Сопоставительный анализ линзы Френеля и киноформной линзы

Линза Френеля (ЛФ) и киноформная линза представляют собой тонкие оптические элементы, фокусирующие свойства которых обусловлены пилообразным зонированием как минимум одной из двух рабочих поверхностей элемента. При этом принцип формирования зон позволяет отнести фокусирующий элемент к группе киноформных линз или линз Френеля.

Киноформная линза, т.е. дифракционная линза с пилообразной рельефно-фазовой микроструктурой, была предложена Г.Г. Слюсаревым в середине двадцатого века [1], в то время как линза Френеля старше почти на 130 лет. Этот факт, а также широкое практическое использование линз Френеля позволяет считать их классическими оптическими элементами. Напомним, что первоначально линза Френеля предназначалась для минимизации веса осветительных устройств, и прежде всего морских маяков [2]. Впоследствии такие линзы нашли широкое применение в навигационных огнях, светофорах, железнодорожных семафорных фонарях, кодоскопах, фотовспышках, концентраторах солнечной энергии для солнечных батарей, студийных осветителях (например, [3–5]) и т.д. Нельзя не заметить на рынке канцтоваров широкий ассортимент гибких и очень тонких луп Френеля [6] (рис. 1).

Лупы, в отличие от конденсоров, работают по полю и строят протяжённые изображения, пусть и с не очень высоким разрешением. Более того, сегодня всё чаще появляется информация об использовании линз Френеля уже не в качестве одиночного элемента, а в составе изображающей оптической системы, к оптическим характеристикам которой предъявляются весьма высокие требования [7, 8]. Именно это обстоятельство побудило авторов настоящей статьи посмотреть на линзу Френеля под другим углом – с позиции, объединяющей этот тонкий фокусирующий оптический элемент с киноформной линзой.

• 1.    Описание работы киноформной линзы в бесконечно тонком приближении

Апертура киноформной линзы разбита на так называемые зоны Френеля. Под этим термином в общем случае понимаются участки, на которые можно разбить волновую поверхность для вычисления ре- зультатов дифракции.

Рис. 1. Составная линза Френеля в экспозиции Французского национального морского музея (а); лупа карманная фирмы Kromatech (гибкая ЛФ 115×65 мм, 3×) (б); лупа для чтения фирмы Kromatech (гибкая ЛФ 210×297 мм, 3×) (в)

В настоящей статье под зоной Френеля понимается кольцевая зона апертуры, расстояния от краёв которой до точки наблюдения (в данном случае фокальной точки F) отличаются на расчётную длину волны Хо, как это показано на рис. 2. Идеальная фокусировка нормально падающей на киноформную линзу плоской монохроматической волны и при этом концентрация всей падающей на эту линзу энергии в единственном фокусе достигается при условии, что в пределах каждой зоны Френеля обеспечивается тау-тохронность, т.е. лучи, идущие от падающего волнового фронта до точки наблюдения, имеют одинаковую оптическую длину и, в частности, равны оптические длины лучей, проходящих через края каждой зоны. Для i-й зоны Френеля (i = 1,2,3…) это равенство оптических длин имеет вид:

Hn X 0 + f о + ( i - 1)Х о = H + f o + i X o , (1)

где H – глубина i -й зоны; n λ₀ и f 0 – показатель преломления материала подложки киноформной линзы и фокусное расстояние линзы в первом дифракционном порядке на расчётной длине волны Х _о.

Рис. 2. Три приосевые зоны микроструктуры киноформной линзы

Решая уравнение (1) относительно H , получим

H = X о/ ( n X o - 1),                                     (2)

откуда, в частности, следует, что поскольку H от i не зависит, то глубины рельефа всех зон киноформной линзы должны быть одинаковыми.

Уравнение (1) обеспечивает равенство оптических длин только крайних лучей каждой зоны Френеля киноформной линзы. Равенство оптических длин остальных лучей внутри каждой зоны обеспечивается за счёт так называемого согласованного или коррелированного профиля пилообразного рельефа, предложенного в работе [1].

