Солитонные асимптотики решений гиперболических уравнений с конечномерными нелинейными возмущениями

Введение сопутствующего солитона. Рассмотрим решение Y ( t ) системы (1). Введем сопутствующий солитон F v ( _t ) ( x — q ( t )), где v ( t ) := q ( t ). Центр сопутствующего солитона находится в месте расположения частицы, а его параметр скорости равен скорости частицы в данной точке в данный момент времени.

Вывод уравнения для разности решения и сопутствующего солитона. Рассмотрим разность

Z(x,t) = F(x,t) — Fv (t)(x — q(t)), где F(x,t) = (p(x,t),n(x,t)) — поля решения системы, Fv = (pv,nv) — солитонные поля. Положим p(x) = (0,p(x)) и A(p,n) = (n, Ap). Поля F удовлетворяют уравнению

F(x, t) = AF(x, t) — p(x — q(t)), солитонные поля Fv при фиксированном v — такому же уравнению с q(t) = vt. Вычитая, получаем для Z уравнение

Z ( x,t ) = AZ ( x,t ) — p(t ) • V p F v ( t ) ( x — q ( t )) .                       (24)

Здесь V _p F _v = V v F v dv ( p ), где dv ( p ) — дифференциал отображения p ^ v ( p ) = p/^ 1 + p ² .

Формулировка оценки нормы разности

Лемма 1. Пусть выполнены условия (2), (18) и начальные данные принадлежат пространству E ° . Тогда при любом R> 0 выполняется оценка:

HZ ( • + q ( t ) ,t ) H r <  C r (1 + |t| ) ^{- 1} -° .                                (25)

Доказательство. Сначала докажем оценку (25) для случая R = R p (напомним, что R p — радиус носителя функции p ( x )). Для решения уравнения (24) имеем интегральное представление (интеграл Дюгамеля):

Z ( t ) =

U ( t ) Z (0) — f U ( t — s )[ p 9( s ) • V p F v ( _s ) ( • — q ( s ))] ds, J 0

где U ( t ) — группа свободного волнового уравнения в H ¹ ф L ² . Чтобы получить оценку (25) для Z ( t ), нам надо получить следующие три оценки:

• 1)    оценку скорости изменения импульса p j( s );

• 2)    оценку выражения U ( t — s )[ p(s ) • V _p F _v ( _s ) ( • — q ( s ))];

• 3)    оценку U ( t ) Z (0).

Оценка 1. Импульс удовлетворяет уравнению p(t ) = — JVp ( x + q ( t ) , t ) p ( x ) dx . Для солитонного поля выполняется уравнение 0 = — J Vp v ( • + q ( t )) p ( x ) dx . Вычитая, получим уравнение

p(t ) = — J VZ i ( x + q ( t ) , t ) p ( x ) dx,                             (27)

где Z i — первая компонента вектора Z . Из этого уравнения следует оценка

Мt ) I ^ C^Z ( • + q ( t ) ,t ) һ л |p|.                                   (28)

Действительно, подынтегральное выражение в (27) равно нулю при | x| > R = R p , так что оценка (28) получается из (27) ввиду неравенства Коши–Буняковского.

Оценка 2. Заметим, что p(s ) не зависит от x , поэтому

U ⁽ t - s )[ ^{p (} s ) • ^V P F v ( s ) ⁽ • - q ⁽ s ^))] = ^{p (} s ) • U ⁽ t - s )[ ^V P F v ( s ) ⁽ • - q ⁽ s ^))] .

Оценка p(s ) уже получена, поэтому остается оценить убывание действия группы свободного волнового уравнения на производной солитона по скоростям, т.е. убывание действия группы на конкретной функции. Поэтому соответствующая оценка будет точной.

Используя явные формулы для решения волнового уравнения с учетом строгого принципа Гюйгенса и закона сохранения энергии, получаем оценку, см. подробности в [9, Параграф 3]:

ИР ( s ) • U ( t — s )[ V p F , ( s ) ( • — q ( s ))] И я <  C|p| EL+ q l s L s Uti .          (29)

1 + ( t — s )

Оценка 3. Теперь оценим | |[ U ( t ) Z (0)]( • + q ( t ) , t ) И я . Это стандартная оценка убывания группы свободного волнового уравнения, примененной к убывающим начальным данным. Для применения метода интегрального неравенства достаточно, чтобы порядок убывания был суммируемым. Это обеспечивается достаточно быстрым пространственным убыванием начальных данных Z (0) G E ^ст . Для таких данных справедлива оцека

I I[ U ( t ) Z (0)]( • + q ( t ) ,t ) | я ^ C _g .                             (30)

Метод интегрального неравенства. Комбинируя оценки (28), (29) и (30) с R = R p , получаем

• < C ( Z (0) ,q ⁰ ,v,Rp L 2_rl-      ft ^hZ ⁽ • ⁺ q ⁽ s ) ,s ) ^ p ,

II Z ⁽ • ⁺ q ⁽ t ) ,t ) ^И Я р ^      (1 ₊ |t| ) 1+ _ст ^{+ ү} р ^C 4 ⁽ v,^R p ) У_{0      1 +} ( t _— s ) ₂     ds, t ^ ⁰ .

Положим M ( t ) := max o <_s < t (1 + |s| ) ^{1+ CT} IZ ( • + q ( s ) , s ) | я _р , тогда

M(t) ^ Co(Z(0),q0,v,Rp) + үрC(v,Rp)ICTM(t), где                                             - -

I _CT = sup(1 + |t| ) ^{1+ CT} / 7T^{+ l}7^{l )}—m ds < ^{TO a} G (0 , 1] • t > 0                 o ^{(1 + |t — s| 2} )

Остается выбрать ү р настолько малым, чтобы выполнялось неравенство ү р C ( v,R p ) I _CT <  1, тогда выполняется оценка (25) с R = R _p .

Из оценки (25) с R = R p выводится та же оценка, уже с любым R >  0, см. подробности в [9, 13].

Вывод (23) из оценки нормы разности (метод Кука теории рассеяния). Из оценок (25) и (28) следует

Рt ) | ^ C (1 + |t| ) - ^{1 - ст} ^^ |q(t ) | ^ C i (1 + |t| ) ^{- 1 - ст} ,                     (31)

Тем самым доказана оценка (20). Из нее следует оценка (21). Теперь докажем, что

IZ ( x,t ) - U ( t ) F ± ^ f C C (1 + |t| ) ^S .

Это равносильно тому, что ||U ( —t ) Z ( x,t ) — F ± | f C C (1 + |t| ) ^S • Применим U ( —t ) к интегральному уравнению (26) и получим

U ( —t ) Z ( t )

= Z (0) — f U ( —s )[ p(s ) -V p F v ( _s ) ( • J 0

— q ( s ))] ds.

Из (31) следует сходимость интеграла с указанной скоростью сходимости, что влечет (32), а значит и (23). Из (25), ввиду уже полученной оценки (21) и непрерывной зависимости солитона от параметра v , получаем оценку (22).

Для случая полной системы Максвелла с движущейся и вращающейся частицей [18], (10.17) – (10.20) известно, что солитонные решения вида

q ( t ) = q + vt, ш ( t ) = ш, e ( x, t ) = E v,^ ( x — vt ) , B ( x, t ) = B _v,ш ( x — vt )

при v = 0 существуют только в случае ш ^ или ш^у . Это не позволяет естественным образом ввести сопутствующий солитон. Именно поэтому рассмотрена упрощенная система с вращающейся частицей в покое (7) – (8), для которой сопутствующий солитон определяется естественно: Ғ _ш ( _t ) ( x ), где Ғ _ш = ( Е _ш , В _ш ) — полевая часть солитона. Обозначим

Z ^{( x,t} ) = F ^{( x,t} ) ^{— ғ} _ш ( t ) ⁽ x ) .

Положим р ( x ) = ( р ( x ) , 0) и A ( E, B ) = ( VA B, —VЛ E ), тогда для Z выполняется уравнение

Z(x, t ) = AZ ( x, t ) — сШ( t ) • V ^ Ғ _ш ( t ) ( x ) .

Для начальных условий, принадлежащих пространству M S , для любого R >  0 выполняется следующая оценка:

IZ ( -,t ) | _й C C r ( Z ( •, 0) ,р )(1 + |t| ) - ¹ - ^S .

Эта оценка выводится из представления Дюгамеля решения

Z ( t ) =

U ( t ) Z (0) — Г 0

U ( t — s )[сш( s ) -V ^ Ғ _ш ( s ) ( • )] ds

U ( t ) Z (0) — Г 0

ш ( s ) • U ( t — s ) V ^ Ғ _ш ( _s ) ( • ) ds,

где U ( t ) — свободная группа уравнения Максвелла на соленоидальных полях.

Дальнейшие шаги доказательства аналогичны соответствующим шагам для предыдущих задач. Отметим только, что в предыдущих задачах оценивалось действие свободной группы на производной солитона по линейной скорости v , а в задаче с вращающейся частицей оценивается действие свободной группы на производной солитона по угловой скорости ω .

4.    Солитонные асимптотики при винеровском условии на плотность заряда. Случай волнового уравнения

В этом и следующем параграфах мы дадим обзор вывода солитонных асимптотик без предположения малости ρ , однако при специальном дополнительном условии, которое мы называем условием Винера (или винеровским условием ). Название объясняется использованием в доказательств так называемой тауберовой теоремы Винера , см. ниже. Заметим, что в [17] выясняется спектральный смысл винеровского условия, однако этот момент выходит за рамки настоящего обзора.

Вывод солитонных асимптотик при винеровском условии состоит из трех основных шагов. Сначала доказывается убывание ускорения частицы, в этом месте и используется тау-берова теорема Винера. Затем, с учетом гамильтоновой структуры системы и при помощи канонического преобразования переменных, выводится орбитальная устойчивость солитонов. Наконец, комбинируя орбитальную устойчивость и убывание ускорения, мы получаем солитонные асимптотики (в локальных энергетических полунормах).

