Сопряженное механическое и электродинамическое моделирование трансформируемых космических рефлекторов

Моделирование крупногабаритных трансформируемых рефлекторов является актуальным направлением разработки и создания конструкций систем спутниковой связи и зондирования поверхности Земли, так как экспериментальная отработка подобных конструкций требует больших материальных и временных затрат. Спутник Thuraya с ободной конструкцией рефлектора [1] показан на рис. 1.

Основными конструктивными элементами ободных космических рефлекторов являются ферменный обод, обеспечивающий заданный профиль отражающей поверхности и ориентацию рефлектора, сама отражающая поверхность, а также вантовая система. Ферменный обод диаметром 12 м представляет собой стержневую конструкцию, собранную из жестких углепластиковых элементов (рис. 2).

Основные требования к конструкциям рефлекторов заключаются в высокой точности формы отражающей поверхности и наведения, высокой температурной стабильности и радиоотражающей способности антенных систем.

Варианты методик расчета радиотехнических характеристик крупногабаритных рефлекторов рассматривались в работах J. Ruze [1], М. W. Thomson [2], монографии М. В. Гряника [3], диссертации Д. Б. Усманова [4]. Однако учет искажений отражающей поверхности производился на основе экспериментальных измерений или сильно упрощенных допущений о деформациях отражающей поверхности.

Целью комплексного моделирования является повышение точности за счет использования для расчета радиотехнических характеристик равновесной формы от- ражающей поверхности, полученной в результате компьютерного моделирования напряженно-деформированного состояния (НДС) рефлектора с позиций механики деформируемого твердого тела при отработочных нагрузках на Земле и функционировании в космосе.

Рис. 1. Спутник Thuraya

р.

Тыльная С'

Ф ерме бараба

Фронтальная сеть

СетепоХотно

Рис. 2. Основные компоненты конструкции рефлектора

Постановка задачи о НДС рефлектора. Пусть изменение положения точки элемента конструкции при деформировании обозначается вектором перемещений u(t) = [ и ₁, и₂, и₃]^г. Связь между тензором деформаций и вектором перемещений представима в виде е = Ви + Aq /2, где

ди, /дx, 0 0 ди 2/дх, 0 0 ди з /дх, 0 0 0        0 ди,/дх 2 ди 2/дх 0        0 0 ди з /дх 2 0 0        0 ⎤ ⎥⎥ дхз 0        0 ди, /дхз ди 2 / дхз диз ди,/дx 2 ди2/дх2 диз / дх 2 д и, /дх, ди 2 /дх диз /дх, 0        0        0 0 0 0 ди, /дхз ди 2 /дх диз /дхз ди, /дх 2 ди 2/дх 2 диз /дх 2 ди, /дх з ди 2 / дхз д/дх, диз /дхз 0 0        0 0 0 д/дх 2 ди, /дх, ди 2/дх, диз 0    д/дхз дх, J BT = 0    д/дх 2     0    д/дх, 0      0    д/дх3    0 q = [ди1/дх1 ди2/дх1 ди3/дх ди2/дх2 ди3/дх2 ди1/дх3 ди2/дх3 д/дхз     0 д/дх2 д/дх, _ ди1/дх2 ди3/дх3]г; ; е I e..ev е;;е.е;;е;.|г

Тензор напряжений имеет компоненты о = [ о_п о ₂₂ о ₃₃ о ₁₂ о ₂₃ о ₃₁ ] ^г . Физические соотношения между напряжениями и деформациями, учитывающие температурные деформации и начальные напряжения, имеют следующий вид: о =D(e - е ^ ) + о ₀, где е_г = [ а ₁ Д Г а ₂ Д Г а ₃ Д Г О 0 0] ^г - вектор температурных деформаций; s₀-вектор начальных напряжений; D - матрица материальных констант:

	D	=     E = (, +v )(, - 2 v )	×
, -V	νν	0	0          0
⎢⎢ν	, -V V	0	0          0
⎢ν	V , -V	0	0          0
× 0	0     0	(, - 2 v )/2	0          0
0	0     0	0       (, -	2 v )/2      0
_ 0	0     0	0	0      (, - 2 v )/2 _

Е и п - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала конечного элемента соответственно.

Система уравнений равновесия имеет вид ..

B У + Р = с и где p - вектор объемной силы.

Добавление начальных и граничных условий делает постановку задачи с позиций механики деформируемого твердого тела полной. В результате такой постановки получается нелинейная задача.

Основой для отыскания деформированной формы отражающей поверхности и остальной части рефлектора является принцип возможных перемещений для упругодинамических задач [5]:

j [с и^г д и + уд e - p д и ] dV = О,

V где 5 - вариации соответствующих величин;_р - вектор массовых сил; и - вектор ускорения.

