СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ                   трогидродинамической модели функционирования

В последнее время появилось достаточно много работ, посвященных использованию электрокине-тических явлений для создания электрокинетиче-ских преобразователей: звуковых излучателей, приемников и ретрансляторов. Укажем лишь несколько работ, вышедших в последние годы [1–8]. Решение этого вопроса с теоретической точки зрения практически завершено, однако не полностью сняты научно-технические вопросы, связанные с обеспечением практической реализации этого проекта. И касается это в первую очередь вопросов практической реализации электрокинетиче-ских преобразователей в жидкой среде. В случае с воздушными электрокинетическими преобразователями эти вопросы к настоящему моменту можно считать решенными. Тем не менее, не дожидаясь окончательного решения научно-технических проблем, связанных с указанными преобразованиями в жидкости, желательно воспользоваться численным моделированием процессов на вычислительных пакетах с целью оценки сравнительной эффективности жидкостных и воздушных электрокинетических преобразователей вообще и электрокинетических излучателей в частности для адекватного прогноза эффективности их работы в жидкой среде.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Основная цель работы заключается в выборе и обосновании простейшей математической элек- электрокинетического излучателя в воде и в воздухе по компромиссному критерию "точность вычислений – скорость вычислений". Такой критерий актуален благодаря очень широкому кругу выбора математических моделей по их сложности и, соответственно, по немалому времени численного моделирования указанных непростых процессов.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Рассматриваемая в работе тематика относится к компетенции достаточно молодой области физики — электрогидродинамике (ЭГД). Согласно [9, с. 653], в средах с очень малой электропроводностью и без приложенного извне большого магнитного поля при скоростях движения жидкости, много меньших скорости света, определяющим во взаимодействии электромагнитного поля со средой является не магнитное, а электрическое поле. Электрическое поле в ЭГД описывается законами электростатики, а его воздействие на среду — электрической частью силы Лоренца ρeE , где ρe — плотность электрического заряда в среде, а E — вектор напряженности электрического поля. Электрический ток определяется при этом не только самостоятельным движением зарядов, но и учитывается ток переноса заряда жидкостью ρev (v — скорость течения жидкости) и ток смещения. Уравнениям электрогидродинамики посвящено достаточно много публикаций (отнюдь не полный их перечень приведен в работе [10]). Далее приведем систему уравнений ЭГД, выписанную в [10] с необходимыми комментариями, связанными с моделированием процессов на пакете COMSOL.

Первыми рассмотрим гидродинамические уравнения: сохранение импульса (уравнение Навье – Стокса) и уравнение непрерывности для несжимаемой жидкости с необходимыми обоснованиями выбора.

Начнем с общего случая сжимаемой вязкой жидкости. Согласно [11, с. 73], уравнение Навье – Стокса (сохранения импульса) и уравнение непрерывности [11, с. 18] имеют соответственно вид:

-v /

p- +(W) v =

= -Vp + nAv + 1 z + ||v(V-) v + f,          (1)

— p + V-(pv) = 0 .

д t         ^{v 7}

При определенных условиях жидкость можно считать несжимаемой, что влечет за собой упрощение системы уравнений Навье – Стокса и уравнения непрерывности, которые в случае однородной жидкости сводятся соответственно к виду [11, с. 73, 37]:

[11, с. 41], жидкость при стационарном ее течении можно считать несжимаемой при условии, что ва-

Ap риации плотности среды малы:     ≪ 1, что рав носильно условию v ≪ c, где v — амплитуда вектора скорости жидкости, с — скорость звука в жидкости. Кроме того, в нестационарном режиме движения жидкости необходимо выполнение еще одного условия [11, с. 42]:

l

^, c

^{τ ≫}

где τ и l — величины порядка промежутков времени и расстояний, на которых скорость жидкости и промежутки времени соответственно испытывают заметное изменение.

Согласно результатам работы [12], система уравнений гидродинамики для несжимаемой жидкости (3), (4) адекватно описывает гидродинамику процессов в электрокинетических преобразователях соответственно в воде до частот f <  100 кГц и f <  20 кГц в воздухе.

Далее рассмотрим уравнение сохранения энергии (уравнение теплопроводности) также для обоих случаев жидкости — сжимаемой и несжимаемой.

В случае сжимаемой жидкости это уравнение имеет вид [11, с. 273]:

ρ

— + (v • V) v 51 v 7

-Vp + nAv + f,

ρT

— + v - V .$■ д t

= V- ( kV T ) +

n д v_t    д v_k   2     . I ,        ■

⁺ O      ⁺ T k ^- Ч⁵* ^div v I ^{+ Z} ( ^div v ) .

2 _чд x_k    д x .   3 J

Здесь T — поле температур в жидкости; s — энтропия единицы массы жидкости; κ — коэффициент теплопроводности.

В случае несжимаемой жидкости уравнение теплопроводности преобразуется к виду [11, с. 277]:

д v.   д Vk I

+ —k I

1 ^д xk    ^д x. J

-T + v -V T = xA T + — д t                    2 c_p

⁺ w / pC p ,

где v = n / p — кинематическая вязкость, а вместо коэффициента теплопроводности κ введена температуропроводность x = к / pc p ; c_p — удельная теплоемкость при постоянном давлении.