Отметим, что при выводе убывания ускорения и солитонных асимптотик существенно используется строгий принцип Гюйгенса , который имеет место для волнового поля и поля Максвелла, но не выполняется для поля Клейна–Гордона. Поэтому вопрос о солитонных асимптотиках для поля Клейна–Гордона при условии Винера остается пока открытым.

В настоящем параграфе мы достаточно подробно излагаем случай волнового уравнения, [7, 10]. В следующем параграфе кратко укажем модификацию основных шагов для случая поля Максвелла, [8]. В работе [8] получена только предварительная асимптотика — сходимость в локальных полунормах к сопутствующему солитону с переменной скоростью. Это связано с техническими трудностями из-за наличия связей (6) в уравнениях Максвелла. Эти трудности были преодолены в работе [15], основные моменты которой мы тоже изложим в следующем параграфе.

4.1.    Формулировка результата

На начальные данные накладываются более сильные условия регулярности: положим E ° при a >  0 — множество таких состояний Y = ( p,n,q,p ) G E , что для некоторого R ⁰ = R ⁰ ( Y ) >  0 функции р ( x ), п ( x ) соответственно C 2 , C ¹ -дифференцируемы вне шара B R 0 и

|^ ( x ) I + |x| ( |Vy ( x ) I + |п ( x ) I ) + |x| ² ( | W ^ ( x ) | + |Vn ( x ) | ) = O ( |x ° )      |x| ^ to.     (33)

Накладывается требование, чтобы все «частотные моды» поля взаимодействовали с частицей — это формализуется условием Винера

p( k ) = I d ³ xe ikx p ( x ) = 0 при всех k G IR ³ .                   (34)

Замечание. Априори не очевидно, что существуют плотности заряда, удовлетворяющие одновременно условиям (2) и (34). Примеры таких плотностей построены в Приложении 1.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (2) и (34), пусть Y(t) G C(IR, E) — решение системы (1) с начальными условиями Y0 = Y(0) G E°, где a > 1 /2. Тогда lim q(t) = 0.                                           (35)

t→∞

• 2)    Существует такое v G V, что для любого R > 0

4.2.    Убывание ускорения частицы

t ¹^ (^( q ( t ) + " ,t ) “ ^ v ( " ) И ^я + П ( q ( t ) + ’ ,t ) “ n v ( • ) | я + |q ( t ) - v| ) = 0 .       (36)

Как уже отмечалось выше, убывание ускорения частицы связано с излучением энергии в бесконечность. В работах [7, 8] эта идея была формализована, сформулированы и доказаны точные утверждения.

Рассеяние энергии в бесконечности

Мы выведем оценку снизу излученной в бесконечность полной энергии, в терминах интеграла диссипации энергии , см. ниже. Поскольку энергия априори ограничена, этот интеграл должен быть конечным.

Шаг 1. Излучение энергии из большого шара. Определим энергию H r ( t ) в момент t Е IR в шаре B r с R > \q ( t ) | + R p как

Hr(t) = 2 j d3x (k(x,t)12 + Vv(x,t)12) + V1 + p2(t) + j d3xv(x,t)P(x - q(t)) •

Зафиксируем T > 0 и рассмотрим полную излученную энергию Ir из шара Br за проме жуток времени [R, R + T], где R ^ T:

I r ( R, R + T ) = H r ( R ) - H r ( R + T ) .

Эта энергия ограничена априори, поскольку величина H r ( R ) ограничена сверху, а величина H r ( R + T ) ограничена снизу. Действительно, в силу сохранения энергии, H r ( R ) С H ( Y ( t )) = H ( Y 0 ). С другой стороны, ввиду оценки (11)

H r ( t ) >  H ( Y ( t )) — 2( \ k ( t ) \ ² + \ Vv ( t ) \ 2 ) > -C i ( H ( Y ⁰ ) + C 2 (p, A - ¹ p).

Поэтому

H r ( R ) -H r ( R + T ) < I< то,

где постоянная I не зависит от T и R .

Шаг 2. Скорость излучения энергии из шара. Обозначим ш ( x ) = x/|x| , d ² x — элемент площади поверхности 5B r , R° = max( R ⁰ ,R _p + |q ⁰ | ) с R ⁰ = R ⁰ ( Y 0 ), соответствующим начальному состоянию Y ⁰ Е E^a , наконец, A r = [ R + R°, ( R- R °) /q 1 ], где q 1 взято из оценки (12). Поскольку 0 < q i <  1, A r — непустой промежуток длины | A r | ~ R (1 - q i ) /q i при больших R . Из (33) следует, что решение v ( x, t ) является C ¹ -дифференцируемым в области t > R ⁰ + |x| . Более подробно, дифференцируемость следует из интегрального представления решения. А именно,

V(x,t) = vr(x,t) + Vg(x,t)    x Е IR3, t> 0, где vr(x,t) — запаздывающий потенциал, а vg(x,t) — интеграл Кирхгофа

Vr (x,t)  = -  4k yd3 y ex _ yx  y|) p (y _ q (t-|x - y|)),(38)

v0( x’t >   =   k Stt (x) d2 ykG( y) + dt ( 4kt Stt (x) d2 yvG(y) ) •

Здесь S t ( x ) обозначает сферу {y : |y - x| = t} , Ө — стандартная функция Хевисайда. Далее, ввиду оценки (12), имеем |q ( t ) | < |q ⁰ 1 + q 1 1 при t >  0. Отсюда получаем

-kHr(t) = - /   d2xш(x) • S(x,t) при t Е Ar,(40)

dt            ∂BR где S(x,t) = -k(x,t)Vv(x,t). Тогда из (40) и (37) следует

R + T

R

dt

∂B R

d ² x ш ( x ) • S ( x, t ) < I.

Шаг 3. Асимптотика полей в волновой зоне; случай финитных начальных данных. Нам потребуется асимптотика полей k ( x,t ) и Vv ( x,t ) в «волновой» зоне |x| ~ t ^ то . Сначала рассмотрим частный случай начальных данных v 0 ( x ) , k ⁰ ( x ) с компактным носителем: v ⁰ ( x ) = k ⁰ ( x ) = 0 при |x| > R 0 . Тогда из строгого принципа Гюйгенса следует

v ( x,t ) = v r ( x,t ) , k ( x,t )= k _r ( x,t ) t> |x| + R ⁰ .

В этом случае необходимую асимптотику типа Льенара–Вихерта, см. замечание ниже, обеспечивает следующая лемма, которую мы докажем позже:

Лемма 2. Существует такое T r >  0 , что равномерно по t £ [ T r ,T ] при любом фиксированном T>T r выполняется асимптотика:

Пг(x, |x| + t)   =    Пг(ш(x), t) |x| 1 + O(|x| 2),(43)

V^r(x, |x| + t)  =  —ш(x)nr(ш(x),t)|x| 1 + O(|x|  2)(44)

при |x| → ∞.

Здесь мы положили

ПТ(ш,t) = -/ d3y p(y — q(T))    q1 ( )

• ^{4 n                        (1 —} q \\ ^{( T )) 2}

• — «интеграл диссипации энергии», где используются следующие обозначения: S ² — единичная сфера {|ш| = 1 } в IR ³ , d ² ш — элемент площади ее поверхности. Для фиксированного ш £ S ² полагаем z = шz ^ + z ^ , где z ^ = ш • z , а z ^ ±ш , z £ IR ³ ; t = t + y ^ .

Шаг 4. Оценка диссипации энергии в случае финитных начальных данных. Тождества (42) приводят к

S ( x, |x| + t ) = ш ( x ) |П _Г ( ш ( x ) , t )) | ² |x| ² + O ( |x | 3) t>T = max( T r ,R 0 ) .        (46)

Из (41) следует

^T dt

T       S ²

d ² ш |n r ( ш,t ) | ² < I + TO ( R 1 ) .

Шаг 5. Случай общих начальных данных. Теперь рассмотрим общие начальные данные p ⁰ и n 0 . Подставим n = n r + n о , Vp = V^ r + Vp о в (41),

R + T

R

dt

∂B R

d ² x ш ( x ) • ( n r V^ r + n о V^ r + n r Vp о + n о Vp о ) < I.

Запаздывающие поля n r , V^ r порождаются плотностью заряда p ( x — q ( t )), (38), а поля n о , V^ о — начальными полями ^ ^о , n ^о , (39). Эта разница очень существенна, поскольку q ( t ) нам «не известно», а поля ϕ ⁰ ,π ⁰ «известны» и управляются формулой (33). Следующая лемма позволяет отделить «вклад» от полей ϕ ⁰ ,π ⁰ в левую часть (47).

Лемма 3. Пусть ( у ^о , n ^о , q ^о ,р ^о ) £ E ^a с ст >  1 / 2 . Тогда существуют такие I о < то и T о >  0 , что для любого R >  0 и T > T о

R + T

(|n о ( x,t ) | ² + |Vy о ( x,t ) | ²) < I о .

dt      d ² x

R + T 0     ∂B R

И з этой леммы и (47), (43), (44) следует, что для каждого фиксированного T > T = max( T r , T о ),

T _dt

T       S ²

d2ш |Пг(ш,t)|2 < 11 + TO(R- 1), с постоянной 11 < то, не зависящей от T и R, — ввиду неравенства Коши-Шварца. □

Остается устремить здесь R →∞ , затем T →∞ , и мы приходим к доказательству следующего предложения.

Предложение 2. Пусть выполнено условие (2) и Y(t) £ C(IR, E) — решение (1) с начальными данными Yо = Y(0) £ Ea, где ст > 1 /2. Тогда f dt [ 0       S2

d ² ш|n _r ( ш, t ) | ² < то.

Замечание Асимптотики (43), (44) аналогичны известному разложению потенциалов Льенара–Вихерта точечной частицы на дальнее и ближнее поля, [20]. Главный член асимптотики (46) соответствует известному выражению Лармора–Льенара для мощности излучения, [20].

Асимптотика типа Льенара–Вихерта в волновой зоне

Докажем леммы 2 и 3. Заметим, что в обеих леммах речь идет об асимптотике полей в волновой зоне |x| ∼ t →∞ .

