Согласованные движения электронов на поверхности графена

Графен – первый и наиболее известный двумерный кристалл, полученный из обычного графита. Интерес к двумерным объектам появился достаточно давно; существуют теоретические исследования по изучению двумерно- го газа. Л. Д. Ландау предполагал, что двумерный кристалл в принципе не может быть устойчивым. Однако в 2004 г. в университете Манчестера выпускники МФТИ А. Гейм и К. Новоселов получили образцы графена – двумерной модификации углерода [1–4].

Наличие образцов двумерного кристалла позволило вести целенаправленные экспериментальные и теоретические исследования. На данный момент известны свойства графена, делающие его действительно уникальным материалом. Графен обладает высокой механической прочностью, хорошо проводит электрический ток и тепло и т. д. [5–10]. Естественно, подобные свойства нуждаются в теоретическом описании.

В статье основное внимание будет уделено линейному закону дисперсии электронов в графене. Линейный закон дисперсии действует для безмассовых частиц; следовательно, квазичастицы, возникающие при прохождении тока в графене, имеют нулевую эффективную массу. Кроме того, считается, что квазичастицы в графене являются фермионами. Линейный закон дисперсии позволяет моделировать в графене процессы, аналогичные процессам в квантовой электродинамике, без привлечения высоких энергий. На наш взгляд, изучение и объяснение линейного закона дисперсии являются ключевыми вопросами для построения законченной

Том 29, № 2. 2019

теории графена. К настоящему времени объяснению линейного закона дисперсии посвящено достаточно большое число работ.

В представленной статье предложено подойти к изучению линейного закона дисперсии электронов в графене с использованием универсального метода моделирования, предложенного в исследованиях по синергетике [11]. Авторами предложена макроскопическая модель движения электронов в графене; после ее анализа будет рассмотрена микроскопическая модель. В результате исследования должна быть получена простая и адекватная модель распространения электронной волны по поверхности графена, а также рассмотрено парное взаимодействие электронов.

Обзор литературы

Кристаллическая решетка графена представляет собой гексагональные соты (рис. 1).

Сама элементарная ячейка состоит из двух видов атомов. Расстояние между ближайшими атомами углерода a = 0,142 Нм; расстояние между двумя

Р и с. 1. Строение решетки графена

F i g. 1. The graphene lattice structure

одинаковыми атомами a = 0,246 Нм. Из четырех электронов, находящихся на внешней оболочке атома, три «жестко» зафиксированы связью sp ² -гибриди-зированных орбиталей с соседними атомами. Оставшийся электрон располагается перпендикулярно основной плоскости кристалла, находясь в 2 p_z состоянии. Именно данный электрон отвечает за электронные свойства графена [12]. С учетом требований минимума энергии для устойчивого состояния объемная модель сотовой ячейки имеет вид, представленный на рис. 2.

Одной из основополагающих работ, посвященных изучению дисперсионного закона электронов в углероде, считается статья П. Р. Уоллеса, опубликованная в 1947 г. [13]. Автором было показано, что энергетическая щель между валентной зоной и зоной проводимости отсутствует. Это приводит к выводу о линейности закона дисперсии, то есть линейной зависимости энергии от импульса квазичастицы:

E = п kvF. (1)

Здесь v_F – скорость Ферми; E – энергия квазичастицы.

Линейный закон дисперсии соответствует безмассовым частицам; следовательно, эффективная масса электрона в графите равна нулю. Обнаружить такое свойство в многослойном объемном кристалле экспериментально было практически невозможно. Однако после получения графена линейный закон дисперсии был обнаружен. Рассчитаны значимые характеристики, например, фазовая скорость электронов Дирака; изучен квантовый эффект Холла, который оказался дробным [14].

Успешные эксперименты привели к появлению теоретических работ, посвященных поведению электронов в графене. К настоящему времени построена достаточно обширная теория. Приведем необходимые для дальнейшего исследования сведения.

Построена зонная теория графена. В частности, на основе линейного закона дисперсии было составлено уравнение Дирака [2; 12]; точнее, уравнение, аналогичное уравнению Дирака, следующего вида:

Р и с. 2. Объемная модель сотовой ячейки

F i g. 2. The solid model of the cell

H = ih

- V

_ 0

0 1 s vj

,

где a - двумерный вектор, составленный из матриц Паули.

Общий вид решения уравнения (2) представлен формулой:

1            1        ^

Ф=V2Uxp( q rp( kxx+)’(3)

где k - квазиимпульс электрона в графене.