В уравнении (6), в отличие от [11, (50.2)], справа добавлена плотность теплового источника w (нормированная, как вся правая часть, произведением ρcp ) — теплота, выделенная источником в единицу времени в единице объема жидкости, [ w] = Вт/м3. Рассмотрим случай, когда такой тепловой источник порождается процессом прохождения через электролит электрического тока. В данном случае воспользуемся законом Джоуля – Ленца о выделении тепла при прохождении тока. Мощность выделения тепла w (тепла, выделяемого в единице объема среды в единицу времени) при протекании электрического тока пропорциональна произведению плотности электрического тока j на величину напряженности электрического поля E [14, с. 604, 605]. Математически это записывается так:

w = j • E . (7)

Для того, чтобы в уравнениях движения неравномерно нагретой жидкости можно было считать плотность постоянной, необходимо, помимо малости отношения скорости жидкости к скорости звука v ≪ c , чтобы имеющиеся в жидкости разности температур были достаточно малы (речь идет именно об абсолютных значениях разности температур, а не о градиенте температуры). В этом случае жидкость можно считать несжимаемой. Считая разности температур малыми, можно пренебречь также и температурной зависимостью величин η , κ и с_p , т.е. уравнение теплопроводности может быть записано в виде (6) [11, с. 277].

Таким образом, при принятых выше допущениях гидродинамическая часть уравнений, описывающих исследуемый процесс, может быть записана в виде уравнений Навье – Стокса для несжимаемой жидкости (3), (4), а уравнение теплопроводности может быть записано в виде (6), (7).

О ПЛОТНОСТИ ТОКА

В ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОМ ПРОЦЕССЕ

В электроосмотическом процессе при вычислении плотности электрического тока j в заполненных жидкостью тонких капиллярах и диафрагмах необходимо учитывать некоторые особенности электропроводности, в отличие от электропроводности в свободной жидкости (см., например, [15, гл. 5], [16, с. 211–214]). Это связано с повышением концентрации ионов около поверхностей раздела жидкость – твердое тело вследствие образования двойного электрического слоя (ДЭС). В результате адсорбции ионов суммарная концентрация их в подвижной части ДЭС превышает таковую в окружающем свободном растворе. Избыток противоионов в ДЭС превышает по абсолютной величине недостаток коионов. В этом случае возникает дополнительная электропроводность σs , обусловленная поверхностным избытком ионов и называемая поверхностной проводи- мостью. Отметим [16, с. 211], что величина σs здесь отнюдь не является удельной проводимостью поверхностного слоя, а представляет собой избыток объемной проводимости жидкости σ в пористой среде, усредненный, как бы "размазанный" по всему объему капилляра. Таким образом, удельная электропроводность пóрового раствора σ является суммой объемной электропроводности σv и поверхностной электропроводности σs :

° = ° v + ° s ^.

В работе [15, c. 26] тем не менее отмечено, что при выполнении условия*

Rel = ° ^ « 1                   (8)

σv поверхностная проводимость оказывает слабое влияние на электрокинетические явления. А для случая капилляров постоянного сечения поправкой (8) исчерпывается влияние поверхностной проводимости на электрокинетические явления и, в частности, на электроосмос.

Поскольку далее при проведении модельных экспериментов радиус капилляра, наполненного жидкостью, в котором осуществляется моделирование электроосмотического процесса, будет значительно больше толщины ДЭС, то жидкость, текущая через капилляр, будет иметь удельную электропроводность σ , близкую к σ _v , и поверхностной проводимостью можно пренебречь.

О ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВОГО ИСТОЧНИКА w

Мощность w выделения тепла (7) в капилляре вычисляется так:

w = jE = ¹¹ = ^j = ° v E • E = ° v |E| 2 .      (9)

σ _v σ _v

На электроды мембраны электрокинетического излучателя обычно подается смесь U0 + u1 постоянного напряжения U0 = const и переменного синусоидального напряжения u1 = u0e'м соответственно (здесь u0 — амплитуда переменного напряжения u1 ). В случае гармонического переменного напряжения в (9) нужно учитывать действующее значение амплитуды электрического поля, в случае постоянного напряжения в (9) учитывается амплитуда постоянного напряжения. Тогда (9) после осреднения по периоду колебаний переписывается так: w = w0 + W1, где w0 и W1 равны соответственно:

w0 = °v lEol2 = °v (U0 /l )2 и w1 = °v|E1|2 = °v(u1 / l)2 = °v (u0/ l/ / 2 .

Здесь l — толщина мембраны электрокине-тического излучателя. Окончательно для (9) имеем:

w = °v[Uo2 + u02/2] .(10)

Тогда с учетом (10) уравнение (6) запишется следующим образом:

( d v,    d v_k

+

< ^{d X} k  ^d X

-T + v-v T = x^ T + — dt2

+ °. U02 + u02/2].(11)

ρc_pl ²

ВЫВОДЫ

Таким образом, выше показано, что система уравнений для описания гидродинамических процессов и процессов, связанных с теплопереносом, применительно к моделированию электрокинети-ческого излучателя при подаче на него постоянного напряжения накачки U ₀ и переменного напряжения амплитудой u ₀ , может быть ограничена гидродинамической системой уравнений (3), (4) с источником f = p e E в (3) и уравнением сохранения энергии (11) с источником ° ^v Г U ₀ ² + и 2 / 2 П .

ρc_pl ²

Предложенная система уравнений является полной и максимально упрощенной, позволяя достаточно точно численно моделировать рассматриваемые процессы.

Работа выполнена в ИАП РАН в рамках Государственного задания Министерства науки и высшего образования РФ № 075-01157-23-00 от 29.12.2022 г.