Система нестандартных задач по математике, приемы и методы решения

Разработка системы нестандартных задач для элективного курса способствует развитию интереса к математике. Организация нестандартных задач в определенную систему должна учитывать запросы как преподавателей, ведущих занятия, так и обучаемых. Хотя основная роль нестандартных задач — развитие интереса обучаемых к математике, нельзя ограничиваться приведением только занимательных задач: обучаемые должны научиться решать определенные классы задач, освоить определенные идеи, приемы, методы.

Разрабатывая программу элективного курса «Решение нестандартных задач по математике» для физико-математического класса в систему задач включаем задачи, решаемые следующими методами: метод перебора; арифметический метод решения нестандартных задач; алгебраический метод решения задач; метод соответствия; логические методы решения задач; метод задач — заданий. Идея систематизации подсказана методами решения стандартных задач, олимпиадных задач, задач по математике для внеклассной работы [1, с. 3]. Проведем краткое описание методов.

Метод перебора.

Под методом перебора в математике понимают осуществление последовательного или случайного анализа всех или некоторых специально выбранных случаев, которые могут встретиться в ситуации, заданной формулировкой задач. Для классификации задач метода перебора выделим сначала две большие группы: задачи, решаемые методом полного перебора; задачи, в ходе решения которых возможно ограничить полный перебор.

При решении первой группы задач возникает проблема правильной организации полного перебора. Необходимо рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при решении задачи, избегая повторов и пропусков. Задачи первой группы делятся на серии в зависимости от системы организации полного перебора, к ним относят: правило крайнего; полный перебор с возвратом; графическое представление полного перебора; полный перебор «от конца к началу».

Правило крайнего — такая организация полного перебора, когда при рассмотрении всех возможных случаев берется самый «крайний случай» — «крайним» элементом может быть самый меньший или самый больший.

Полный перебор с возвратом — применяется в том случае, когда изменяются две переменные или более. Полный перебор осуществляется для определения всех возможных значений, как первой переменной, так и других. Тогда, дав первой переменной крайнее значение, надо перебрать все значения второй переменной (используя правило «крайнего»), затем возвратиться к первой переменной и, дав ей следующее значение, опять перебрать все значения второй переменной и т. д., пока не будет осуществлен полный перебор. Этот способ и называется перебором «с возвратом». Аналогично для трех и более переменных.

Графическое представление полного перебора — дает наглядную иллюстрацию полного перебора и в ряде случаев значительно упрощает решение. Для решения задач применяется упрощенный метод графов. Элементы задачи являются вершинами графа, линии их соединяющие — ребрами графа.

Полный перебор «от конца к началу» — рассмотрим на примере задач на переливание. К задачам на переливание относятся задачи, в которых надо получить определенное количество жидкости ограниченными средствами, иногда за ограниченное число переливаний.

(Одну из задач на переливание связывают с именем французского математика, механика и физика Симеона Дени Пуассона 1781—1840, который говорил, что задача про два сосуда определила его судьбу — он решил, что станет математиком). Такие задачи можно решать полным перебором вариантов. Но поскольку в них заданы начальная и конечная ситуация, то полный перебор рациональнее вести «от конца к началу», в этом случае возникает меньше вариантов, и перебор становится более целенаправленным.

Задачи второй группы, в ходе решения которых можно ограничить полный перебор, делятся на серии в зависимости от организации сокращения полного перебора. Задачи второй группы делятся на серии: выделение области поиска решения; «отсечение» — сокращение перебора, исходя из соображений симметрии.

Выделение области поиска решения — применяется в тех случаях, когда рассмотрение всех возможных решений задачи имеет такое число шагов, что рассмотреть их все очень трудоемкая работа. В таких случаях приходится ограничивать область поиска, иногда в результате теряются некоторые ответы. В предлагаемых задачах, прежде чем применять метод полного перебора, надо определить область, в которой вероятнее всего находится решение задачи.

«Отсечение» — сократить перебор можно, отбросив варианты, которые заведомо не дадут желаемого результата. Прежде чем начать перебор, надо рассмотреть все видимые с самого начала случаи, которые не приводят к решению задачи, а затем не включать их в перебор.

Арифметический метод решения задач.

Под арифметическими задачами мы понимаем вопрос, из какой угодно области, разрешаемый счетом и четырьмя арифметическими действиями. Сам метод «арифметическое решение задачи» отличается от алгебраических приемов в первую очередь тем, что на всех стадиях рассуждения все сопоставления и производимые действия допускают совершенно наглядное и конкретное осмысление в области тех величин, о которых идет речь, истолкование. Описывая основные идеи решения арифметических задач, выделяем 9 типов нестандартных задач: метод «от конца к началу»; сравнение двух условий вычитанием; нахождение среднего арифметического; совмещение событий происходящих в задаче, по времени; задачи на простой счет; задачи на движение; задачи на сравнение; прием «предположения»; перераспределение [2, с. 36].

Алгебраический метод решения задач.

Раздел объединяет задачи, которые сводятся к решению уравнений. Десятичная запись натурального числа. Как известно, десятичной записью натурального числа называется его представление в виде суммы, разложенной по степеням числа 10: х = ап10n + ап-1 10n-1 + ... + а110 + ао, где ап # 0. В основе решений, найденных с помощью десятичной записи, лежит идея алгебраизации; часто представление числа в виде разложения по степеням числа 10 позволяет свести задачу к решению алгебраического уравнения (иногда неопределенного уравнения). Имеется ряд задач, при решении которых применяются другие приемы. На основе алгебраизации записи числа решается достаточно широкий класс задач: числовые ребусы, задачи на доказательство, задачи на отгадывание чисел. При составлении задач на отгадывание чисел выбирается такая последовательность операций, что в результате получается или само число, или задуманное число можно получить, проделав простые операции.