Вновь обращаясь к рис. 2, легко видеть, что радиус первой зоны киноформной линзы можно найти из условия fo2 + r = (fо + X о)2,(3)

откуда

Г = V2 f oX о+X20 .(4)

Для i-й зоны расстояние от центра микроструктуры линзы до внешнего края зоны r = 2if oXо + (iXo)2 .(5)

Таким образом, киноформная линза, преобразующая плоскую и нормально падающую на неё волну с длиной λ0 в сферическую, – это дифракционный оптический элемент с пилообразной рельефно-фазовой микроструктурой, характеризуемый одновременным выполнением условий (2) и (5).

В общем случае фокусирующие и аберрационные свойства дифракционной линзы, как правило, описываются в рамках модели бесконечно тонкого фазового транспаранта, вносящего фазовую задержку в падающий на него волновой фронт. Причём транспарант может быть не только плоским, но и иметь форму несущей его поверхности, например, сферической или асферической преломляющей поверхности рефракционной линзы (см., например, [9]).

Одним из вариантов представления фазовой задержки, вносимой дифракционной и, в частности, киноформной линзой с кольцевой микроструктурой, является степенной ряд вида [10]

¥ ( r ) = m ^ A j r ² j , (6)

j =1

где m – номер рабочего дифракционного порядка, r – расстояние, отсчитываемое от оптической оси.

Оптическая сила дифракционной линзы определяется коэффициентом A 1 :

1      m λ₀ A ₁

f ₀ π

а коэффициенты A j при j > 1 являются коэффициентами асферических добавок. В выражении (7) λ₀ – расчётная длина волны, на которой задаются все коэффициенты A j .

Если рабочая длина волны λ не совпадает с расчётной λ 0 , то, как следует из выражения (7), оптическая сила линзы 1/ f будет отличаться от расчётной:

1λ

— =----.

f    λ 0 f 0

Зависимость оптической силы от длины волны, называемая хроматизмом, присуща и обычным рефракционным линзам, но только у дифракционных линз оптическая сила пропорциональна длине волны. Здесь отметим, что имеются попытки снижения хроматизма дифракционной линзы, например, за счёт модификации её фазовой задержки. Одна из таких попыток описана в [11].

Доля энергии, дифрагированной на киноформной микроструктуре в один порядок дифракции (дифракционная эффективность в данном порядке дифракции) также зависит от соотношения рабочей и расчётной длин волн. Кроме того, дифракционная эффективность зависит и от угла падения излучения на киноформную линзу θ. Приближённо оценить эту эффективность можно по известной формуле, полученной в рамках скалярной теории дифракции [12]:

П =

sin (n( m + x)) n ( m + x)

где

X = ( H^XX - ) [ ( cos ⁹ - 7 n 2 ^- sin^{2 9} ) ] .                ⁽¹⁰⁾

В идеале волновой фронт, формируемый дифракционной линзой с рельефно-фазовой микроструктурой, должен совпадать с фронтом, формируемым бесконечно тонким фазовым транспарантом, вносящим требуемую фазовую задержку. В случае киноформной линзы это строго выполняется независимо от числа зон в микроструктуре при условии, что текущая глубина рельефа h ( r ) описывается уравнениями

определённости будем считать эту линзу положительной с выпуклой и плоской преломляющими поверхностями. Её выпуклая поверхность и будет трансформироваться в структуру ЛФ, как это показано на рис. 3.

и

h (r) = H

i + — V( r) 2πm

при

V A) ^)< 0

m

Рис. 3. Трансформация объёмной рефракционной линзы в «плоскую» ЛФ с равноширокими кольцевыми поясами

Идеальная фокусировка падающей волны положительной рефракционной линзой обеспечивается так же, как и киноформной линзой, благодаря тауто-хронности, но уже по всей апертуре рефракционной линзы. Далее учтём, что тонкое приближение (см. работы [18, 19]) предполагает, что луч света, входящий в произвольную точку плоскости, касательной к фронтальной поверхности линзы на некоторой высоте от оптической оси, пересекает плоскость, касательную к противоположной поверхности линзы, на той же самой высоте (рис. 4).

h (r) = H

1 - i + — V 2πm

(r)

при

V A) ^A> 0

m

При этом внешний и внутренний радиусы ( r j и r j –1 ), ограничивающие i -ю зону Френеля [для центральной (первой) зоны Френеля r ₀=0] являются действительными и положительными корнями уравнения | V ( r )/ m | =2 л i .