Доказательство леммы 2. Положим T r = |q 0 1 + R p . Тогда из представления (38) следует, что при t - |x| >T 0

ⁿ r ⁽ x,t )= [ d ³ у     —г ^р ⁽ у - q ^{( т} )) • ^{q ( т} ) ,                    ⁽⁵⁰⁾

4п|x — y\ где т = t — |x — yl. Подынтегральное выражение в (38) имеет носитель по у, равномерно ограниченный для ограниченного t -|x| . Поэтому из (38) следует, что для ограниченных t-|x| >Tr

W r ⁽ x,t ) = dd ³ у    ¹    n^p ⁽ у ^— q ^{( т} )) • q ^{( т} ) + О ⁽ x ^{2 )} =

• 4 nix — y|

= ш ( x ) П г ( x,t ) + O ( |x | 2) ,                                            (51)

поскольку n = x—y = ш(x) + O(|x| 1) для ограниченных у. Теперь подставим |x| + t |x -y| вместо t в представления (50), (51), чтобы получить асимптотики (43), (44) при t>Tr.

Тогда т становится |x| + t — |x — у| и имеем, равномерно по ограниченным t и |y| :

т = |x| + t — |x — y| = t + ш ( x ) • у + O ( |x 1 ) = т + O ( |x 1 ) , \x — y| = |x| + O (1) .

Поэтому из (50) следует (43) с nr(ш, t)

= Г" [ d ³ у Vp ( у — q ( т )) • q ( т ) . 4 П

Тождество этого выражения с (45) установим при помощи интегрирования по частям. Заметим, что

Vp(у — q(т)) •q(т) = vp(у — q(т)) •q(т)(1 — ш •q(т)) • ввиду т = t + у^ = t + ш • у. Тогда

• [ d ³ у ^VP ⁽ у ^— q ^{( т} )) • q ^{( т} ) =     fd ³ у ^V y р ⁽ у ^— q ^{( т} )) • ^{q ( т} )-----—

^{1 — ш} • q ^{( т} )

= ^— / d ³ у р ⁽ у ^— q ^{( т} ))         q ^{a ( т} ),_ .

Эу а 1 — ш • q ( т )

Продифференцировав, получим

Ә     q а    =     q а ш а    =     ^q' ||

Эу а 1 — ш • (1    (1 — ш • (q ) ²     (1 — q | ) ² ’

Тогда (52) очевидно совпадает с (45).

Итак, асимптотика (43) получена. В итоге (51) приводит к (44).

□

Доказательство леммы 3. Выведем (48) с T о = R ⁰ = R 0 ( Y 0 ) из формулы Кирхгофа (39) и предположения (33) для Y = Y 0 . Из (39) следует, для t > R ⁰ + |x| , представление

V^ о ( x,t )= V t ^{| а |} 2 /    d 2 уа а ( x—у ) Ә ^а п ⁰ ( у )+ V t ^{| а | 3} /    d 2 у Ь а ( x—у ) Э ^а ^ ⁰ ( у ) . (53)

|а|< 1         ^_t ⁽ x )                                 ,а|< 2         S t ( x ⁽ x )

Здесь все производные понимаются в классическом смысле, а коэффициенты а _а ( • ) и Ь _а ( • ) ограничены. Аналогичное представление имеет место для n 0 ( x,t ). Коэффициенты являются однородными функциями нулевого порядка, гладкими вне начала координат. Тогда, с учетом предположения (33) для Y = Y 0 , из (53) для t > R ⁰ + |x| получаем

|Vy 0 ( x,t ) | < C

£ tk--LW

0 1 ^{S X5t ( x} )

d 2 у |у| ^- " ^{- 1 - k}

+ c     t k ^{- 3}

0 2        ^{S t ( x )}

d 2 у

Всегда можно подобрать такое ст , что ст + к = 2. Тогда прямым вычислением получаем, что типичный член имеет вид

I k ( x, t ) :=  /     d ² у |y| -"-‘ =        ^{2 nt}      ( ( t + |x| ) ² ' k - ( t - |x |) ² "’"k

J S t ( x )                   ^{|x| (2} - ^{ст - k} H

Поэтому вклад от соответствующего члена из (53) в левой части (48) можно оценить сверху выражением

α

J R,T • =

R + T

C 1 dt     d ² x

R + T 0     ∂B _R

=    C 2

T

R ⁰

t ^{l a l- 3} 1 ^{| a |} ( x,t )

dt ( R + t ) ^{2( | a |} - ²⁾

(2 R + t ) ^{2 - CT -| a |}

t 2 -σ-|α|

Возьмем ст чуть больше 1 / 2. Тогда при |а| <  1 имеем ст + |а| <  2 и из (54) следует

J R ^α ,T ^≤ C

У dt ( R + t )

R ⁰

2 σ

< J ^а < то при R >  0 ,T > R ⁰ .

При |а| =2 из оценки (54) вытекает

^α J _R

≤

C ^T

R ⁰

dt t

2 σ

< J ^а < то при R >  0 ,T > R ⁰ .

Все вклады от остальных членов из (53) можно мажорировать аналогично, также и для по(x,t) в левой части (48).

□

Замечание. Из представлений (39), (53) и соответствующего представления для п о ( x,t ) вместе с (33) следует, что для любого R >  0

max У^о(x,t)| + t|по(x,t)| + t|Vyо(x,t)|) = O(t °) |x|≤R при t →∞,

где все производные понимаются в классическом смысле.

Убывание ускорения

Покажем, с помощью Предложения 4.2, что q(t ) ^ 0 при t ^ то , если выполнено условие (34).

Выполнены оценки (12) и (13) при к = 2 , 3 из Предложения 2.1, 5). Поэтому функция

^R _ш ⁽ t ) = У d ³ УР ⁽ У ^- q ⁽ t + ^ш ■ у )) ^Ш q ⁽ t + ^{Ш У} ) 2                  ⁽⁵⁵⁾

(1 - ш ■ q ( t + ш ■ у ))

является глобально липшицевой по ω и t. Тогда, согласно Предложению 4.2, lim Rш (t) = 0                                     (56)

t→∞ равномерно по ш Е S2. Положим r(t) = ш • q(t) G IR, s = ш • у и pa(q3) = J dq 1 dq2p(q 1, q2, q3).

В формуле (55) выполним интегрирование по y вдоль ω , а также в трансверсальном направлении. Тогда

R . ( t )

f                  , vx ^{r (} t ^{+ s} )

^ds P a ^{( s - r (} t ^{+ s} ))  ---- ₂ ,

(1 - r ( t + s )) ²

У d^TP a ⁽ t ^{- ( T -} r ^{( T} )))     r ^{( T} )    ,

У                         ^{(1 -} r ^{( T} ))

Здесь мы подставили Ө = Ө(т) = т—г (т) — это невырожденный диффеоморфизм, поскольку |r | < q 1 < 1 согласно (12), и положили дш(Ө) =

^{r ( т ( Ө} ))

(1 - Г(т ( Ө ))) ² •

Продолжим q(t) в область t < 0, сохранив гладкость в нуле. Тогда pa * дш (t) определено при всех t и совпадает с Rw (t) при достаточно больших t. Поэтому (56) оказывается пределом свертки lim Pa * дш (t )=0. (58) t^^

Теперь заметим, что из (12) и (13) с к = 2, 3 следует, что д'ш (Ө) ограничено. Тогда из (58) и (W), по тауберовой теореме Винера в обобщении Питта [21, Теорема 9.7(b)], получаем lim дш (Ө) = 0.

Ө^^

Поскольку ш Е S ² произвольно, а Ө ( t ) ^ то при t ^ то , мы доказали утверждение 1) Теоремы 2: lim _t^ _ro q ( t ) = 0.

Замечания. 1) В случае точечного заряда р ( x ) = 5 ( x ) из формулы (58) формула (59) следует непосредственно.

• 2)    Из равенства Парсеваля и формул (57) и (49) получаем

  S 2 ^{d 2 ω}

  
  

  d. Ip a ( £ ) g » ( £ ) I ² < то.

  
  

Если \р a ( £ ) | ^ C >  0, то J d ² ш f dӨ \д _ш ( Ө ) | ² < то , и (59) следовало бы из липшицевости д _ш . Таким образом, главной причиной трудностей является быстрое убывание фурье-образа («символа») p a , ввиду гладкости ядра p a .

• 3)    Условие (34) является необходимым. Действительно, если (34) не выполнено, то pa(£) = 0 для некоторого £ Е IR, и выбрав д(Ө) = exp(і^Ө), получим pa * д(t) = 0, в то время как g не стремится к нулю.

4.3.    Орбитальная устойчивость солитонов

Каноническое преобразование и редуцированная система

Система (1) является гамильтоновой с гамильтонианом, заданным формулой (3). Определим полный импульс системы:

P ⁽ p^,n,q,p ) = p -

f d ^{3 xn} ( x ) V_P ( x).

Полный импульс P сохраняется вдоль траекторий. Формально это легко проверить дифференцированием в силу системы (1), строгое доказательство см. в [10, Предложение 1.1]. Поэтому естественно выбрать полный импульс в качестве новой координаты и перейти к более простой гамильтоновой системе.

Определение 3. Пусть T : E ^ E определено следующим образом:

T ^: y = ⁽ p, ⁿ, q,p ) ^ Y = ^(ф( x ) , ⁿ⁽ x ) , Q, P ) = ⁽ p ⁽ q + x ) , ^{n (} q + x ) , q, P ⁽ p, ⁿ, q,p )) , где P ( p,n, q,p ) — полный импульс (60).

Замечания. 1) Отображение T непрерывно на E и дифференцируемо по Фреше в точках y = ( p,n,q,p ) с достаточно гладкими p ( x ) ,п ( x ), но не всюду дифференцируемо.