Для получения численного решения задачи о напряженно-деформированном состоянии рефлектора использовался метод конечных элементов [6]. Пространственная геометрическая модель рефлектора разбивалась на конечные элементы, в которых аппроксимация перемещений и выбиралась как линейная зависимость от узловых перемещений и = YU, где Т - матрица, образованная базисными функциями; U - вектор узловых перемещений конечного элемента.

Тогда выражение деформаций через перемещения и напряжений через деформации в векторном виде примут вид e = B0 U + A0/2,

5 e = ( B ₀ + AG )5 U ,

0 = GU, о = D (e - eT) + о0,

• B ₀ = B Т .

Граничные условия учитывались заданием нулевых перемещений узлов конечных элементов в местах крепления рефлектора к штанге, связывающего его с космическим аппаратом. Влияние температурных нагрузок на напряженно-деформированное состояние конструкции моделировалось через зависимость напряжений от деформаций внутри каждого конечного элемента. Решение подобной нелинейной задачи позволяет получить равновесную форму отражающей поверхности и напряженно-деформированное состояние при заданных геометрических параметрах рефлектора, физико-механических характеристиках материалов элементов конструкции, начально-краевых условиях и нагрузках.

Для моделирования напряженно-деформированного состояния на поверхности Земли рассмотрены три положения рефлектора: «чаша вниз», «чаша вверх», «вертикальная вывеска». Граничные условия соответствовали полному закреплению ободной конструкции в узлах связи со штангой от космического аппарата. Объемная нагрузка соответствовала ускорению свободного падения у поверхности Земли. В плоскости раскрыва рефлектора задавались начальные напряжения с _о отражающей поверхности, соответствующие рабочим натяжениям сетепо-лотна. В качестве обобщенной меры отклонения отражающей поверхности рефлектора в равновесном состоянии использовалось среднеквадратичное значение отклонений (СКО) полученной расчетной поверхности в узлах конечноэлементной сетки от поверхности соответствующего параболоида.

При расчете форм и частот собственных колебаний было рассмотрено закрепление рефлектора в точках соединения со штангой от космического аппарата. Такие граничные условия соответствуют консольному закреплению ободной фермы.

Решение механических задач проводилось методом конечных элементов, реализованным в программном комплексе ANSYS. Средствами ANSYS была построена геометрическая и конечно-элементная модели космического рефлектора с фермой натяжения. Методика решения нелинейной задачи основывалась на ранее разработанной методике для зонтичных рефлекторов [7].

Электродинамическое моделирование. Определение основных радиотехнических характеристик антенн связано с получением выражения для электромагнитного поля в дальней зоне, когда источниками поля являются заданные сторонние токи. / на отражающей поверхности рефлектора.

Система уравнений Максвелла имеет вид [8] rot H=-iωεE+j, rot E=iωµH.

С помощью соотношений H = rot A ,

E=iωµA+ grad divA ωε вводится векторный потенциал^. Уравнения Максвелла для векторного потенциала в декартовой системе координат дают векторное уравнение Гельмгольца:

AA + k2 A = —j, где k = щ(е • ц)12 - волновое число.

В каждой точке поверхности зеркала рефлектора возникает поверхностный ток, фаза, амплитуда и направление которого определяется соотношением js = 2 [ n 0 H ], (1) где j - вектор плотности поверхностного тока в данной точке зеркала; Н - вектор напряженности первичного магнитного поля облучателя в этой точке; ио - орт нормали к поверхности зеркала в этой же точке.

Соотношение (1) является точным только в случае падения плоской волны на плоскую бесконечно большую поверхность. Напряженность первичного магнитного поля облучателя определяется формулой

- i β r

H = С —,             (2)

r где С - коэффициент, не зависящий от г и характеризующий направленные свойства облучателя; г - расстояние от фазового центра облучателя до точки, в которой определяется поле. Для построения картины токов, возникающих на отражающей поверхности рефлектора под влиянием поля облучателя, необходимо знать распределение вектора С в пространстве, т. е. векторную диаграмму направленности облучателя. Распределение тока на зеркале определяется по формуле (1), которая в скалярной форме приобретает вид jsx =2(nyHz-nzHy), jsy =2(nzHx-nxHz), jsz =2(nxHy-nyHx).

Зная распределение тока на поверхности зеркала, можно определить направленные свойства параболической антенны. Для этого необходимо проинтегрировать по всей поверхности зеркала выражение для напряженности поля, создаваемого элементом поверхности зеркала, рассматривая его как элементарный электрический вибратор.