Если число зон Френеля в микроструктуре киноформной линзы велико (100 и более), то, как показано в работе [13], коррелированный профиль без ощутимых потерь в дифракционной эффективности и качестве фокусировки можно заменить линейно-пилообразным h (r ) = (( r- r)/(ri- r-1)) H . (12)

Наконец, если рабочая длина волны X _m окажется меньше X0 в целое число раз ( X _m = X ₀/ m ), то в m -м порядке дифракции оптическая сила, дифракционная эффективность и все аберрационные коэффициенты линзы останутся неизменными. Саму же пилообразную микроструктуру, работающую в m -м порядке дифракции и имеющую глубину рельефа, существенно превышающую рабочую длину волны

H = m ^ m /nn z m — 1), (13) в зарубежной литературе называют гармонической линзой [14]. Подробно фокусирующие свойства гармонических дифракционных линз рассмотрены в работах [15, 16].

С волновой точки зрения выполнение условий (2), (5) и (13) означает, что волновой фронт, формируемый киноформной линзой, не отличается от фронта, формируемого соответствующей рефракционной линзой, и картина дифракции в фокальной плоскости является картиной дифракции Фраунгофера на апертуре линзы [17]:

6 к = 1,22X f/D , (14)

где D = 2 r max – диаметр киноформной линзы.

2. Описание работы линзы Френеля в бесконечно тонком приближении

Учитывая генетическую связь ЛФ с обычной рефракционной линзой, анализ начнём с последней. Для

Рис. 4. Ход лучей в тонкой рефракционной линзе

Поэтому в случае фокусировки нормально падающей плоской волны и в тонком приближении условие таутохронности может быть записано в виде

A i r+ L rl- ( f + Tn. ) = 0.                        (15)

air RL              λ

Здесь L_rl = T +( n _X -1) t ( r ) - длина оптического пути между касательными плоскостями на длине волны λ; n _λ – показатель преломления материала линзы на длине волны λ; L air – длина оптического пути в воздухе от точки выхода луча из линзы до фокуса, а 1/ f = c ( n _X -1) - оптическая сила плосковыпуклой линзы, c – кривизна её выпуклой поверхности. Нетрудно видеть, что если рабочая длина волны изменяется, то изменяется и оптическая сила, причём это изменение определяется зависимостью показателя преломления материала линзы от длины волны. В результате хроматизм рефракционной линзы в оптическом диапазоне по модулю существенно меньше хроматизма дифракционной линзы и имеет противоположный знак [20].

Очевидно, что длина оптического пути в воздухе

L ar = Г 2 + f 2

или в первом приближении (полагая, что r <<  f )

r ²

2 f

Тогда из (15) с учётом (17) получаем

L rl = Tn^ RL       λ₀

r ²

2 f

.

Формула (18) совпадает с формулами, описывающими рефракционную линзу в тонком приближении, например, в работах [18, 19].

Бесконечно тонкую ЛФ (модель с равноширокими кольцевыми поясами) получим, положив T =0 и обращая LRT в ноль на высотах ri = iAr, i = 0,1, 2 ..., (19)

где A r - ширина каждого из кольцевых поясов. Тогда оптическая длина пути в ЛФ на высоте r в соответствии с выражением (18) будет иметь вид

L FL

r ² - ( i A r )²

2 f

причём приращение номера кольцевого пояса i связано с ростом высоты r: если r = (i +1)Ar, тогда номер пояса увеличивается на единицу. Следовательно, саму высоту r можно записать в виде r = iAr + 5 r,                                       (21)

где 0 <5 r < A r . И тогда

^L FL =

(2 i A r + 5 r )5 r

2 f

Выражение (22) с точностью до множителя, которым является показатель преломления материала ЛФ, описывает образующую i -го кольцевого пояса.

Далее, используя выражения (17) и (22), найдем оптическую длину луча, падающего нормально на ЛФ на высоте i -го кольцевого пояса:

Li (i) = f + ^iAf- • I23)