• 2)    Фактически, мы перешли в систему координат, «движущуюся вместе с частицей». Поэтому в T -координатах солитоны (14), (15) стационарны, кроме компоненты Q ,

Tyv (t) = (Pv (x), nv (x), vt + q, P(v)), где P(v) — полный момент солитона:

P ( v ) = P v - j d ³ xn v V^ v ( x ) , n v ( x ) = -v • V^ v ( x ) , P v = v/ V 1 - V ²

.

Положим H ( Y ) = H ( T ^{- 1} Y ) для Y = (Ф , П ,Q,P ) e E . Тогда

H (Ф , П ,Q,P ) = H p (Ф , П) = H (Ф( x - Q ) , П( x - Q ) ,Q, P + У d ³ x П( x ) V Ф( x )) =

/                                            \ 1 / 2

= У d ³ x (I I П( x ) 1 ² + 2 |V Ф( x ) 1 ² + Ф( x ) p ( x )) + 11 + ( p + У d ³ x П( x ) V Ф( x ))² j

.

Функционалы H ( Y ) и H ( y ) дифференцируемы по Фреше на фазовом пространстве E . Далее, как показывает следующее предложение, преобразование T является каноническим , т.е. сохраняет гамильтонову структуру системы.

Предложение 3. Пусть y ( t ) e C (IR , E ) — решение системы (1). Тогда Y ( t ) = Ty ( t ) e C (IR , E ) — решение гамильтоновой системы

■ 5H -     5H = d H ,   = - 5 Ф , (61) 6- dH P--dH Q dP ,       dQ ,

понимаемой в смысле распределений.

Доказательство. Уравнения для Ф, П и Q проверяются прямым вычислением, а уравнение для P следует из закона сохранения полного импульса. Таким образом, сохранение гамильтоновой структуры проверяется явным вычислением.

С другой стороны, можно проверить сохранение симплектической структуры под действием преобразования T , не прибегая к пересчету уравнений. Для удобства читателя рассуждение приведено в Приложении 2. □

Координата Q является циклической. Поэтому система (61) равносильна редуцированной гамильтоновой системе только для переменных Ф и П, с постоянным импульсом в качестве параметра. Систему можно записать в виде

^H P  й _ ^H P

ТП,   =

Для любого P e IR ³ функционал H p дифференцируем по Фреше на гильбертовом пространстве F = H ¹ ф L ² ; энергия H p сохраняется вдоль решений редуцированной системы.

Предложение 4. Для любого v e V функционал H p ( _v ) оценивается снизу:

HP (v )(Ф, П) - HP (v)(vv ,пv ) ^  У^ (IIФ - Vv II2 + |П - nv|2)

на пространстве F .

Доказательство. Обозначим Ф - v v = V и П - n _v = п ; имеем:

H p ( v ) ( V v + V,n v + п ) - H p ( v ) ( V v ,n v ) = j d ³ x ( n v ( x ) п ( x ) + Vv v ( x ) • Vv ( x ) + p ( x ) V ( x )) +

+| / d3x (In(x) 12 + Vv(x)12) + (1 + (pv + m)2)1 /2 - (1+ pv)1 /2 ,(63)

где pv = P (v) + J d3 xnv (x) Vvv (x) и m = У d3x (п (x) Vvv (x)+ nv (x) Vv(x)+ п (x) Vv(x)).

Солитонное решение (15) удовлетворяет уравнению

—v • Vy v ( x ) = n _v ( x ) , —v • Vn _v ( x ) = A y _v ( x ) — p ( x ) .

Положим v = (1 + p 2 ) - ¹ / ² p _v , подставим в первый интеграл из (63), получим

H p ( v ) ( V v + У,П + п ) — H p ( v ) ( y v ,n v ) =

= ^j d3 x (|п (x ) 12 + |VV (x ) 12) + (1+ P2 ) 1 // j d3 xn (x) pv • Vy (x) -

— (1 + p v ) ¹ / ² P v • m + (1 + ( P v + m ) ² ) ¹ / ² — (1 + p v ) 1 / ² .

Поскольку выражение в третьей строке неотрицательно, получаем оценку снизу (62) с учетом того, что |(1 + pv)-1 /2pv| = |v| .                                                          □

Вывод орбитальной устойчивости солитонов

Мы выведем орбитальную устойчивость из сохранения H P и из оценки (62), следуя методологии [22].

Предложение 5. Зафиксируем некоторое v Е V . Пусть у ( t ) = ( у ( t ) ,n ( t ) , q ( t ) ,p ( t )) Е C (IR , E ) — решение системы (1) с начальным состоянием у (0) = у ⁰ = ( у ⁰ ,п ⁰ , q ⁰ ,p ⁰ ) Е E ;

5 = \\у ⁰ ( x ) — y v ( x — q ⁰ ) У + |п ⁰ ( x ) — n v ( x — q ⁰ ) | + |p ⁰ — p v | .               (64)

Тогда для любого е >  0 найдется такое 5 ( е ) >  0, что

||у ( q ( t )+ x,t ) — y v ( x ) | | + |n ( q ( t )+ x,t ) — n v ( x ) | + |p ( t ) — p v |< е t Е IR ,      (65)

если 5 < 5 ( е ).

Доказательство. Обозначим через P ⁰ полный импульс рассматриваемого решения у ( t ). Существует солитонное решение (15) с некоторым v Е V с тем же самым импульсом P ( v ) = P ⁰ . Тогда из (64) следует |Р ⁰ — P ( v ) | = |P ( v ) — P ( v ) | = O ( 5 ), поэтому также |v — v| = O ( 5 ) и

|у ⁰ ( x ) — y v ( x — q ⁰ ) | | + |n ⁰ ( x ) — n v ( x — q ⁰ ) | + |p ⁰ — p v | = O ( 5 ) .

Тогда, обозначая (Ф ⁰ , П ⁰ , Q ⁰ ,P ⁰ ) = Ту ⁰ , имеем

H p ( v ) (Ф ⁰ , П ⁰ ) — H p ( v ) ( y v , p v ) = O ( 5 ² ) .                         (66)

Из законов сохранения полного импульса и энергии получаем для (Ф( t ) , П( t ) ,Q ( t ) ,P ( t )) = Ту ( t ):

H p ( v ) (Ф( t ) , П( t )) = H ( Ту ( t )) = H p ( v ) (Ф ⁰ , П ⁰ ) t Е IR .

Тогда из (66) и (62) с v вместо v следует:

\ | Ф( t ) — y v \ | + | П( t ) — n v | = O ( 5 )                               (67)

равномерно по t Е IR. С другой стороны, сохранение полного импульса дает

p ( t ) = P ( v ) + ( П( t ) , V Ф( t ) ), t Е IR .

Поэтому из (100) получаем

|p ( t ) — p v | = O ( 5 )                                        (68)

равномерно по t Е IR. Наконец, (100), (68) вместе приводят к (99), поскольку |v — v| = O ( 5 ).

□

4.4.    Солитонная асимптотика

Теперь скомбинируем орбитальную устойчивость и убывание ускорения для доказательства утверждения 2) теоремы 2.

Предложение 6. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для любого д >  0 существуют t * = t * ( д ) и решение У * ( t ) = ( у * ( x,t ) ,п * ( x,t ) ,q * ( t ) ,p * ( t )) € C ([ t * , a. ) , E ) системы (1), такие что

• 1)    У * ( t ) совпадает с y ( t ) в «конусе будущего»:

q* (t)=   q(t)    при t > t* ,(69)

у* (x,t)= у(x,t) при \x — q(t*) |

• 2)    У* (t*) близко к Y_q,v(0) с q = q(t*) и некоторым v = v(д) € V,

||Y*(t*) — Yqv(0) ||» < д.(71)

Из этого предложения нетрудно получить

Доказательство теоремы 2. 2) Для любого е > 0 найдется такое д > 0, что из (71), ввиду предложения 5, следует

||у*(q*(t) + x,t) — yv(x)|| + |n*(q*(t) + x,t) — nv(x)| + \q*(t) — v\ < е при t > t* .

R

Поэтому из (69) и (70) получаем, что для любого R > 0 и для t > t* + ^---- с q 1 из (12),

||у(q(t) + x, t) — yv(x) ІІД + In(q(t) + x, t) — nv(x)L + \ q(t) — v\=

= ІУ* (q* (t)+ x,t) — yv (x) ||_д + П* (q* (t)+ x,t) — nv (x )L + \q * (t) — v\ < е.

Поскольку е > 0 произвольно, получаем (36).

Доказательство предложения 6. Напомним, что у(x,t) = yr(x,t)+ уо(x,t)   при x € IR3, t > 0,(72)

где у_г(x,t) — запаздывающий потенциал (38), а уо(x,t) — интеграл Кирхгофа (39). Замечания. 1)

уг(x,t) = — 4П у \x—y\ Р(У — q(t — \x — y\)),(73)

Bt (X)

где Bt(x) обозначает шар {y : \y — x\ ^ t}.

• 2)    Для \x — q⁰\ < t — R_p имеем

уг^(x,t) = ^—    I p-^y р⁽y ^— q⁽t ^— \x ^— y\)).

• 4 nJ \x — y\

Ввиду (35) для любого е > 0 найдется такое t_e, что

\q(t)\ < е при t > te te ^ a при е ^ 0 .(74)

Определим t 1 ,e = te + 1, t 2 ,e = t 1 ,e + :j—P= , t 3 ,e = t 2 ,e + :j—P= ,

1 v1 qe = q(13,e) , ve = q(13,e) •

Тогда из (74) следует, что существует такое qe(t) € C2(IR), что q(t)                  при t € (11 ,e, + a), qe(t) = I

qe + ve(t — 13,e) при t € (—A,te) ,

и

Vie (t) | < Ce для всех t E IR

с постоянной C > 0, не зависящей от e E (0,1).

Модифицируем начальные данные ф⁰(x) E H¹, п⁰(x) E L2, вырезав большой шар с центром в точке q (t1,_e).

