Сложные события и расчет их вероятностей

Введение. Известно, что теория вероятностей изучает модели экспериментов со случайными исходами (случайных экспериментов) и всякий случайный эксперимент (испытания, опыт) состоит в осуществлении некоторого вполне определенного комплекса условий и наблюдении результата [1-2]. Предметом наблюдения в том или ином случайном опыте может быть некоторый процесс, физическое явление или действующая система. Для реально воспроизводимого эксперимента понятие «наблюдаемый результат» означает, что существует принципиальная возможность зарегистрировать данный результат опыта с помощью того или иного прибора. И, любой наблюдаемый результат интерпретируется как случайный исход опыта, которого называем случайным событием. Заметим, что событие может произойти, а может и не произойти в результате опыта.

Сложные события и их вероятность . На практике часто наблюдается сложные события и задачи для нахож-дения вероятностей наступления таких событий. Сложным событием называется наблюдаемое событие, выраженное через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций. Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формулы умножения, т.е. если оба события А и В обладают ненулевой вероятностью то формула умножения может быть записана двояким образом в виде

Р(АВ) = Р(А) • Р(В/А) = Р(В) • Р(А/В)                 (1)

и формулы сложения, которая в случае двух произвольных наблюдаемых событий A и B записывается в виде

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) ,                      (2)

в частном случае, когда А • В= 0 , то

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (аксиома сложения).

Отметим, что формула (1) позволяет вычислить вероятность совместного осуществления событий A и B в тех случаях, когда условные вероятности Р (В / А) и Р (А / В) считается известной из дополнительных опытов или определяется методом вспомогательного эксперимента.

Формула умножения для произвольного числа событий записывается следующим образом:

Формула (3) справедлива, если все входящие в правую часть условные вероятности определены [3-9].

Аналогично, формула (2) для n слагаемых обобщается следющим образом:

n

P Z A k

n

= ZP (Ak )-ZZ P (4AJ+SZZ P (AiAjAk) + -+(-!) n4 P (A, A. A3 - An)•(4)

ij

i jk

В частности, для вероятности осуществления хотя бы одного из трех событий, A , B и C получаем формулу

P (A + B + C ) = P (A) + P (B) + P (C)-P (AB )-P (AC)-P (BC) + P (ABC)

Если события A, A, A,..., A независимы в совокупности то вероятность осуществления хотя бы одного из них проще вычисляется не по формуле сложения (4), а с помощью формулы умножения:

P(A, + A2 +-+ An) = 1 - P ( A,+ A +-+ An ) = 1 - P ( A )• P (A )-• P (An)

Задачи для применения. Теперь рассмотрим некоторые задачи вычисления вероятностей сложных событий.

Задача 1. В продукции завода брак составляет 5% от общего количества выпускаемых деталей. Для контроля отобрано 20 деталей. Какова вероятность того, что среди них имеется хотя бы одна бракованная?

Решение: Для любой детали из продукции завода вероятность быть бракованным равна по условию 5%, т.е p = 0.05 = P(Ak), k = 1,2,-.,20.  , где событие Ak = (k-я по счету извлечённая деталь бракованная). Очевидно, нас интересует событие A, + A + — + A0. В условиях отлаженного технологического процесса можно считать, что события A + A +—+Ao независимы в совокупности. Тогда по формуле (6) получаем:

P ( A + A + .+ A ₀) = 1 — П P ( A ) = 1 - 0.95 ²⁰ « 0.64

k = 1

Задача 2. Из 100 студентов, находящихся в аудатории, 50 человек знают английский язык, 40- французский и 35- немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий -8, французский и немецкий -10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудатории. Вычислить вероятности следующих событий: А-вышедший знает или английский или французский язык; B - вышедший знает только английский язык; C - вышедший не знает ни одного языка.

Решение. Рассмотрим следующие события:  E -вышедший знает английский язык, F - вышедший знает французский язык, D - вышедший знает немецкий язык.

Так как A = E + F , то, используя формулу (2) получим:

P ( A ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( EF ) = — + — - -⁵⁰ • — = 0,5 + 0,4 - 0,2 = 0,7 .

100  100  100 100

Событие B можно представить в виде B = EDF . Тогда используя формулу умножения (1), свойства условной вероятности и формулу сложения (2) получим:

P ( B ) = P ( EDF ) = P ( E ) • P ( DF / E ) = P ( E ) • ( ! - P ( D + F / E ) ) =

= P ( E ) - P ( E ) • P ( D + F / E ) = P ( E ) - P ( DE + FE ) =

= P ( E ) - ( P ( DE ) + P ( EF ) - P ( DEF ) ) = 0,5 - 0,08 - 0,2 + 0,05 = 0,27

Для вычисления вероятности события С = EDF используем правилу де Моргана [5] и формулу сложения (5) для трех событий и получим следующие

P ( C ) = P ( EDF ) = P ( E + D + F ) = 1 - P ( E + D + F ) =

= 1 - ( P ( E ) + + P ( D ) + P ( F ) - P ( ED ) - P ( EF ) - P ( DF ) + P ( EDF ) ) = 0,08

Задача 3. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле.

