Сопряженная задача

Проблема определения теплофизических характеристик грунта исследуемого участка земли, методом неразрушающего контроля, является актуальной задачей. Численные методы решения таких задач при промерзании грунта изучены в работах Колесникова А.Г., Мартынова Г.А., Жумагулова Б.Т., Рысбайулы Б., Адамов А.А., Исмаилова А.О.

Известно, что уравнение теплопроводности грунта для зоны фазовых переходов получается аналогично как для талых грунтов. С учетом выше сказанного математическую модель можно представить в виде

, х ВА   В         ВАЛ

Y о c ⁽ z , t )^ = ^| ^ n ⁽ z , t )^ | , ⁰ <  ^z <  H , ⁰ <  t <  T ,

В t    В z V        В z J

А

= 0,   x_n

ВА

В z

= -*\ z = H - T b ( t ) ) ,

z = H

\ t = 0 = 0 o (z ) , о <  z <  H                                           (3)

, ВА

^ n Д

В z

- z = h (t )

= pdh , [W= = h(t) = ⁰ , p = q 0 Y 0 ^A W , при ^z = h ⁽ t ) ,

, д0

Яп - дz

= 0 ,   и .= h,t , = 0 .                                              (5)

z = h i ( t )

В задаче (1) - (5) h ( t ) граница талой и фазовой зон, h ( t ) граница фазовой и мерзлой зон, с -показатель коэффициента теплоемкости, у -величина объемной массы, Я - выражает коэффициент теплопроводности.

Для определения коэффициента теплопроводности зон фазовых переходов разрабатывается итерационный метод, обоснование математических свойств которого приводится с использованием сопряженной задачи.

Сопряженная задача

Задавая начальное приближение A ( z , t ) следующее приближение Я ( z , t ) , определяется по формуле:

A , ₊ i ( z , t ) = Я , ( z , t ) - в ! U ( z , t )), n = 0,1,2...

Введем обозначения 0n (z, t)  и  0n+1(z, t)  для решений (1) - (5), соответствующие A (z, t) и A+1(z, t). Тогда используя соотношение

0 ^{n + 1} ( z , t ) - 0 ⁿ ( z , t ) = 80

(1) - (5) примет вид

,   , д80

Y о ^{c ( z} , t )— = д t

д « d0n 8A дz (    дz

i ч д80 ) + Яп(z, t)— , дz )

⁸⁰ l z = о = 0

8Я

5 0 21 д z

. д80

^{+ Я}п^г д z

= -а80\

z z=H

0 t = 0 = ⁰ ,

5X

0 ^{+ 1} d z

^{+ X} n

650 d z

= 0, z=h (t)

5X

60^{n + 1} d z

. 650

^{+ X}»^

6 z

= 0 .

z = h , ( t )

Здесь 5X = X n + i ( z , t ) - X n ( z , t ) .

Выражение (6) интегрируем по области Q , предварительно умножив на V n ( z , t )

H

T

TH

H      /'- J TH 6L, ^60  „

I у о I c ⁽ z , t ) — • y dtdz = I I — ^X n ⁽ z , t ) — + ^5X

0  0        ^{d t}           00 ^{d z} I         ^{d z}

y dzdt .      (10)

Применив интегрирование по частям к правой части (10), используя начальные и граничные условия задачи и учитывая , что Mz=h(o = 0 , [ v L,₍₀ = 0 при предположении непрерывности функций v ( z , t ) точках h(t ) и h ( t ) придем к

H

f dU _a5^

^X n ^{( z} , t )v" ^{+ 5X} 0 z ^         0 z

d0 n ^{+ 1} )

d z

;

,       , Л d50   _

V dz = X_n ( z , t )— + 5X ^         о z

60 ^{1 + 1} ) d z  _v

V

z = H

— z=0

^“

. 650      60^{n + 1}

^Xn ^{( z} , t )— ^{+ 5X}^- d z        d z

650     60^{n + 1}

V(h(t), t) — Xn (z, t)     + 5X - z=h (t)                            6z           6z

v( h (t), t) — z=h1 (t )

^“

j ^f ^X n ^{( z} , t ) ^{д 50 + 5X}

6- ^{, + 1}   dv _л

--- dz

6 z J 6 z

о V<         d z

Теперь положив, что  у(z, T) = 0 и у(0, t) = 0, интегрируем левую часть формулы (10) по t и с учетом внутренних граничных условий

— ^н J 59 ^ 0

₀₀           t

[T      д50 ду dtdz = - A (z, t)         dtdz

—

n

0 0             z  Uz

TH

^— J J ^SA

до ^{п + 1} ду

д z   д z

T dzdt - a J (у50 )z H dt.

^[ д50 .  .    . д у .

Применив метод интегрирования по частям к [---A (z, t)_~ dz по дz n      дz переменной z имея ввиду [59]z=h(0 = 0, [50]z=A (0 = 0, получим

^[ д50      ду            д у

A n ^{( z} , t )— dz = S^^ n ( z , t ) — ' д z         д z                д z

-

; д^ An дz

-

-I z = h i( t )

z = h i ( t )

z=[ z=0

) у A дz

—

- z = h ( t )

[59 — ^f A ( z , t ) ^дУ ) dz . д z V        д z J

z = h ( t )

Если предположить,

что в

точках h ( t ) и h ( t ) поток A "^ будет

¹                     n дz     "

. ду непрерывным, т.е. A

L      ^{д z} J z = h ( t )

= 0 ,

. у

A a дz

= 0 , то получим выражение

HT

Z

JJ ⁵⁰ Y 0 0 0 V

д( c у )   д д t     д■z

Л

-I z = h i( t )

T

^f A n^{( z} , t ) ^ ^dzdt = J °A ^{( z} , t ) ^T

V         д z J J       '            д z

z=н dt + z=0

TH

+ JJ ⁵

0 0

00 ^{+ 1} ду

д z   д z

T dzdt + a J (у50 )z H dt.

Функция у(z, t) подбирается таким образом, чтобы имели место соотношения

Y 0

^{д (} с у )    ^д [        ^д У )

+— I A, ^{( z} , t )^^ I = 0 д z V         о z )

д t

, ду"

A-  a дz

z =.

+ ау^п\

H

z = H

-2^

- z = H

С учетом принятых равенств из (11) получается соотношение

T

2 J «У - T g ( t ) )

z = H

Th , ое- ду- л д       , 659 6у" д dt = 5Л---dzdt +   5Л--dzdt, дz   дz              дz   дz

TH где J J 5A

0 0

де-  ду- , , dzdt дz дz

- малая величина 1-го порядка,

TH., д59 ду 5л---

0 0       z    z^z

n dzdt - малая величина 2-го порядка.

Y 0

д (с у ) д t

д

+— д z

A. ( z , t ) ° у | = 0, д z /

у (0, t) = 0 ,

. ду Л- дz

z = H

+ ау ^-|

z

- ² ( ^9-| z = H - Tg ( t )! ,

у ( z, T ) = 0 ,

O e ^л - д z

= 0, z = h ( t )

. ду л- дz

z = h i ( t )

= ⁰, [ у ] z = h ( t )

= 0,

[у 1 z = h i ( t ) = ⁰ .

Задача (15)-(17) называется сопряженной задачей (с обратным временем).