Лемма 4. Для любого e > 0 найдется ф(0(x) E H1, п0(x) E L2, такое что ф0(x) = I ф0(x)’ п0(x) = I п0(x)   при   |x - qSt1 ‘)| > t1 e ’(78)

I 0 ,        eV      ( 0        при   |x - q(t1 e)|

Доказательство. Поскольку ф⁰E H 1, п⁰E L², имеем

I           d3x (|Vф0(x)|2 + |п0(x)|2) ^ 0 при e ^ 0, так как t1 ,e ^ то и |q(t1 ,e)| = O(v • t1 ,e), где 0 < v < 1.

Далее, определим соответствующую модификацию фe(x,t) для решения (72), фе (x, t) = фг,е (x, t) + ф0,e (x, t) при x E IR3, t > 0,(80)

где фr,e(x,t) = - 1- I Г^Цр(У - qe(t -\x - У|)) , 4 nJ |x - y\

Ф0e(x’t1  =  4П Stиx) d2yn0(y)+ dt (4П /,(x) d2Уф0)

Тогда ф_е(x,t) — решение волнового уравнения

ф)_e(x, t) = Аф_е(x, t) - p(x - q_e(t)) при x E IR³, t > 0 •

Замечание. Обратим внимание, что ф_е(x, 0) = ф0(x), 99_e(x, 0) = n0(x)•

Из (82), (38) и (78) получаем ф 0 ,e (x,t )= ф 0(x,t) при \x - q (11 ,e ) |

Далее, ф0,e(x,t) — решение свободного волнового уравнения. Поэтому из (79) и сохранения энергии для ф0,e(x,t) следует sup |ф0,e(•Et)II + |ф?0,e(^,t)| ^ 0 при e ^ 0 •(85)

t>0

Наконец, из (81), (73), (75) и (76) имеем фг,е (x,t )= фг (x,t) при | x - q (12 ,e ) |

Лемма 5.

фг,е (x,t) = фv_E (x - Ve (t - 13 ,e) - qe) при |x - qe (te ) | > t - te + Rp •

Доказательство. Имеем

• 1       d³y

Vv_E⁽x - ve⁽t - t3,e) - qe) = -4_n J lx - yi P⁽y -⁽qe⁺ve⁽t - t3,e) - vex - У|))    ⁽⁸⁸⁾

и

9r,e^(x,t) = - 1- I I d y ,P⁽У ^- qe⁽t ^{-|x -} y|))• 4 nJ lx — yl

Рассмотрим траекторию q(t) с |q(t) | ^ v < 1 и интеграл

/ г-dy P⁽У ^- q⁽t ^-lx ^— У|))• |x-y|

Чтобы вычислить значение этого интеграла в точке (x,t), надо

• 1)    рассмотреть конус K(x,t) := {(x, т) : т ^ t, lx' — x| = t — т};

• 2)    рассмотреть пересечение U(x,t, q) конуса K(x,t) и трубки {(x,t) : |x — q(t) | ^ Rp};

• 3)    выделить область {x € IR³: (x,t) E U(x,t,q)} и проинтегрировать по y по этой области.

Ясно, что эта процедура даст те же самые значения для 9ve (x —ve(t—t3,e) — qe) и ^r,e(x, t) в случае |x — qe(te)| > t — te + Rp.

Лемма 6. Обозначим 9(x,t) := ^v_E (x—v_e(t—t3,_e) — q_e), B_e : = {x : |x — q_e(t_e)|< 2Rp/(1 — v) +

+1 + Rp}. Тогда

¹⁹r,e⁽V3,e) ^{— 9}e⁽•, t3,e)ІВ_Е^{+ +} ||Vy_r,_e⁽•/t3,e) ^— V^e⁽•/t3,e)\\b_e⁺

+ |9r,e(•Et3,e) — 9e(•/t3,e) |BE = O(E) •

Доказательство. Следует из (81), (88), (76) и (77).

Лемма 7. Положим

Y*(t) = (9e(^t),9^e(•Et),q(t),p(t)) при t > t* = 12,e .(90)

Тогда момент t* и функция Y* (t) при t > t* удовлетворяют всем условиям Предложения 6 с v (5) = v_e, если выбрать E > 0 достаточно малым.

Доказательство. a) Y*(t) € C([t*, то), E) — решение системы (1) при t > t* .

Действительно, из (86), (84) и (80), (72) следует

9e (x, t) = 9(x, t) при |x — q(12,e) | < t — 12,e .(91)

Кроме того,

p(x — q(t)) = 0 и qe(t) = q(t) в области |x — q(12,e)| > t — 12,e, t > 13,e.(92)

Поэтому из (76) вытекает, что Y* (t) вместе с y(t) — решение системы (1) в области |x — q(12,e) | < t — 12,e, а из (83) получаем, что Y* (t) — также решение системы (1) в области (92).

Завершим доказательство предложения 6: (70) и (69) следуют из (91) и (76); (71) следует из (90) и (80) ввиду (87), (89) и (85).

5.    Солитонные асимптотики при винеровском условии на плотность заряда. Случай уравнения Максвелла 5.1.    Убывание ускорения

Идейно доказательство убывания ускорения очень близко к случаю волнового уравнения, однако усложняется алгебраическая структура задачи. Мы ограничимся кратким изложением основных моментов доказательства.

Определим пространство начальных данных, достаточно быстро убывающих на бесконечности: M^CT при 0 < ст < 1 — пространство состояний Y = (E, B, q,p) G M, для которых VE,VB принадлежат L“_свне шара Brо с некоторым R⁰= R⁰(Y) > 0, причем

|E(x)| + |B(x)| + |x| (IVE(x)| + |VB(x)|} ^ C⁰|x|-¹" |x| > R⁰.

Как и прежде, S²— единичная сфера в IR³, d²ш — ее элемент площади поверхности.

Для ш G S² и z G IR³положим z = wz^ + z^, где z^ = ш • z, z^±ш, т = t + y^ и

• 1           ₍      /-^⁽¹- q II^(т)) q^^{(т) +} ^1^(т) q ^х(т)

• ^E(r)^(ш^) = -^njd yp⁽y - q^(т))-------______-------.        ⁽9³⁾

Замечание. E(r)(ш,t)±ш для любого ш G S²и t G IR.

Предложение 7. Пусть выполнено условие (2) и пусть Y(t) G C(IR, M) — решение (5) - (6) с начальными данными Y⁰= Y(0) G М^ст, ст > 1 /2. Тогда

/ dt     d²ш|E(r)(ш,:)|²< то.

J 0

Доказательство этого предложения опирается на интегральное представление решения и две леммы. В [8] получено следующее представление решения:

E(x,t) = E(r)(x,t)+ E(0)(x,t), B(x,t) = B(r)(x,t)+ B(0) (x,t),(95)

( E(r)(x,t) ) = Гt gt-s(x) ^ / p(x q(s)) \ ds,

V B(r)^(x,t)/    Jo               p⁽x ^- q⁽s))q⁽s

(Es::)   -(B :y mt и gt — распределения с матричными значениями размеров соответственно 6 х 6 и 6 х 4:

_ (   K<t    V Л Kt )    _ ( -VKt   -Kct )

mt  V -V Л Kt   Kct  f 9t V 0   V Л Kt J , а Kt — ядро Кирхгофа:

K.(x) = 4^5(|x| - |t|).

Существенно, что распределения mt и gt сосредоточены на сфере {|x| = |t|}, — это строгий принцип Гюйгенса для системы Максвелла–Лоренца:

mt(x) = 0, gt(x) = 0 |x| = |t|.

Лемма 8. Найдется такое T_r> 0, что следующая асимптотика выполняется равномерно по t G [Tr,T] для любого фиксированного T > Tr:

E(_r)(x, |x| + t) = E(_r)(ш(x), t)|x|¹+ O(|x|²),

B(_r)(x, |x| + t) = ш(x) Л E(_r)(ш(x), t)|x|^-1+ O(|x|^-2)

при |x| → ∞.

Лемма 9. Пусть (E⁰,B⁰, q⁰,p⁰) G M^CT, где a > 1 /2. Тогда найдутся такие Iо < то и Tо > 0, что для любых R > 0 и T > Tо

/ dt /    d²x (IB (о) (x, t) |²+ IE (о) (x, t) |²) < Iо ■

J R+Tо   JdB_R    ^{v                         7}

Методика доказательств предложения 5.1 и лемм 8, 9 аналогична случаю волнового уравнения. Подробные доказательства см. в [8].

Теперь покажем, что q(t) — 0 при t — то, если выполнено винеровское условие (34).

Ввиду предложения 2.1, 3) и 4), выполняются оценки (12) и (13). Поэтому функция

E(r)(w,t) глобально липшицева по ш и t. Тогда из (94) следует lim E(r)(ш, t) = 0

t^^ v 2

равномерно по ш G S². Проанализируем структуру подынтегрального выражения в (93).

Можно выполнить интегрирование по плоскостям y, =const, поскольку т = t + y, = t + ш • y

зависит только от y,. Тогда (93) можно записать в виде одномерной свертки. Пусть

r⁽t) = q,⁽t) мает вид

G IR, s = y, и

Pa⁽qз) = У

dq 1 dq2 P(q 1 ,q2,q3)• Тогда т = t + s и (93) прини-

E(r) ^(ш,t)

1                          ⁽¹- ^qh⁽t⁺s)) q±⁽t⁺s)⁺q^⁽t⁺s)^q±⁽t⁺s)

-4П Р ^pa^{(s -} r⁽t^{+ s}»------------(1 - q,(t + s))2------------

^-4П j dTPa(t - (^т - ^r(^т)»

^{(1 - q}H^(T))^q±^(T1 ■ ^q||^(T)^q±^(T) ^{(1 - q}H^(T))2

- 4n j dӨ Pa (t - Ө) д^ш (Ө )= Pa * g^ (t) •

Здесь мы подставили Ө = t - r(t), это невырожденный диффеоморфизм, поскольку Ir^| < q 1 < 1 ввиду (12), и положили

1 ^{(1 - q}H^(т(Ө)))^q±^{(т(Ө))+ q}||^(T(Ө))^q±^(T(Ө)) g"^(Ө) = ^- 4П---------------(1 - q,,(т (Ө )))2---------------■

Продолжим q(t), сохраняя гладкость в нуле, на интервал t < 0. Тогда Pa * дш (t) определено при всех t и совпадает с E(r)(ш,t) при достаточно больших t. Поэтому (99) является пределом свертки lim Pa * дш (t )=0 ■                                (100)

t^^

Заметим, что из (13) с k = 2, 3 следует, что g"(Ө) ограничено. Поэтому из (100) и (34), ввиду обобщения Питта тауберовой теоремы Винера, см. [21, Теорема 9.7(b)] вытекает:

g" (Ө) —^ 0 Ө —^ ^о.