Подробно изучена система «электрон - дырка» [2]; сделан вывод о возможности образования электроннодырочных пар, аналогичных парам Бардина - Купера - Шифера ¹ ; исследованы свойства указанных пар.

В данной статье продолжено исследование электронных явлений в графене, при этом основное внимание уделено построению достаточно простой, но вполне адекватной модели распространения электронных волн, а также гипотезы об образовании системы «электрон - электрон».

Материалы и методы

Построение макроскопической модели

Если рассматривать макроскопический образец графена, то распределение электронов сверху и снизу кристалла можно считать непрерывным.

Предложим следующую модель.

1. Графен представляет собой двумерную плоскость с поверхностной плотностью заряда + a . Сверху и снизу кристалла расположены плоскости, состоящие из электронов с зарядовой плотностью ‒ σ /2 (рис. 3).

Р и с. 3. Макроскопическая модель графена F i g. 3. The macroscopic model of graphene

2. Будем считать, что электроны в верхней и нижней плоскости представляют собой двумерный идеальный газ.

В пользу последнего положения говорит высокая проводимость графена.

Пусть под воздействием внешнего электрического поля в верхней и нижней проводящих плоскостях графена возникло изменение плотности и давления электронов. Будем считать данные изменения достаточно малыми в сравнении с начальными давлением и плотностью.

Введем следующие обозначения:

s = s0 +Д s,

P = P0 +Д P.         (4)

Здесь P – давление; σ – плотность.

Проведем исследование предложенной модели, используя известные методы гидродинамики ² .

Результаты исследования

Запишем уравнение непрерывности для поверхностной плотности электронов.

--+ divsv = 0.         (5) d t

Отметим, что данное уравнение справедливо и для поверхностной плотности заряда.

Запишем теперь уравнение Эйлера:

д v / х 1

+( v V) v =- V P .    (6)

д t           s

Воспользуемся тем, что изменения плотности и давления малы; получим, что:

дД s

--+ s0 divv=0,         (7) д t

^{∂ v F} =-¹ ∇ P .

∂ts

Здесь

2дP

V =.

F д s

Рассмотрим монохроматическую волну. В данном случае потенциал волны имеет вид:

ф = Re [ ф ₀ e ^- ^ ].         (13)

Функция ф ₀ удовлетворяет следующему условию:

д ф ш dt0+vf Аф°=°.

Если предположить, что волна распространяется в направлении x , то:

Поскольку, согласно предположению, электронный газ является идеальным, то все макроскопические процессы в нем адиабатические. Воспользуемся известным соотношением:

Д P =

[d P ] д s0,

Д s .

Из уравнений (7; 8) получим:

дД s д t ⁺

[Ф Р ) д s0,

Уравнение (9) является волновым уравнением. Для придания ему более удобного вида введем потенциал векторного поля скоростей:

v = gradf .          (10)

Получим, что:

d ² f

2 + v F Д f = 0. d t

ф 0=Re[Aехр(1шх /vF)], ф = Re[ Ae - i"(t - x / vf )]. (14)

Из (14) получим дисперсионный закон:

w / v_F = k . (15)

Закон дисперсии является линейным; следовательно, квант электронных волн в графене является безмассовым.

Вопрос о том, фермионом или бозоном является данный квант, в рамках представленной модели не рассматривается.

Выскажем гипотезу, отличную от принятой на данный момент [15]. Предположим, что квазичастица электронной волны в графене является бозоном, но достаточно необычной структуры: он состоит из двух электронов, как известные в теории сверхпроводимости куперовские пары.

При анализе макроскопической модели мы рассматривали только одну плоскость электронного облака, но та-

кое же облако находится с противоположной стороны кристалла. С точки зрения симметрии по ней также должна распространяться волна. Возможно, что при этом образуются пары отрицательно заряженных частиц. Наиболее вероятны пары, состоящие из соседних электронов, находящихся с противоположных сторон кристалла. В таком случае две пары будут образованы внутри одной ячейки, еще два электрона будут связаны с электронами двух соседних ячеек. Каждая такая пара будет иметь две степени свободы.

Для качественного описания данного явления вновь обратимся к рис. 2. В случае образования пары в сотовой ячейке графена расположение отрицательного заряда в верхнем электроне смещено в противоположную сторону от среднего положительного заряда ячейки по сравнению с нижним электроном. Схематично распределение зарядов представлено на рис. 4.