Из (23) следует, что оптические длины лучей в пределах одного и того же кольцевого пояса одинаковы (не зависят от 5r), т.е. в пределах каждого кольцевого пояса обеспечивается строгая синфазность. Зависимость же оптической длины лучей от номера кольцевого пояса квадратична, и, следовательно, скачки оптических длин лучей при переходе от одного кольцевого пояса к соседнему не постоянны, а растут с ростом номера пояса. В результате между собой кольцевые пояса не фазируются, т.е. приращения оптических длин лучей от пояса к поясу разные и не существует длины волны, которой все эти приращения могут оказаться кратными. С волновой точки зрения это означает, что в пределах каждого кольцевого пояса вторичные сферические волны суммируются по амплитуде, а вклады поясов в целом сумми- руются по интенсивности [17]. Последнее приводит к существенному отличию картины дифракции, наблюдаемой в фокальной плоскости ЛФ при освещении её нормально падающей плоской волной, от соответствующих картин, формируемых рефракционной или киноформной линзами. Это отличие выражается в падении энергии в главном максимуме и переносе значительной её части в побочные максимумы, которые, сливаясь, образуют подошву или пьедестал дифракционной картины. При этом ширина главного максимума (например, по уровню 0,5) практически не отличается от ширины диска Эйри соответствующей рефракционной или киноформной линз (рис. 5).

Рис. 5. Картины дифракции в фокальных плоскостях идеально фокусирующих рефракционной или киноформной линз (а) и ЛФ, состоящей из 100 равношироких кольцевых поясов (б). Расчёт выполнен при одинаковых апертурах и с нормировкой на собственный максимум каждой кривой

В результате главный негативный эффект от зонирования заключается в падении контраста в изображении, усугубляемом к тому же светорассеянием на обратных (нерабочих) скатах кольцевых поясов.

Замена криволинейных образующих прямолинейными (в результате чего меридиональные сечения кольцевых поясов превратятся в сечения усечённых призм) приведёт к существенной потере разрешения. Действительно, в этом случае коллимированный световой пучок после преломления на каждом кольцевом поясе в геометрическом приближении останется коллимированным, а соответствующие световые пятна в фокальной плоскости, суммируясь по интенсивности, создадут итоговое изображение конечных размеров даже в геометрическом приближении. С уменьшением ширины кольцевых поясов размер фокальных пятен, формируемых ими, будет уменьшаться, а разрешение в изображении расти, но только до тех пор, пока дифракционное уширение не станет превалирующим. В результате предельно достижимое разрешение окажется равным [21]

5 f = 1,5 4^f .                                 (24)

Хроматизм ЛФ с равноширокими поясами не зависимо от формы образующих её поясов не будет от- личаться от хроматизма рефракционной линзы, выполненной из того же оптического материала и имеющей равную оптическую силу.

Завершая параграф, проанализируем ЛФ с равноглубокими кольцевыми поясами. Бесконечно тонкую модель такой ЛФ получим, также положив T =0, но, обращая L RL , описываемую формулой (18), в ноль на радиусах (высотах) r i , при которых L_rl = - i ( nX -1) H F , где H F – глубина рельефа:

r i = V 2 i ( n _x - 1) H F f (25)

Тогда оптическая длина пути в ЛФ на высоте r будет иметь вид

L LF 2

r ² - 2 i ( n _x - 1) H_Ff

2 f

причём приращение номера кольцевого пояса i связано с ростом высоты r: если r = 72(i +1)(n x-1)HFf , то i увеличивается на единицу. Следовательно, саму высоту можно записать в виде r = 42(i + 5i)(n x-1)HFf ,

где 0 <5 i <  1. И тогда из (26) с учётом (27) получим

L FL2 =- 5 i ( n z - 1) H f .

Далее, используя выражения (17) и (28), найдём оптическую длину луча, падающего нормально на ЛФ на высоте i -го кольцевого пояса:

L _z 2 ( i ) = f + i ( n z - 1) H f .

Из (29) следует, что оптические длины лучей в пределах одного и того же кольцевого пояса одинаковы (не зависят от 5 i ), т.е. в пределах каждого кольцевого пояса обеспечивается строгая синфазность. Зависимость же оптической длины лучей от номера кольцевого пояса линейна и, следовательно, скачки оптических длин лучей при переходе от одного кольцевого пояса к соседнему постоянны и могут оказаться кратными рабочей длине волны X _m :

( n z m - 1) H F = mz m . (30)

Сопоставляя выражения (30) и (13), видим, что рельефная структура ЛФ, образованная равноглубокими кольцевыми поясами, фактически является киноформной структурой, работающей в m-м порядке дифракции, т.е. гармонической киноформной структурой. Полное число равноглубоких кольцевых поясов в структуре такой ЛФ в первом приближении описывается выражением дг _ max max 2 fmλ ,

где r max – радиус апертуры ЛФ. Выражение получено в предположении, что r max <<  f .