Поле излучения параболоида можно представить в виде

E =- ^{iZ b} sinγ ^x e ^{- i β r} j e ^{- iq}dS , 2 r _λ             sx ,

Sa

_{E =-} iZ b sinγ x_e - i β r _{j e} - iq_dS ^пер         2 r X         J ^,

Sa где Sa - поверхность параболоида, используемая в качестве антенны; Е - напряженность поля, созданного токами основной поляризации; Епр - напряженность поля, созданного токами перекрестной поляризации. Угол q - определяется относительно луча, идущего прямо от облучателя до точки приема.

В качестве численного метода использовалось сочетание метода моментов и метода физической оптики. Отражающая поверхность разбивалась на элементарные площадки треугольной формы. Наибольшее количество узлов в некоторых расчетах достигало величины 1,5 ■ 106 из соображений, что длина элемента не должна превышать 10-1 длины волны. Для расчета радиотехнических характеристик применялся пакет FEKO [9] - система 3D электромагнитного моделирования.

Результаты механического анализа. Для положения рефлектора «чаша вверх» результаты показаны на рис. 3 и 4.

Распределение перемещений в направлении, перпендикулярном плоскости раскрыва, показывает, что отражающая поверхность рефлектора в положениях чашей «вверх» имеет СКО меньше, чем чашей «вниз». Полученные результаты согласуются с результатами [4].

Характер распределения интенсивности напряжения отражающей поверхности, позволяющий говорить о достаточной равномерности натяжения сетеполотна и, соответственно, возможных незначительных отклонениях величины коэффициента отражения радиоволн от оптимального значения, показан на рис. 4.

Динамические расчеты используются для определения собственных частот и форм колебаний, которые являются важными характеристиками, учитываемыми при проектировании конструкции в целях учета в условиях динамического силового воздействия (рис. 5).

По результатам расчетов построен график зависимости собственных частот рефлектора от натяжения фронтальной сети (рис. 6). Полученные результаты по значениям частот собственных колебаний хорошо согласуются с расчетными данными рефлектора AstroMesh [10].

Рис. 3. Распределение перемещений (м) по оси2 при воздействии силы тяжести

Рис. 6. График частот собственных колебаний рефлектора от номера собственной формы

Результаты электродинамического анализа. Одной из основных характеристик антенн является диаграмма направленности - зависимость излучаемого поля от положения точки наблюдения. Трехмерный вид основного лепестка диаграммы направленности (ДН), полученный расчетным методом, представлен на рис. 7.

Рис. 7. Геометрия модели параболического рефлектора

Рис. 4. Интенсивность напряжения отражающей поверхности

Рис. 5. Вид перемещений (м): а - для 1-ой собственной частоты; 6 - для 2-ой собственной частоты

Сечения остронаправленных ДН удобнее и точнее изображать в прямоугольной системе координат, поскольку угловой масштаб здесь может быть выбран произвольно в соответствии с шириной ДН.

Диаграммы направленности для идеального параболоида и отражающей поверхности с расчетной равновесной формой для ободного рефлектора показаны на рис. 8. Граничные условия соответствовали закреплению рефлектора в точках соединения с штангой от космического аппарата. Нагружение конструкции производилось температурным полем, которое привело к соответствующему деформированному состоянию отражающей поверхности рефлектора и изменению положения оси рефлектора. Вследствие чего, во-первых, уменьшился главный лепесток, во-вторых, смещена вся диаграмма и, в-третьих, имеются изменения боковых лепестков. Результаты качественно соответствуют результатам, опубликованным в работах М. В. Гряника, В. И. Ломона [3] и других авторов. При этом наибольшие отклонения отражающей поверхности от идеального параболоида достигали 2 мм.

Диаграммы направленности деформированной отражающей поверхности рефлектора при различном СКО показаны на рис. 9. При расчете радиотехнических харак-

теристик в качестве облучателя использовалась модель

Рис. 8. Диаграммы направленности в вертикальной плоскости:--для идеальной параболической поверхности;

--расчетной равновесной формы отражающей поверхности рефлектора

Рис. 9. Диаграммы направленности рефлектора (линейный масштаб)

Последние результаты демонстрируют, что резко изменяется уровень бокового излучения, вследствие чего существенно уменьшается коэффициент направленного действия.

В полученных результатах ширина диаграммы направленности антенны для идеальной параболической поверхности равна 1,8 ° при частоте 1 ГГц и 0° 10,5’ при частоте 10,4 ГГц.

На основе подходов механики деформируемого твердого тела и электродинамики реализована комплексная методика компьютерного моделирования перспективных трансформируемых космических рефлекторов, позволяющая более точно учитывать форму и напряженность отражающей сетчатой поверхности, сократить объем экспериментальных работ при создании оптимальных конструкций ободных рефлекторов по заданным ДН и прогнозировать эффективность функционирования трансформируемых космических антенн в условиях космического пространства.