Поскольку Ө(t) — то при t — то, имеем

^{(1 -} (/1|⁽t))^q±⁽t) ^{+ q}||⁽t)(/±⁽t) ^{— 0}t ^{— то}.

Заменив ш на -ш, получаем (1 + (/, (t))q'^(t) - q, (t)(/± (t) — 0, и для суммы 2q^ (t) — 0. Поскольку ш G S²произвольно, мы доказали следующую лемму.

Лемма 10. Пусть выполнены все предположения Предложения 5.1, а также условие (34). Тогда для траектории q(t) решения системы (5) - (6) имеем:

lim q(t) = 0.

t^^

5.2.    Предварительная асимптотика

Теорема 3. Пусть выполнены условия (2) и (34). Тогда для любого R> 0

tjim, 0^E(q⁽t ) ⁺•, t ) - Ev (t)⁽■) R^{+ |B(}q⁽t ) ⁺•, t ) - Bv (t)⁽■) R ) = ⁰,

Доказательство. Применив интегральные представления (95) – (97) к солитонам (16), получаем для (Ev, Bv) с v Е V:

x где n = -— |x

-

-

Ev⁽x' = / W-Bv⁽x⁾ = / w-

y|{|x

n

----. p(у - VT) + v • Vp(y - VT) [-n + v]},

-

n∧{-|x

---гp(y - VT)V + v • V p(y - VT) v},

-

y

— и t = -|x - y|. Из этих представлений вместе с представлениями (95) - (97)

для (E,B), ввиду (101), следует

|E (r)( q (t) + ;t)

-

Ev(t)⁽■)¹R^{+ 1}B(r)^(q(t) ⁺ V)) - Bv(t)⁽■))¹R ^⁰t ^ ^.

Поэтому (102) будет следовать из

^1E(0)(^q(t) ⁺X)¹R^{+ 1}B(0)^(q(t) ⁺•^,t))¹R ^⁰t ^ ^.

Это значит, по определению, что для любого R > 0

/1 R^{d 3}x ( ie (о)( q (t)+x,t) ।²+ib (o)( q (t)+x,t)) ।²) ^ 0

Оценивая интегралы Кирхгофа из представления (97), получим k 1

IE(o)( q (t)+ x,t) | + IB (o)( q (t) + x,t))| < C ^ -      (t + |x|)1^-k-"

k=0,1 |x| \ t →∞.       (103)

- (t -|x|)1^-k-^ .

Подставив сюда q(t) + x вместо x и учитывая, что |q(t) | < q 11+const, где 0 < q 1 < 1, получаем max

|x|≤R

(IE (o)( q (t) + x,t) | + IB (o)( q (t)+ x,t) |) = O (t-¹-")

при t →∞,

Отсюда следует (103).

□

5.3.    Гамильтонова структура и орбитальная устойчивость солитонов

Система Максвелла–Лоренца непосредственно в виде (5)–(6) не имеет гамильтоновой формы, в отличие от случая волнового уравнения. Заметим, что энергия h (E,B,q,p) = V1 + p2 + 2

j (IE(x)|²

+ IB(x)|²) dx

и полный импульс

P(E,B,q,p) = p +

IE (x) Л B (x) dx

сохраняются вдоль достаточно гладких решений системы.

Существует замена переменных, при которой система Максвелла–Лоренца преобразуется к гамильтоновой форме. При этом импульс становится одной из гамильтоновых переменных, а энергия в новых переменных становится гамильтонианом.

Опишем подробно это преобразование. Положим

Es(x,t)= E(x,t)+ V^p(x - q(t)), V^_pE L2(IR3), A^p(x) = -p(x).      (106)

Функция ϕρ определена указанными условиями однозначно. Введем магнитный потенциал A(x,t), удовлетворяющий кулоновской калибровке:

B(x,t) = VA A(x,t), V- A(x,t) = 0                      (107)

и импульс заряда в магнитном поле:

P (t) :=

P (t) + J

p (x — q (t)) A (x,t) dx.

Предположим, что поля E и B достаточно гладкие, достаточно быстро убывают на бесконечности и для (E,B,q,p) выполняются уравнения (5) - (6). Тогда (E_s,A,q,P) удовлетворяют следующим уравнениям:

V- Es(x,t) = 0, V- A(x,t) = 0,                          (109)

Es (x,t) = - A A (x,t) - П s [ p (x - q (t)) v (t)], A (x,t) = -Es (x,t),

v⁽t) _:= q⁽t) =

P⁽t) ^{- (}p⁽x ^- q⁽t)),A^(x,t))

[1 + ( P (t) -(p (x - q (t)) ,A (x,t)) )2]1 /²’

P(t) = Evk(t)(VAk(x,t),p(x - q(t))), k=1

где П_s — проектор на пространство соленоидальных (бездивергентных) полей. В представлении Фурье проектор имеет вид

П(k) a = a -

a • k k2 k.

Рассмотрим функционал

Hs (Es,A,q,P) = 2 [ (|Es|²+ |VA| 2) dx + [1 + ( P - (p (x - q) ,A (x)) )²]1 / 2 .      (112)

Система (110)–(111) является гамильтоновой с гамильтонианом (112). А именно, уравнения (110) – (111) имеют вид

■

Es

5Hs : ₌ _6Hs . ₌dHs - dHs 5A , 5E_s, q dP,         dq '

Таким образом, переменные (Es, A, q, P) являются гамильтоновыми. Полный импульс (105) в гамильтоновых переменных имеет вид

P (Es,A,q,P )= P +

I E_s (x) A (V A A (x)) dx

P+

I E_s(x) • VA(x)dx,

где мы обозначили E • VA := ^k₌₁Ek • VAk. Легко проверить, что

P (Es,A,q,P )= P(E,B,q,p),

Hs (Es,A,q,P )= H (E,B,q,

p)^- 2/

iV^p (x) |²dx,

если переменные (E_s,A,q,P) и (E,B,q,p) связаны соотношениями (106), (107), (108). Введем фазовое пространство для системы (109) - (111). Положим H⁰= L2(IR³, IR³), H¹ — замыкание пространства C^°(IR³, IR³) по норме || A^ 1 = |VA| = ^VA^_L2(ir3ir3)- Обозначим

Hs⁰, Hs¹подпространства, образованные соленоидальными векторными полями, а именно, замыкания в H⁰, H¹соответственно векторных полей из C₀^∞ с нулевой дивергенцией. Определим фазовое пространство

E = H0 ® Hl1 ® 1R³® IR³, ||Yh = El + hAh 1 + ql + PI, Y = (E,A,q,P)•

Введем соответствующее пространство полей:

F = H0 ® Hl1, h(E,A)h^ = E| + hAh 1 •

Из существования динамики для системы (5) – (6) вытекает следующее утверждение.

Предложение 8. Пусть выполнено условие (С), пусть Y⁰= (E0, A⁰, q⁰, P⁰) G E. Тогда

• 1)    Существует единственное решение Ys(t) G C(IR, E) системы (109) - (111) с начальным условием Ys(0) = Y⁰.

• 2)    Энергия и полный момент сохраняются:

Hs(Y_s(t))= Hs(Y0), P(Y_s(t))= P(Y0), t G IR.

• 3)    Рассмотрим Y(t) = (E(t), B(t) ,q(t), p(t)), где

E(t) = Es (t) - V^p (• - q(t)), B (t) = V A A(t), p(t) = P(t) - (p(• - q(t)) ,A(t)} и (Es (t), A (t) ,q (t), P (t)) = Ys (t) — решение системы (109)-(111) с начальным условием Ys (0) = Ys°. Тогда Y(t) является единственным в C(IR, M) решением системы (5)-(6) с начальными данными

Eо = E0 - V^p (• - q⁰), B о = VA A⁰, qо = q⁰, p о = P⁰- (p (• - q⁰), A⁰}.

Ввиду закона сохранения энергии возникает идея использовать энергию (гамильтониан) в качестве функции Ляпунова для доказательства орбитальной устойчивости. Однако гамильтониан (112) является инвариантным относительно сдвигов в IR³, а значит, не может служить функцией Ляпунова непосредственно. Поэтому сначала мы редуцируем систему (109) – (111) при помощи канонического преобразования

T (Es (x), A (x) ,q, P) = (E (x), A (x), Q, P), где

E (x ) = Es (x + q), A (x )= A (x + q),

Q = q,

P = P +

j E_s(x) • VA(x)dx.

Для случая системы Максвелла–Лоренца с нерелятивистской частицей преобразование предложено ранее в [22]; случай волнового уравнения с релятивистской частицей изложен выше. Это преобразование обратимо. Положим H(E, A, Q, P) = H_s(T 1(E, A, Q, P)), т.е.

H(E, A, Q, P) = 2 I(|E|²+ |VA12)dx + [1 +

(P- j E^VAdx -(p, A} )²]1 /².

Лемма 11. [15]. Пусть Y_s(x,t) = (E_s(x,t), A(x,t), q(t), P(t)) G C(IR, Mh) — решение системы (109) – (111). Рассмотрим

(E (x,t), A (x,t), Q (t), P (t )) = T Y_s =

I E_s(x,t) • VA(x,t)dx).

⁽Es^{(x +}q⁽t),t)^{,A(x +}q⁽t),t), q⁽t), P⁽t) +

Тогда 1) удовлетворяются связи

V •E (x,t) = 0, V^A (x,t) = 0.