Волновой фронт, формируемый ЛФ с равноглубокими кольцевыми поясами, не отличается от фронта, формируемого соответствующей киноформной линзой, и картина дифракции в фокусе является картиной дифракции Фраунгофера на её апертуре. При этом, естественно, такой ЛФ присущи все свойства, характерные для дифракционного элемента, включая спектральную энергетическую зависимость и хроматизм.

Использовать равноглубокие кольцевые пояса с линейными образующими в структуре ЛФ также возможно, как и в киноформной линзе, но, как и в случае последней, дифракционная эффективность и качество фокусировки будут зависеть от числа кольцевых поясов в структуре, которое в случае ЛФ вряд ли может быть большим. Наконец, как показывает строгая теория дифракции, основанная на решении системы уравнений Максвелла (см., например, [22, 23]), большие глубины пилообразного рельефа приводят к резкой и несимметричной зависимости дифракционной эффективности от угла падения излучения на ЛФ.

Заключение

На основе единого подхода в лучевом приближении рассмотрены и сопоставлены тонкие оптические элементы, фокусирующие свойства которых обусловлены пилообразным зонированием как минимум одной из двух рабочих поверхностей элемента. При этом именно принципы формирования зон определяют группу, к которой относится тот или иной фокусирующий элемент – к киноформным линзам или линзам Френеля.

Границы зон микроструктуры киноформных линз совпадают с соответствующими границами зон Френеля, что обуславливает дифракционный механизм преобразования волнового фронта и формирования изображения. В пределах каждой зоны, благодаря согласованному или коррелированному профилю пилообразного рельефа, может быть обеспечена строгая таутохронность. В результате стопроцентная дифракционная эффективность и дифракционно-ограниченная (т.е. идеальная в лучевом приближении) фокусировка обеспечиваются независимо от числа зон в микроструктуре киноформной линзы. При замене согласованного или коррелированного профиля рельефа микроструктуры линейно-пилообразным рельефом снижение дифракционной эффективности и ухудшение качества фокусировки наблюдаются лишь при малом (меньшем 100) числе зон в микроструктуре киноформной линзы.

Дифракционный механизм преобразования волнового фронта обуславливает значительный хроматизм киноформных линз, при котором оптическая сила линзы пропорциональна рабочей длине волны.

У ЛФ зонами пилообразного рельефа являются кольцевые пояса с образующими той или иной формы. При этом все ЛФ разделяются на элементы с равноширокими и равноглубокими поясами. В случае равношироких поясов с криволинейными образующими, благодаря выполнению условия таутохронно-сти в пределах каждого кольцевого пояса, вторичные сферические волны суммируются по амплитуде, а вклады поясов в целом суммируются по интенсивности. Как следствие, картина дифракции в фокальной плоскости ЛФ отличается от картины дифракции Фраунгофера на апертуре идеально фокусирующей рефракционной или киноформной линзы и главный негативный эффект от зонирования заключается в падении контраста в изображении, усугубляемом к тому же светорассеянием на обратных (нерабочих) скатах кольцевых поясов.

Замена криволинейных образующих прямолинейными (в результате чего меридиональные сечения кольцевых поясов превращаются в сечения усечённых призм) приводит к существенной потере разрешения, которое в пределе ограничивается дифракцией на апертуре кольцевого пояса.

Хроматизм ЛФ с равноширокими поясами, независимо от формы образующих её поясов, не будет отличаться от хроматизма рефракционной линзы, выполненной из того же оптического материала и имеющей равную оптическую силу.

ЛФ с равноглубокими кольцевыми поясами фактически является дифракционной линзой с киноформной структурой, работающей в m -м порядке дифракции, т.е. гармонической киноформной структурой. Волновой фронт, формируемый такой ЛФ, не отличается от фронта, формируемого соответствующей киноформной линзой, и картина дифракции в фокусе является картиной дифракции Фраунгофера на её апертуре. При этом, естественно, такой ЛФ присущи все свойства, характерные для дифракционного элемента, включая спектральную энергетическую зависимость и хроматизм. Кроме того, как показывает строгая теория дифракции, основанная на решении системы уравнений Максвелла, большие глубины рельефа приводят к резкой и несимметричной зависимости дифракционной эффективности от угла падения излучения на ЛФ.