Система интегро-дифференциальных уравнений в терминах скоростей смещений упругого пористого тела и порового давления

Введение. Теория пористоупругости широко используется в геомеханике, биофизике и других областях науки и техники.

Теория Френкеля — Био является замкнутой системой дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов смещений упругого пористого тела и смещений жидкости [1, 2]. Эта система описывает распространение сейсмических волн в пористой среде и в изотропном случае содержит четыре независимых упругих параметра. Линеаризованная теория В. Н. Доровского является замкнутой системой дифференциальных уравнений второго порядка относительно векторов скорости смещений упругого пористого тела и скорости жидкости [3, 4], так же как теория Френкеля — Био, описывает распространения сейсмических волн в пористой среде, но в отличие от нее в изотропном случае описывается тремя независимыми упругими параметрами.

В работе [5] получена замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления во временной области. В частотной области замкнутая система дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления получена в [6].

В данной работе получена замкнутая система интегро-дифференциальных уравнений второго порядка относительно вектора смещений упругого пористого тела и порового давления в случае, когда в системе происходит потеря энергии за счет трения.

1. Система интегро-дифференциальних уравнений в терминах скоростей смещений упругого пористого тела и порового давления. Линеаризованная система уравнений В. Н. Доровского имеет вид [3, 4]:

P s u^ + d k h ik + — d i p + x P 2 ( U i - V i ) = 0 , ∂t           ρ

∂h ik ∂t

∂v i ρ l

^{P i} a t ⁺ .i + ц ( d i u k + d k u i. ) + ^ Л —

-

XP 2 ⁽ u i ~ v i ) = ⁰ ,

ρ s _K ^ρ

^ 5 ik div u - pp K 5 ik div v = 0 ,

∂p

— — ( K — а p p s ) div u + а p p _i div v = 0 .

Здесь u = ( u 1 , u ₂ , u 3 ) и v = ( v 1 , v ₂ , v 3 ) — вектор скорости упругого пористого тела с парциальной плотностью p s = p f (1 — d 0 ) и жидкости с парциальной плотностью p i = p f d 0 соответственно; d 0 — пористость; p — поровое давление; h ik — тензор напряжений; ρ _s ^f и p f — физические плотности упругого пористого тела и жидкости соответственно; Л >  0, ц >  0 — константы Ламе; а = pa 3 + K/p ² [4, 5], K = Л + 3 ц , p = p _i + p s , p ³ • а 3 >  0 — модуль объемного сжатия жидкой компоненты гетерофазной среды; χ — коэффициент трения; δ _ik — символ Кронекера; d i = dX i . Упругие постоянные K , ц , а 3 выражаются через скорость распространения поперечной волны c s и две скорости продольных волн c p ₁ , c p ₂ следующими формулами [7, 8]:

Ц = Р 0 ,s ^C S ,

K = Р 0     (^С’ 1 + ^СР 2

• ²    Р 0 ,/ \

-

8 ^Р 0 ,/ 2

c _s

• ^{3    p} 0

-   ^¡ c ² p ₁ - c ² p ₂ ^¢

2     64 Р 0 ,/ р 0 ,s

-

9 Р 0

c _s     ,

^{а 3}    2 p 0 ( c ^{p 1 +} c ^{p 2}

-

• ^{8 Р 0 ,s} _г2        ⁽ 2     ,.2 ^

3 p 0 c s + V c ^{C p 1}    c ^{p 2}^

2     64 Р 0 ,/ Р 0 ,

-

9 Р 0

s 4 c s

.

Далее для простоты рассмотрим систему (1) с нулевыми начальными данными Коши. Из второго уравнения системы (1) получим формулу для определения скорости:

v = У e ^{XP l (} t ^т ) ^ xp _i u V p^ dT.

Подставляя это выражение в первое уравнение системы (1), получим интегро-дифференциальное уравнение:

^dui 4- _(9, h-k + - dp + ^XPi u- = '2-^ / _e^-xpi ^{( t-T} ) (vpiu --<9 p^ dr dt ⁺ p k^ ik ⁺ p ipr ⁺ p u i    p J e            ^x P i u i pipr ‘*

После исключения дивергенции скорости жидкости из третьего уравнения системы (1) с учетом четвертого уравнения системы (1) получим дифференциальное уравнение

∂h ik ∂t

+ Ц ( d i u k + d k u i ) + ( Л — K 5 J S ik div u + K v 5 ik up = 0 . α ρ ²              α ρ ²     ∂t

Исключим скорости жидкости из четвертого уравнения системы (1), используя второе уравнение системы (1). Получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно порового давления p и скорости упругого пористого тела u :

_∂ 2 _p ∂t ²

a p l A p — ( K —

∂u     ∂p apps^3t + XPl di

— xp l ( K - a p 2 ) div u = 0 .

Исключим из уравнения (2) тензор напряжений hik. Для этого дифференцируем интегро-дифференциальное уравнение по времени д2Ui + _1. a dhik + 1 д dp + XP2 dui ∂ t2 ρs k ∂t ρ i ∂ t ρs ∂t

χρ ²

^l     χ ρ l u i

ρ s

-

∂ i p ^ρ

)

-

χ ² ρ _l ³

ρ s

f

_e - XP l ^{( t - T} )

(X P l U i — p d i p^ dT.

Подставим в последнее интегро-дифференциальное уравнение выражение из (3). После простейших преобразований приходим к интегро-дифференциальному уравнению относительно скорости упругого пористого тела u и порового давления p

д 2 u    p a ∂t 2     ρ s = XP 2 ρ s

X + p - K 2 / ( a p 2 )          K - a pp s 6p x^t д u_ u          P s         v diVu     ap 2 p s v at + p s at = f xp l u      V p)     p l ^0 e xp l ( t T ) Xxui U    p V p) dT.            (5)

Система (4) и (5) является замкнутой относительно скорости упругого пористого тела u и порового давления p интегро-дифференциального уравнения, которое описывает распро- странения сейсмических волн в насыщенной жидкостью пористой среде с учетом диссипации энергии, обусловленной коэффициентом трения.