• 2)    (E (x,t), A (x,t), Q (t), P (t)) — принадлежащее C (IR, Mh) решение следующей гамиль-

  тоновой системы:

  
  

5H 2- _^H о -dH т>- - —

1A., ^A = ^- HP, ^Q = dP, ⁷ = ^- dQ.

Поскольку H не зависит от Q, можно рассматривать P как параметр и ввести редуцированный гамильтониан

Hp(E, A) = | /(|E|²+ |VA|²)dx + [1 +

(P- j E-VAdx -(p, A) )²]1 /²-

Тогда E и A удовлетворяют редуцированной гамильтоновой системе

•    SHp •.     SHp

E = TA, A = - TA ^-

Аналогично случаю волнового уравнения выводится, что солитон является глобальным минимумом редуцированного гамильтониана [15]:

Лемма 12. Для полей (E, A) G HS Ф H1 выполняется оценка снизу:

HP (v)^(E, A) - HP (v) ⁽EV, AV ) ^   2^^{( |E} - Ev ^{|2 +}"A - Av " ²⁾,           ⁽¹¹⁴⁾

Далее, используя редуцированный гамильтониан в качестве функции Ляпунова и возвращаясь к исходным переменным (E,B,q,p), выводим орбитальную устойчивость солитонов:

Теорема 4. Пусть выполнено условие (2), пусть Y (t) = (E (t), B (t) ,q (t) ,p (t)) G C (IR, M) — решение системы (5) - (6) с начальным условием Y (0) = Yq = (Eо, B о ,q о ,p о) G M. Зафиксируем некоторое v G IR³с |v| < 1 и положим

^S = ^|Eо⁽•) - Ev⁽• — q оЛ ^{+ |B} o⁽•) - Bv⁽• — q о Л ⁺p о - Pv^|-

Тогда для любого е > 0 существует такое S(е) > 0, что

|E(q(t)+ ^t)- Ev(• Л + |B(q(t)+ •)— Bv(• Л + | p(t)— pv| се vt g IR при S С S (е).

Доказательство аналогично случаю волнового уравнения, см. подробности в [15].

Комбинируя убывание ускорения и орбитальную устойчивость солитонов, можно получить существование предельных скоростей и солитонную асимптотику решения в локальных энергетических полунормах.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (2) и (34). Рассмотрим решение Y(t) G C(IR, M) системы (5) - (6) с начальным условием Y0 = (E0, B0, q0,p0) G MCT, с некоторым ст > 1 /2. Тогда существуют предельные значения скоростей v± = lim

t→±∞ и для любого R > 0

lim (^|E(q⁽t) ⁺•^,t) ^- Ev±⁽•)^^{+ |B(}q⁽t) ⁺•^,t) ^{— B}v±⁽•)^) = ⁰-t→±∞

В теореме 3, формула (102), получена сходимость в локальных полунормах к переменному сопутствующему солитону. Очевидно, что из этой сходимости и существования предельных скоростей (115) следует сходимость (116). Поэтому остается доказать существование предельных скоростей. Достаточно провести доказательство только для случая t ^ + то, поскольку наша система обратима по времени. Введем величину колебания скорости на бесконечности oscrt;+^)v(t) := sup |v(11) - v(12)|-

11 ,t2>T

Существование предельных скоростей следует из убывания колебания на бесконечности.

Предложение 9. В условиях теоремы 5

oscjT_;+^)v(t) ^ 0, T ^ + to.                            (117)

Для доказательства, см. ниже п. 5.4, мы определенным образом модифицируем решение системы. Модифицированная траектория удовлетворяет новой системе уравнений, которая при больших t будет являться малым возмущением системы (5) – (6).

Далее, мы показываем, что модифицированные поля: 1) удовлетворяют некоторым неоднородным уравнениям Максвелла; 2) совпадают с солитонными полями вне некоторого светового конуса и 3) совпадают с запаздывающими полями (E(r), B(r)) внутри некоторого меньшего светового конуса.

При достаточно большом t в шаре, где модифицированные поля не равны в точности солитонным, они все же достаточно близки к ним.

Затем получаем выражение силы Лоренца через поля — получается ее выражение через модифицированные поля плюс поправка. Выводим суммируемое убывание поправки и приближенные законы сохранения энергии и импульса для модифицированных решений.

Наконец, комбинируя эти соображения с орбитальной устойчивостью, приходим к убыванию колебания скоростей на бесконечности (117).

5.4.    Доказательство предложения 5.3

Модификация решения

Воспользуемся интегральным представлением (95) – (97). В [8] доказано следующее убывание:

mt •( ^ )

С

+

Cо|t|-²        ^|E⁰(У)| + B⁰|(У))dy +

C1 |t|^-1 ^      (VE⁰( у) | + |VB⁰| (у)) dy.

Напомним, что для полей E⁰и B⁰

выполняются связи

V- E⁰( x )= р (x - q⁰), VB⁰( x )=0, x E IR³•                  (119)

Эти связи обеспечивают тот факт, что поля, определенные формулами (95)–(97), являются решениями системы (5)-(6). Далее, ввиду (101) для любого е > 0 существует такое t_e, что

|q(t)| С е при t ^ t_e и t_e^ + то при е ^ 0•

Рассмотрим моменты времени

Rρ              Rρ t 1 ,e = te + 1, t 2 ,e = t 1 ,e +        , t 3 ,е = t 2 ,е +

1 — v1

Положим q3 ,e = q (t 3 ,e ), ve = q( t 3 ,e ) •

Снова из (101) следует, что существует такое qe(t) E C2(IR), что qe(t) = I

q(t)                           при  t E [t 1 ,e, + to),(120)

l(t) := q3,e + Ve(t — 13,e)  при  t E (-TO,te]                     17

и

|q(t)| С Се Vt E IR,

где C не зависит от е Е (0,1). Теперь определим модифицированные поля

( E^(x,t ))= f  g_t__s( x) *f   P^(x  q^e_x^(s))   ) ds, x Е IR³, t> 0.      (122)

V Be (x,tU   -^        \P(x - Qe (s))Q e (s

Здесь подынтегральное выражение при фиксированном s является сверткой двух распределений умеренного роста. Одно из распределений, g*_-s(•), имеет компактный носитель ввиду (98). Поэтому подынтегральное выражение также является распределением умеренного роста, непрерывно зависящим от s. Тем самым интеграл понимается в смысле интеграла Римана непрерывной функции со значениями в пространстве распределений умеренного роста.

Модифицированное решение — решение возмущенной системы

Покажем, что модифицированные поля удовлетворяют некоторым неоднородным уравнениям Максвелла, совпадают с солитонными полями вне некоторого светового конуса и совпадают с запаздывающими полями (E(r) ,B(r)) внутри некоторого меньшего светового конуса.

Лемма 13. 1) Поля E_ε, B_εсовпадают с солитонными полями вне указанного ниже светового конуса:

Ee(X,t)= Eve (X - l(t)), Be(X,t) = BvE (X - l(t))(123)

при

Iх — qe(te) I > t — te + Rp-

• 2)    E_ε, B_ε, q_εудовлетворяют системе уравнений

Ee (X,t) = V Л Be (X,t) - p (X - Qe (t)) Qe (t), V • Ee (x,t) = p (X - Qe (t)),

Be (x,t ) = —V Л Ee (X,t), V^ Be (x,t)=0(125)

при t Е IR, x Е IR³.

• 3)    Поля E_e, B_eсовпадают с полями E(r), B(r) в световом конусе

K = {^{|x — Q(}t2,e)| < t ^— t2,e}.

Доказательство. 1) Рассмотрим солитонные поля (Ev_e(x — l(t)), Bv_e(x — l(t))) как решение задачи Коши для системы (125) с начальными данными, заданными в момент —T, T > 0. Эти начальные данные равны (E^-T,B^-T) = (Ev_e(x — l(—T)), Bv_e(x — l(—T))). Применим к этому случаю соответствующие формулы типа (95) – (97), учитывая, что данные Коши заданы не в нуле, а в момент -T. Получим

/ Eve (x — l (t)) \_ Г *           (  p (x — l (s))  \           / E^-T \

• ( Bve (x — l (t)) ; = /-T ⁹*-^(x) 4 P(x — l (s)) Ve )⁺ m*⁺T 4 B-T )’       ^{(   )}

поскольку для начальных условий (E^-T,B^-T) выполнены связи (119) с l(—T) вместо q⁰. Последнее слагаемое в (126) стремится к нулю в пространстве L^oc(IR³)ФL^oc(IR³) (а значит, и в прямой сумме пространств распределений умеренного роста) при T ^ + то. Это следует из оценок (118), формул для солитонов и ограничения скорости |v_e| < 1. Поэтому, переходя к пределу при T ^ + то, получим следующее тождественное равенство распределений:

/ Ev„ (x — l (t)) \ Г *             / p (x — l (s)) \

( Bve (x — l(t)) J = L g*-^S(x)4 P(x — l(s))Ve P              ⁽¹²⁷⁾

Наконец, в области (124) правая часть (127) совпадает с (122) в силу (120) и (98).

• 2) Из строгого принципа Гюйгенса (98) следует, что при

(x,t) e K0 = {|x - qe(te)I e + Rp}

• и для достаточно больших t_ε справедливо представление

( Ee⁽x,t) )     Гt            ( p^{(x -} qe⁽s))    )

к Be (x,t) ) -t_T^{gt-s (}x) V p (x - qe (s)) q_£ (s) ) ,

• x∈IR³, t e IR при достаточно большом T, не зависящем от (x,t) e K0. Введем поля

( ET ) = ( E ) ⁺mt+t⁽x⁾* ( E^-T )                 ⁽¹²⁸⁾

с теми же (E^-T, B^-T), что в (126). При помощи тех же рассуждений, что при доказательстве 1), получим, что поля (Et, bt) удовлетворяют всем уравнениям (125) при t > -T (для начальных данных выполняются связи типа (119)). Наконец, второе слагаемое в правой части (128) стремится к нулю при T ^ + то, как и в (126). Поэтому (E_e,B_e) удовлетворяют (125) при всех t e IR.