Р и с. 4. Схематичное распределение зарядов в элементарной ячейке графена

F i g. 4. The scheme of the charge distribution in the graphene elementary cell

При движении такой конструкции положительный заряд будет, к примеру, ускорять верхнюю часть и тормозить нижнюю. При этом эффективная масса связанных между собой электронов станет равна нулю, что согласуется с линейным законом дисперсии. Суммарный спин электронов при этом бу-

Том 29, № 2. 2019 дет целым, то есть квант электронной волны окажется бозоном.

Определим скорость распространения электронной волны v_F. Для этого воспользуемся известным термодинамическим соотношением:

RT vF» g ,           (16)

FM где g = —, R - универсальная газовая cV постоянная; M - молярная масса электронного газа; Т – температура.

Коэффициент g можно считать постоянным. Определим его по формуле:

i+2 g =    "

Пусть квантом электронной волны является электрон Ферми. Учитывая двумерность графена, получим, что g = 2 . При определении температуры следует учитывать, что за электропроводимость отвечают только электроны, находящиеся на уровне Ферми. Температура Ферми составляет ~5 • 10 ⁴ K. Таким образом, v_F ~ 1,29 • 10 6 м/с.

Предположим также, что квантом электронной волны является пара связанных электронов, зафиксированных в одном направлении. В таком случае v_F ~ 0,92 • 10 6 м/с.

Экспериментальные данные показывают, что скорость Ферми в графене составляет ~ 10 ⁶ м/с. Это говорит о том, что предложенная в статье математическая модель в целом адекватно описывает электропроводные свойства графена.

Аномальный эффект Холла

Напомним, что квантовые эффекты при воздействии магнитного поля на проводник с током становятся существенными при низкой температуре в том случае, когда толщина проводника мала [16; 17]. Для экспериментального исследования квантового эффекта Холла используется система, схожая с плоским конденсатором (рис. 5).

Сам квантовый эффект Холла состоит в том, что при определенных значениях сопротивления

h

Rh = h- (k = 0, 1...) (17) ke ток в проводнике отсутствует. Здесь h – постоянная Планка; e - заряд электрона; k – число полностью заполненных уровней Ландау. Данное явление связано с тем, что на плоскости проводника может разместиться конечное число электронов, совершающих вращательное движение.

В графене как в истинно двумерном кристалле также наблюдается квантовый эффект Холла. Однако значения запирающего сопротивления оказываются в два раза меньше, чем это следует из формулы (17). Поэтому эффект Холла в графене называют аномальным. Объясним данный эффект, исходя из предположения о существовании электронных пар, аналогичных куперовским парам.

Введем следующие обозначения: S ₀ - площадь проводника; B - вектор магнитной индукции; m - масса электрона. Пара электронов, естественно, будет обладать вдвое бóльшими массой и зарядом.

Воспользуемся принципом неопределенности Гейзенберга в следующей форме ³ :

А EАt ~ h, (18)

где E – энергия частицы; t – время.

Поскольку при наблюдении квантового эффекта Холла происходит кон-

Р и с. 5. Пример двумерной электронной системы (МДП-структура)

F i g. 5. A two-dimensional electron system (MIS structure)

такт макроскопического наблюдателя с микроскопической системой, оправданным является использование квази-классического уровня описания. Учитывая то, что электроны совершают под воздействием постоянного магнитного поля вращательное движение, получим:

A E ~12 m w ² R ²;       (19)

2тг

A t ~ — .          (20)

Циклическую частоту определим с использованием формулы для силы Лоренца:

R H

S0B   h ekN0 = 2 ke2"

= eB

m

Из формул (18-21) получим выражение для минимальной площади, занимаемой парой электронов:

S e

h

2 eB"

Максимальное число электронов, способных разместиться на одном энергетическом уровне Ландау, равно:

N 0

= S o = 2 S 0 eB

S e      h

Следовательно, величина запирающего сопротивления будет равна:

Таким образом, можно предположить, что аномальный эффект Холла в графене связан с образованием электронных пар, схожих с куперовскими парами.

Микромодель графена

В данном случае не будем строить достаточно точную модель графена на микроуровне: такая задача достаточно сложна. Графен по сути является гигантской двумерной молекулой, схожей со сложными ароматическими соединениями. В перспективе возможно использование численных методов, разработанных для расчетов сложных ароматических соединений (например, [18]), по отношению к графену.

Предложим приближенную модель, которая описывает только реакцию пары электронов на возмущение в виде электрического поля.

Выскажем следующие предположения.

• 1.    Возмущение достаточно слабо по сравнению с взаимодействием электронов с основным кристаллом.

