в случае, когда правые части системы имеют вид квадратичных полиномов от искомых функций и их производных. Показано, что система имеет решения типа классических бегущих волн, если на этих решениях правые части системы тождественно равны 0. Получены решения типа обобщенных бегущих волн и условия их существования в случае, когда правые части системы содержат произведения степенных нелинейностей по искомым функциям и их производным. Также получены условия существования степенных и экспоненциальных автомодельных решений. Приведены примеры точных решений указанных типов для рассматриваемой системы.