Утверждение 3) следует из (96), (120), (122) и (98).                                   □

Модифицированные поля близки к солитонным

Покажем, что при t = t3,_e в шаре, где модифицированные поля не равны в точности солитонным, они все же достаточно близки к ним. Действительно, имеем

/ Ee(x,t3,_е) - Ev_E (x - q_e) \ =

Be^(x,t3,e) BVe^(x   qe)

- f t3'        (x)( P⁽x - 1e⁽s )) - P⁽x - ^{l (}s ))    )ds

JtE gt^31E-s⁽x) V p(x - 1e (s))qe (s) - P(x - l(S))Ve J

Поэтому в силу (120), (121) получаем

¹ Ee⁽•, t3,e) ^{- E}Ve⁽• ^- qe) I L²(B^E) ⁺I Be⁽•, t3,e) ^-BVe⁽• ^- qe) I L²(B^E) = O⁽E),         ⁽¹²⁹⁾

где

B^e = {x : Ix - qe(te)| < —Л + 1 + Rp}. 1 - V

Выражение силы Лоренца через поля

Запишем уравнение Лоренца при t ^ T := 13,_e в терминах полей E_e,B_e. В этой области имеем q_e(t) = q(t). Поэтому в уравнениях (125) для полей E_e,B_e можно заменить q_e(t) на q(t):

Ee(x, t) = V Л Be(x, t) - P(x - q(t))(/(t), V • Ee(x, t) = p(x - q(t)),

Be (x,t ) = -VЛ Ee (x,t), V- Be (x,t)=0

при t > T. Далее, имеем E_e = E(r) и B_e = B(r) внутри конуса K по лемме 13, 3). Поэтому при t > T на носителе supp p(x - q (t)) имеем

E = Ee + E(0), B = Be + E(0), а значит,

( t ) =             , p^⁽t )= A Ee^{(x,t)+ q(}t ) ^Л Be^(x,t)]p^{(x -} q⁽t )) ^{dx + f (}t ),

V1+ p 2( t)         J где f (t) := /[E(0)(x,t)+ q(t) Л B(0)(x,t)]p(x - q(t))dx.

Суммируемое убывание f (t) и приближенные законы сохранения

Перейдем к гамильтоновым переменным E_s,ε, A_ε, q, P,где

Es,e (x,t )=П sE_e (x,t), Be (x,t ) = VЛ Ae (x,t), V^ Ae (x,t) = 0,

P (t) :=

P (t) + У

P(x - q(t)) Ae (x, t) dx.

Напомним, что полный момент имеет вид P = p + J Es(x) Л (V Л A(x))dx; полный момент солитона (Ev ,Bv) равен

P (v) = p +

j E_s,_v(x) Л (V Л Av(x))dx.

Покажем, что f (t) убывает суммируемым образом и что энергия Hs и полный момент P «почти сохраняются» на решении Y_e(t) (напомним, что Hs(Es, A, q, P) определен формулой (112)).

Лемма 14. Для введенного в теореме 5 параметра ст > 1 /2

• 1)    Имеет место следующая асимптотика:

|f (t) | = O (t-1-^).(131)

• 2)    Колебания энергии и полного момента малы при больших T :

Hs ( Ye (t )) = Hs (Ye (T)) + O (T-° ),(132)

P ( Ye (t)) = P ( Ye (T)) + O (T-° )(133)

при всех t>T.

Доказательство. 1) Асимптотика для f (t) следует из явных формул (97), оценки (118), оценки скорости |q| < 1 и убывания (19) начальных полей.

• 2)    Ввиду (113) достаточно доказать (132) для H(Y(t)), где H определен формулой (104).

^(VT+P²+2 /(Ee²+ Be²)dx) = v • P+ (Eve, Ee) + (Be, Be) =

= v • (j(Ee + q Л Be)p(x - q)dx + f) + (Eve, V Л Be — p(x - q)q) + (Be,-V Л Ee) = v • f, поскольку (E_e, V Л B_e) — (B_e, V Л E_e) = 0, аналогично доказательству предложения А.5 в [8].

Для полного момента аналогичными рассуждениями получаем

^ P ( Ye (t ))= f (t).

Тогда (132), (133) следуют из (131).                                                    □

Комбинирование с орбитальной устойчивостью

Для завершения доказательства используем оценку (114). При t ^ T := 13,e имеем P(Ye(t)) = P(v(t)), где P(v(t)) — полный момент солитона со скоростью v(t). Из (133) и дифференцируемости отображения P (v) ^ v — обратного к отображению (130) — следует, что oscjT,+^)v(t) ^ 0 при T ^ + то.                         (134)

Из утверждения 1) леммы 13 и из (129) получаем v(13,_e) — v_e = O(e). Отсюда и из (134) вытекает оценка |v(t)| С vi < 1 при t ^ T. Теперь применим оценку (114) и получим

(IEs,e⁽•^{+ q(}t), t) ^{— E}s,v(t)|^{2 +}IIAs,e⁽•^{+ q(}t), t) ^{— A}v(t) II1) ^С

^СHP (v( t))⁽Es,e⁽•⁺q⁽t), t ), Bs,e⁽•⁺q⁽t), t)) ^— HP (v( t))^(Es,v( t), ^Av( t)) •           ⁽¹³⁵⁾

Лемма 15. Правая часть (135) произвольно мала равномерно по t ^ T при достаточно малом ε и достаточно большом T .

Из этой леммы следует, что osc[T,+го) IEs,e(• + q(t), t) I ^ 0 osc[T,+ro) IIAe(• + q(t) ,t) II1 ^ 0

при T ^ + то. Действительно,

Es,e⁽’⁺q⁽t 2) ,t 2) — Es,e⁽•⁺q⁽t 1) ,t 1) =

= ⁽Es,e⁽•⁺q⁽t 2) ,t 2) — Es,v( t2)) —⁽Es,e⁽•⁺q⁽t 1) ,t 1) ^— Es,v( t1)) ^{+ (}Es,v( t2) ^— Es,v( t2)) •

При t1, t2 > T первые два слагаемые малы ввиду (135) и в силу леммы, а третье мало ввиду (134), поскольку поле Ev солитона непрерывно зависит от v в L². Для поля A рассуждения аналогичны. Отсюда с учетом (133) следует osc [т,+_го)p(t) ^ 0 при T ^ + то, а значит, и (117). Предложение 5.3 доказано.                                                    □

Доказательство леммы 15. Обозначим

Pt) = P(v(t)), Ф(t) = (Es,e(• + q(t),t),Ae(• + q(t),t)), Ф(t) = (Es,v(t),A_S(t))•

Мы утверждаем, что Hpt)(Ф(t)) —Hp(_t)(*Ф(t)) близко к HpT)(Ф(T)) —Hp(_T)(Ф(T)), апослед-нее выражение мало ввиду (123) и (129). Итак, остается доказать, что Hp(t)(Ф(t)) близко к H_p(T)(Ф(T)), а H_p(t)(Ф(t)) близко к H_P(T)(Ф(T)). Имеем

Hp( t )(Ф( t)) — Hp( т) (Ф( T )) =

= Hp( t )(Ф( t)) —Hp( т )(Ф( t)) + Hp( т )(Ф( t)) —Hp( т )(Ф( T)), а это выражение мало ввиду (132), (133). Для Hp>(t)(Ф(t)) — Hpт)(Ф(T)) рассуждения аналогичны.                                                                        □

Теорема 5 доказана.                                                             □

Приложение 1: Плотности, удовлетворяющие условию Винера

Чтобы построить пример плотности (общего положения), удовлетворяющей одновременно условиям (2) и (34), зафиксируем вещественную функцию ^ Е CГО(IR), причем ^ (s) ^ 0. Тогда (р можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость и существует такое а Е IR, что ф(^ + ia) = 0 для всех ^ Е IR. Заменив ((s) на ((s) exp(as), можем считать, что a = 0. Ясно, что функция ((x 1)((x2)((x3) удовлетворяет условиям (2) и (34), кроме инвариантности относительно вращений. При сферическом усреднении этой функции мы можем приобрести ноль, поэтому сначала положим р 1 = ( * (, где ((s) = ((—s). Тогда опять р 1 Е CГО(IR) и /51 (^) = | (Р(^) |²> 0 для всех ^ Е IR. Пусть р — сферическое усреднение функции р 1(x 1)р 1(x₂)р 1(x3). Тогда р удовлетворяет обоим условиям (2) и (34).

Приложение 2: Инвариантность симплектической структуры

Каноническую эквивалентность систем (1) и (61) можно обосновать с лагранжевой точки зрения.

По определению, имеем H (Ф, П ,Q,P) = h ((,n,q,p), где аргументы связаны каноническим преобразованием T. С каждым гамильтонианом при помощи преобразований Лежандра ассоциируется лагранжиан:

δh∂h

( =    , q =

δπ∂p

■ 5H - dH

= ди , ^Q = dP •

i((,q,(^, =    (п,(?) + p • q — h((, q,n,p),

L (Ф ,Q, Ф ,Q)= (П, Ф) + P • Q — H (Ф, П ,Q,P) ,

Эти преобразования Лежандра корректно определены, поскольку гамильтонианы выпуклы по импульсам. Мы утверждаем, что выполнено тождество L(Ф, Q, Ф, Q) = l(p, q, p, q). Для этого надо проверить инвариантность канонической 1-формы,

^(п,^Ф) + P • Q = ^(n,p) + p • q.

Подставим

П(x)  = п(q + x) ,           Ф(x)  = p)(q + x)+ (q + x) ,

P   = p -I d³xp) -Vp,   Q   = (/.

Тогда левая часть (136) становится

^(п(q⁺x)^,p(q⁺x) ⁺q • Vp⁽q + x)) + ⁽p - (л⁽x), Vp⁽x))) • q = (^п,р) + p • q.

Поскольку L = l, соответствующие функционалы действия тождественны при преобразовании посредством T. Динамические траектории являются стационарными точками соответствующих функционалов действия. Поэтому две гамильтоновы системы оказываются эквивалентными.