• 2.    На выбранную пару электронов существенное влияние оказывают только ближайшие к ней узлы решетки.

В данном случае воздействие электрического поля можно представить следующим образом (рис. 6).

Запишем выражение, отражающее изменение потенциальной энергии пары электронов в результате возмущения, учитывая взаимодействие только с ближайшими узлами решетки.

Р и с. 6. Смещение пары электронов в результате внешнего воздействия

F i g. 6. The dislocation of the electron pair as the result of the external effects

W = W 1 + W 2

2 ke ² + ke ² r₀ +A x a 0 +A x

ke ²

a ₀ —A x

2 ke ²

+ 2 eU .

a ₀

Здесь a ₀ - расстояние между соседними атомами углерода; r ₀ - радиус орбиты sp электрона; U - разность потенциалов внешнего электрического поля, вызвавшего возмущение.

Второе и третье слагаемое в правой части выражения (24) характеризуют энергию, с которой один электрон из пары «подтягивает» другой электрон. Выстроим данные слагаемые в ряд и ограничимся линейным приближением:

ke2 + ke2 a0 +△ x a0 -Дx

ke2(1+—+1-—) = —. (25) a0a0a0     a0

Из выражений (24; 25) следует, что пара электронов при небольшом возмущении будет двигаться в поле с почти постоянным потенциалом. Отсюда непосредственно следует равенство эффективной массы нулю.

В случае постоянной потенциальной энергии решение уравнения Шредингера имеет вид:

Ф(x,y,t) = Aexp(-iEt/h). (26)

Здесь А – некоторая константа.

Воспользуемся принципом неопределенности Гейзенберга:

DEDt ~ Dp 0 Dx0 ~ h.

Получим, что:

Ф(x,y,t) = Aexp(-ip0x0/h). (27)

Выражение (27) формально совпадает с выражением для волновой функции свободного фотона ⁴ . В данном смысле графен действительно можно использовать для моделирования некоторых процессов в квантовой электродинамике [19].

Уравнение Шредингера неприменимо к спинам частиц, поскольку является нерелятивистским. Оценим возможные значения спина для предполагаемой квазичастицы, образованной парным взаимодействием электронов, исходя из ее безмассовости.

Для векторной частицы, находящейся в четырехмерном пространстве-времени, справедливо представление:

kµeµ=k0e0-k1e1-k2e2-k3e3. (28)

Для двумерного пространства один из единичных ортогональных векторов отсутствует; допустим, что это вектор е 3 . Для безмассовых частиц справедливо соотношение:

k0 e0 = k1 e, + k2 e2. (29)

Таким образом, у квазичастицы в графене будет всего две возможных независимых поляризации.

Обсуждение и заключение

Основным результатом исследования является макроскопическая модель двумерного кристалла, согласно которой графен можно рассматривать как три плоскости. Одна из них является основным телом кристалла и заряжена положительно, две другие представляют собой почти свободный электронный газ. С использованием предложенной модели в статье описано распространение электронной волны, при этом получен линейный закон дисперсии и проведена оценка фазовой скорости электронной волны. Получен-

ные результаты подтверждены экспериментальными данными, что говорит об адекватности модели.

Наличие двух электронных плоскостей позволяет предположить, что в графене, помимо взаимодействия «электрон – дырка», возможно образование системы «электрон – электрон». Наличие таких пар объясняет аномальный эффект Холла в графене.

Также в статье построена микромодель воздействия электрического поля на графен. Показано, что пара электронов имеет нулевую эффективную массу. При этом отмечено, что указанный эффект возможен, если вызванное полем возмущение невелико.

Из предположения о наличии электронных пар следует, что безмассовая квазичастица электронной волны является бозоном. Данное положение отличается от общепризнанной теории, со-

Том 29, № 2. 2019

гласно которой квазичастица является фермионом.

Из двумерности электронных плоскостей и равенства эффективной массы электронной пары нулю следует, что спин может иметь только два независимых значения.

Статья имеет в основном теоретическую направленность; ее практическая значимость состоит в следующем. Простота основной модели позволяет использовать ее для проведения расчетов макроскопических характеристик графена. Если гипотеза о существовании электронных пар верна, то можно регулировать проводимость графена посредством воздействия на пары, то есть разрушения их или создания условий для их образования. Это можно осуществить, например, с помощью внешнего монохроматического электромагнитного излучения.

Поступила 18.03.2019; принята к публикации 06.05.2019; опубликована онлайн 28.06.2019

Об авторах:

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.