Решение: Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А ) равна Р ( А ) = 1 - q ³, где q- вероятность промаха.

По условию Р (А) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 - q3 или q3 = 1 - 0,875 = 0,125 . Отсюда q = 33/0,125 = 0,5.

Искомая вероятность p = 1 - q = 1 - 0,5 = 0,5.

Задача 4. Происходит воздушный бой между бомбардировщиком и двумя атакующими его истребителями. Стрельбу начинает бомбардировщик: он дает по каждому истребителю один встрел и сбивает его вероятностью p . Если данный истребитель не сбит, то он независимо от судьбы другого стреляет по бомбордировщику и сбивает его с вероятностью p . Определить вероятности следущих исходов боя:

А - сбит бомбардировщик; В - сбиты оба истребителя; С - сбит хотя бы один истребитель; Д - сбит хотя бы один самолет; Е - сбит ровно один истребитель; F - сбит ровно один самолет.

Решение. Вероятность того, что один истребитель собьет бомбардировщик, равна (1 - р^p ₂; вероятность того, что хоть один из них собъет бомбардировщика:

Р ( А, ) = 1 - [ 1 - (1 - р^ p 2 ] ²;     Р ( B ) = р , ²;     Р(C ) = 1 - (1 - Р 1 )² ;

Р ( D ) = 1 - (1 - _й )² (1 - р 2 )² ;    Р ( E ) = 2 р . (1 - р . ).

Событие F представляется в виде F = F + F ₂ + F ₃, где F - сбит бомбардировщик, а оба истребителя целы, F ₂ - первый истребитель сбит, а второй истребитель и бомбардировщик целы, F ₃ - второй истребитель сбит, а первый истребитель и бомбардировщик целы.

Тогда вероятности событий F , F 2 и F 3 равны, соответственно,

P ( F ) = (1 - д)² [ 1 - (1 - р 2 ) ² ] ;     P ( F 2 ) = P ( F) = р 1 (1 - р 1 )(1 - р 2 ).

Следовательно, получим вероятность события F в виде

P ( F ) = (1 - р 1 )² [ 1 - (1 - р 2 )² ] + 2 р 1 (1 - р 1 )(1 - р 2 ) .

Задача 5. Радиолокационная станция ведет наблюдение за k объектами. За время наблюдения i - й объект может быть потерян с вероятностью р₁ ( i = 1,2,..., k ) Найти вероятности следующих событий: A - ни один объект не будет потерян; B - будет потеряно не менее одного объекта; С - будет потеряно не более одного объекта.

kk Решение. P ( A ) = П (1 - р , ) ;   P ( B ) = ¹ - П (1 - Р i ) ;

i = 1                                               i = 1

P ( C ) = П (1 - р,) + Л^ - р 2 )....(1 - р„ ) + (1 - Я) р 2 (1 - р з )....(> - р к ) + .... i = 1

... ^{+ (1 - р} 1⁾⁽ 1 ^{- р} 2⁾ .-.- ⁽ 1 ^{- р}к - 1 ) ^р к .

Последнюю вероятность можно записать в виде k   kk

P ( С ) = П (1 - р , ) + Х — П (1 - р - ) ■ i = 1                    i = 1 ^{1     р} , i = 1

Задача 6. N стрелков независимо один от другого ведут стрельбу каждый по своей мищени. Каждый из них имеет боезапас k патронов. Вероятность попадания в мищень при одном выстреле для i - го стрелка равна р _; ( i = 1,2,..., N ) . При первом же попадании в свою мищень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятности следущих событий:

А - у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотя бы один патрон; В - ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас; С - какой –либо один из стрелков израсходует весь боезапас, а все остальные – не весь.

Решение. Событие А - весь боезапас израсходован - требует, чтобы у всех N стрелков первые к - 1 выстрелов дали промах:

NN p (A)=П <1 - р,)к-1;         p( a )=1 - П (1 - р-)к-1 ■ i=1                                                             i=1

Событие В требует, чтобы у каждого стрелка хотя бы один из первых k - 1 выстрелов дал попадание:

P ( В ) = П [ 1 - <1 - A ) ‘ ^{- 1} ] .

= 1

Событие С может осуществиться в N вариантах: С = С₁ + С ₂ + ... + C_N , где С - i - й стрелок израсходовал весь боезапас, а остальные - не весь ( i = 1,2,..., N) .

P ( C ) = P ( C , ) + ... + P ( C n ) = (1 - p , ) k ^{- l} [ 1 - (1 - p 2 ) k ^{- 1} ] .... [ 1 - (1 - P n ) k - ] + .... +

NL f            ^{- 1}     N

+(1 - Pn ) k- [1 - (I - P1) k -1].... [I - (1 - Pn ) k -'] = X|              П[' - (1 - Pj) k-'Л i=1 t1 - (1 - pi)    J=1